Производная функции y f x равна. Исследование функций. Это нужно знать

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.

Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить , а также посмотреть (но в нём краткое изложение).

Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки −5, −4, 1, 2, 3, 4, и 7. Получили 7 точек.

2. Прямая y = 2 параллельная оси ох y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –3; 0; 4,2; 6,9

Решите самостоятельно :

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.

2. Прямая y = 3 параллельная оси ох . Касательная будет параллельна прямой y = 3 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).

Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.

3. Прямая y = 2 параллельная оси ох . Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:

Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.

Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:

Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→), то ответ должен быть положительный!)

Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.

Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.

Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?

Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.

Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!

Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b , где

k - наклон относительно оси Х.

b - расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.

Производная прямой, всегда одна и та же: y" = k.

В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.

Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5.

Советую себя проверять вторым способом:
По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):

Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:

−2 = −2k + b

Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5

Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.

Ответ: − 0,5

Задание №2 . На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Если график функции убывает - производная отрицательна (верно и наоборот).

Если график функции возрастает - производная положительна (верно и наоборот).

Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.

Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.

Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна - возрастает!

Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.

Ответ: 3

Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4). На рисунке изображен график ее производной . Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):

Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.

Ответ: −2

Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, ..., x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.

Положительные: x1, x6, x7, x12.

Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Ответ: 7

Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные "экстремумы"? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.

Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].

Отметим промежуток от -11 до 5!

Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.

Ответ: 3

Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5].

Отметим промежуток от -12 до 5!

Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума - это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.

Стрелочками показано, как ведет себя график функции

Ответ: 3

Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба !

А можно, как обычно: строим схематический график производной.

Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)

Ответ: 8

Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Построим схематично график функции:

Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Ответ: 22

Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13 или совпадает с ней.

Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную.

Производная касательной: y" = 2.

А теперь построим обе производные:

Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ 3.

Ответ: 3

Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.

Если прямая убывает, k < 0.

Если прямая возрастает, k > 0.

Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:

При k = 1 или k = − 1 график будет посередине между осями Х и У.

Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.

Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.

В точке -2 и 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y => именно там и будет наименьшее значение производной

Ответ: 1

Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8 . Найдите абсциссу точки касания.

Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:

Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.

Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.

Вот только, что записывать в ответ, если получится два "нормальных" ответа?

При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8 должен получиться один и тот же Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Верно! Значит x=1 и будет ответом

Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5 . Найдите a .

Аналогично приравняем функции и их проивзодные:

Решим эту систему относительно переменных a и x :

Ответ: 25

Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!