Максимальный балл огэ по английскому языку. Критерии оценивания заданий устной части огэ по иностранным языкам. Правильно выбранное обращение

Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются "планарными". Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день.

О курсе

Этот курс служит введением в современную теорию графов. Граф как математический объект оказывается полезным во многих теоретических и практических задачах. Дело, пожалуй, в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. В нашем курсе мы, конечно же, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов.

Формат

Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.

Информационные ресурсы

1. В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. М.: Книжный дом «Либроком», 2009.
2. А. А. Зыков. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969.
3. М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
4. M. Aigner, G. M. Ziegler. Proofs From THE BOOK. Fourth Edition. Springer, 2009.
5. B. Bollobás. Modern Graph Theory. Springer, 1998.
6. J. A. Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory. Springer, 2008.

Требования

Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики.

Программа курса

1. Понятие графа и виды графов.
2. Различные применения графов: от Кенигсберских мостов до Интернета.
3. Связность графа, подграфы и степень вершины.
4. Эквивалентные определения деревьев.
5. Планарность и критерий Куратовского
6. Формула Эйлера.
7. Хроматическое число планарного графа.
8. Перечисление деревьев: код Прюфера и формула Кэли.
9. Формула для числа унициклических графов.
10. Эйлеровы циклы и критерий эйлеровости.
11. Гамильтоновы циклы. Критерий Дирака и критерий Хватала.
12. Паросочетания. Теорема Холла и Кенига.
13. Экстремальная теория графов. Теорема Турана.
14. Аналог теоремы Турана для графов на плоскости.
15. Теория Рамсея. Знакомства среди шести человек.
16. Определение числа Рамсея.
17. Нижняя и верхняя оценки чисел Рамсея.

Результаты обучения

По итогам успешного прохождения курса слушатель познакомится с понятием графа, с видами и различными характеристиками и свойствами графов. Слушатель узнает о задаче о правильных раскрасках и о возможности нарисовать данный граф на плоскости без пересечений ребер, а также научится разными способами определять деревья и перечислять их. Наконец, слушатель познакомится с понятиями эйлеровых и гамильтоновых циклов, паросочетаний и даже прикоснется к задачам экстремальной теории графов.

Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий объекты, представимые в виде отдельных элементов (вершин) и связей между ними (дуг, рёбер).

Теория графов берет начало с решения задачи о кенигсбергских мостах в 1736 году знаменитым математиком Леонардом Эйлером (1707-1783: родился в Швейцарии, жил и работал в России).

Задача о кенигсбергских мостах.

В прусском городке Кенигсберг на реке Прегал семь мостов. Можно ли найти маршрут прогулки, который проходит ровно 1 раз по каждому из мостов и начинается и заканчивается в одном месте?

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется Эйлеровым графом.

Последовательность вершин (может быть с повторением), через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется Эйлеровым циклом .

Задача о трех домах и трех колодцах.

Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Эта задача была решена (показано, что решения не существует) Куратовским (1896 – 1979) в 1930 году.

Задача о четырех красках. Разбиение плоскости на непересекающиеся области называется картой . Области карты называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом. С конца XIX века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. Гипотеза не доказана до сих пор.

Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера.

Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки…

Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они все сделали правильно.

Определение 7.1. Графом G = G (V , E ) называется совокупность двух конечных множеств: V – называемого множеством вершин и множества E пар элементов из V, т.е. EÍV´V, называемого множеством рёбер , если пары неупорядочены, или множеством дуг , если пары упорядочены.

В первом случае граф G (V , E ) называется неориентированным , во втором – ориентированным.

ПРИМЕР. Граф с множеством вершин V = {а,b,с} и множеством ребер Е ={{а, b}, {b, с}}

ПРИМЕР. Граф, у которого V = {a,b,c,d,e} и Е = {{а, b}, {а, е}, {b, е}, {b, d}, {b, с}, {с, d}},

Если e=(v 1 ,v 2), еÎЕ, то говорят, что ребро е соединяет вершины v 1 и v 2 .

Две вершины v 1 ,v 2 называются смежными , если существует соединяющее их ребро. В этой ситуации каждая из вершин называется инцидентной соответствующему ребру.

Два различных ребра смежны , если они имеют общую вершину. В этой ситуации каждое из ребер называется инцидентным соответствующей вершине.

Число вершин графа G обозначим v , а число ребер - e :

.

Геометрическое представление графов следующее:

1) вершина графа – точка в пространстве (на плоскости);

2) ребро неориентированного графа – отрезок;

3) дуга ориентированного графа – направленный отрезок.

Определение 7.2. Если в ребре e=(v 1 ,v 2) имеет место v 1 =v 2 , то ребро е называется петлёй . Если в графе допускается наличие петель, то он называется графом с петлями или псевдографом .

Если в графе допускается наличие более одного ребра между двумя вершинами, то он называется мультиграфом .

Если каждая вершина графа и (или) ребра помечена, то такой граф называется помеченным (или нагруженным ). В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.

Определение 7.3. Граф G  (V  , E  ) называется подграфом (или частью ) графа G (V ,E ), если V  V , E  E . Если V  = V , то G  называется остовным подграфом G .

Пример 7 . 1 . Дан неориентированный граф.

Определение 7.4. Граф называется полным , если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с n вершинами обозначается через K n .

Графы К 2 , К 3, К 4 и К 5 .

Определение 7.5. Граф G =G (V , E ) называется двудольным , если V можно представить как объединение непересекающихся множеств, скажем V =A B , так что каждое ребро имеет вид (v i , v j ), где v i A и v j B .

Каждое ребро связывает вершину из А с вершиной из В, но никакие две вершины из А или две вершины из В не являются связанными.

Двудольный граф называется полным двудольным графом K m , n , если A содержит m вершин, B содержит n вершин и для каждого v i A , v j B имеем (v i , v j )E .

Таким образом, для каждого v i A , и v j B имеется связывающее их ребро.

K 12 K 23 K 22 K 33

Пример 7 . 2 . Построить полный двудольный граф K 2,4 и полный граф K 4 .

Граф единичного n -мерного куба В n .

Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Рёбра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой.

Пример: