Числовые неравенства и их свойства. Видеоурок «Свойства числовых неравенств. Числовые неравенства: определение, примеры

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 10 Основные свойства числовых неравенств

1. Если а > b , то b < а , и, наоборот, если а < b , то b > а .

Доказательство. Пусть а > b . По определению это означает, что число (а - b ) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число - (а - b ) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому - (а - b ) < 0, или b - а < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b < a .

Обратное утверждение предлагаем учащимся доказать самостоятельно.

Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А лежит на числовой прямой правее точки В, то точка В лежит левее точки А, и наоборот (см. рис. 20).

2. Если a > b , a b > c , то а > с .

Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а ) лежит правее точки В (соответствующей числу b ), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с ). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).

Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.

Пусть а > b , a b > с . Это означает, что числа (а - b ) и (b- с ) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (а - b ) + (b- с ) > 0, или а - с > 0. Но это и означает, что а > с .

3. Если а > b , то для любого числа с а + с > b + с , а - c > b - с .

Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а > b . Это означает, что а - b > 0. Но а - b = (а + с ) - (b + с ). Поэтому (а + с ) - (b + с ) > 0. А по определению это и означает, что а + с > b + с . Аналогично показывается, что а - c > b - с .

Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1 1 / 2 , то получим
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > - 1.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть, например, а + b > с . Требуется доказать, что а > с - b . Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b .

4. Пусть а > b . Если с > 0 , то аc > bc . Если же с < 0 , то ас < bс .

Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Короче это свойство формулируется таким образом:

Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.

Например, умножив неравенство 5 > 1 почленно на 7, получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на - 7 дает - 35 < - 7.

Доказательство 4-го свойства.

Пусть а > b . Это означает, что число а - b положительно. Произведение двух положительных чисел а - b и с , очевидно, также положительно, т. е. (а - b ) с > 0, или
ас - bс > 0. Поэтому ас > bс .

Аналогично рассматривается случай, когда число с отрицательно. Произведение положительного числа а - b на отрицательное число с , очевидно, отрицательно, т. е.
(а - b) с < 0; поэтому ас - bс < 0, откуда ас < bс .

Следствие. Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.

Это вытекает из того, что деление на число с =/= 0 равносильно умножению на число 1 / c .

Упражнения

81. Можно ли неравенство 2 > 1 умножить почленно на

а) а 2 + 1; б) | а |; в) а ; г) 1 - 2а +а 2

так чтобы знак неравенства сохранился?

82. Всегда ли 5х больше 4х , а - у меньше у ?

83. Каким может быть число х , если известно, что -х > 7?

84. Расположить в порядке возрастания числа: a) а 2 , 5а 2 , 2а 2 ; б) 5а , 2а ; в) а , а 2 , а 3 . 85. Расположить в порядке убывания числа

а - b , а - 2b , а - 3b .

86. Дать геометрическую интерпретацию третьему свойству числовых неравенств.

Числовые неравенства и их свойства

В презентации подробно изложены содержание тем ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА и СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ, приведены примеры на доказательство числовых неравенств. (Алгебра 8 класс, автор Макарычев Ю.Н.)

Просмотр содержимого документа
«Числовые неравенства и их свойства»

Числовые неравенства

и их свойства

учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»

Оршанского района Республики Марий Эл

(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8

Числовые неравенства

Результат сравнения двух и более чисел записывают в виде неравенств, используя знаки  ,  , =

Сравнение чисел мы осуществляем, пользуясь различными правилами (способами). Удобно иметь обобщенный способ сравнения, который охватывает все случаи.

Определение:

Число а больше числа b, если разность ( a – b) – положительное число.

Число а меньше числа b, если разность ( a – b) – отрицательное число.

Число а равно числу b, если разность ( a – b) – равна нулю

Обобщенный способ сравнения чисел

Пример 1.

Применение обобщенного способа сравнения чисел для доказательства неравенств

Пример 2. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Р = 3а

Умножим на 3 обе части каждого из неравенств

54,2 ∙ 3 а ∙ 3

162,6

Применение свойств числовых неравенств

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенство Минковского , при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1) Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где , числа одного знака и больше, чем -1 : .
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».

2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1) При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то x 2 > x 1 .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 2 ≥ x 1 .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 2 ≤ x 1 .
Если x 1 > x 2 , то x 2 < x 1 .

2) Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 , то x 1 = x 2 .

3) Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 < x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .

4) К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Если x 1 > x 2 , то x 1 + A > x 2 + A .

5) Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.

6) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2 и A > 0 , то A · x 1 < A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .

7) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 и A < 0 , то A · x 1 > A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A < 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.

9) Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .

10) Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) < f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x , и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤ .

Метод интервалов заключается в следующем.

1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3) Решаем уравнение
f(x) = 0 .
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .

5) Если неравенство имеет вид: f(x) > 0 , то выбираем интервалы с знаком „+“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 . То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 .

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число а положительно, пользуются записью а > 0 , для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0 .

Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а отрицательно, то число -а положительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r , что r < а . Эти факты и лежат в основе теории неравенств.

По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно.

Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0 . Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0 , т. е. -а > 0 или, иначе, что число -а положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а отрицательно. Итак, неравенство а < 0 означает, что число а отрицательно.

Часто используется также запись аb (или, что то же самое, bа ).
Запись аb , по определению, означает, что либо а > b , либо а = b . Если рассматривать запись аb как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Пример 1. Верны ли неравенства 5 0, 0 0?

Неравенство 5 0 - это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой "или" (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 - истинно, второе высказывание 5 = 0 - ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно.

Аналогично обсуждается запись 00.

Неравенства вида а > b, а < b будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab - нестрогими.

Неравенства а > b и с > d (или а < b и с < d ) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и c < d - неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а < b неравенство с < d является неравенством того же смысла, а в записи d > c (означающей то же самое) - неравенством противоположного смысла.

Наряду с неравенствами вида a > b , ab употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < b , ас < b , a < cb ,
a cb . По определению запись

а < с < b (1)
означает, что имеют место оба неравенства:

а < с и с < b.

Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас < b, а < сb.

Двойное неравенство (1) можно записать так:

(a < c < b) [(a < c) & (c < b)]

а двойное неравенство a ≤ c ≤ b можно записать в следующем виде:

(a c b) [(a < c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с обозначают действительные числа, а n означает натуральное число.

1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как по условию а > b и b > c , то числа а - b и b - с положительны, и, следовательно, число а - с = (а - b) + (b - с) , как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с .

2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как а > b , то число а - b положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b также является положительным, т. е.
a + с > b + с.

3) Если a + b > c, то a > b - c , т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с прибавить число - b.

4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу определения неравенства достаточно показать, что разность
(а + с} - (b + c) положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d) .
Так как по условию числа а - b и с - d положительны, то (a + с) - (b + d) также есть число положительное.

Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d , то a - d > b - с (для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d прибавить число - c - d ).

5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.

Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если а > b , то а - b есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс = с(а - b) совпадает со знаком числа с : если с - положительное число, то и разность ас - bc положительна и потому ас > bс , а если с < 0 , то эта разность отрицательна и потому bc - ас положительно, т. е. bc > ас .

6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d) . Так как с > 0, b > 0, a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.

Замечание. Из доказательства видно, что условие d > 0 в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0 . Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d ) числа а, b, с не будут все положительными, то неравенство ас > bd может не выполняться. Например, при а = 2, b =1, c = -2, d = -3 имеем a > b, с > d , но неравенство ас > bd (т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно.

7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.

Замечание. Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).

Д о к а з а т е л ь с т в о. то.

Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака > (больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака < (меньше), так как неравенство b < а означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b . Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс , то ас .

Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х) монотонно возрастает на отрезке [а, b] , то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x 2). Аналогично, если функция y = f{x) монотонно убывает на отрезке [а, b] , то при х 1 > х 2 (где х 1 и х 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) < f(x 2 ). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен.

Так, например, для любого натурального n функция у = х n является монотонно возрастающей на луче , который и есть множество решений системы неравенств.