Как решать тройные неравенства. Как решать линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Задачи урока:

• Образовательные:

1. вспомнить, что такое неравенство;
2. вспомнить свойства числовых неравенств;
3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
4. ввести понятие линейного неравенства;
5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.

Воспитательные:

1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.

Развивающие:

1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
2. развитие познавательного интереса;
3. развитие мышления учащихся;
4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
5. развитие правильной речи учащихся.

Ход урока

1 этап. Мотивационный

Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

В математике - соотношенье между числами и выраженьями,
В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

Итак, тема урока «Неравенства ».

2 этап. Изучение нового материала

Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

(применяю прием маркировки текста «Инсерт» - учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .

Текст

Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

• > (больше),
• < (меньше),
• ≤ (меньше или равно),
• ≥ (больше или равно),
• ≠ (не равно).

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0) , где а и b – любые числа, причем а ≠ 0 .

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойства числовых неравенств:

1. Если а > b и b > c, то а > с.
2. Если а > b, то а + с > b + с.
3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
   Если а > b и m < 0 , то am < bm.
4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.

Алгоритм решения линейных неравенст	Пример: решить неравенство 5(х – 3) > 2х - 3
1. Раскрыть скобки:	5х – 15 > 2х - 3
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:	5х – 2х > -3 + 15
3. Привести подобные слагаемые:	3х > 12
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):	3х > 12: 3 х > 4
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:	Ответ: (4; +∞)

Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

Учитель составляет «Кластер» на доске.

1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

1. Попытка решить самому!!! 5 мин

Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

№1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

№2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

№3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

№4. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х

№5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

2. Разбор задания в группе. 5 мин

Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

Учитель выступает в роли консультанта.

(Ученик сам – группа учеников – учитель)

3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

1) 2(х + 8) – 5х < 4 – 3х (решения нет)

2)

3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

4 этап. Подведение итогов

Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

5 этап. Домашнее задание

П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

Хочу я вам дать совет:

«Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

А.И. Маркушевич

Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x . График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] }