Умножать, делить, складывать как Шелдон Купер? Математические хаки…. Быстрое вычисление почасовой ставки. Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Задача 1. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высота вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1.

Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете. Объем конуса - .

Площадь боковой поверхности конуса - .

Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образующей -

Площадь поверхности шара - .

Объем шара - . Объем куба – V= a 3 .

Выполнение.

1. Запустите программу MathCad через Главное меню (Пуск \Программы\MathSoft Apps\MathCad) или с рабочего стола щелкнув по ярлыку Mathcad 2001 Professional.

2. Откройте панель инструментов с помощью команды Вид \ Панели инструментов \ Математика (View\Toolbars\Arithmetic) или Arithmetic (Математика ) щелчком на кнопке Arithmetic Toolbar (Панель инструментов \ Математика) на панели инструментов Math (Математика). На рабочем поле появится панель инструментов Math .

На ней, щелкнув на кнопке Calculator (Калькулятор) - , появляется панель управления Arithmetic (Арифметика) или Calculator (Калькулятор)

3. Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин отдель­ной переменной. Объем конуса обозначим как V и присвоим ему значение 1. Оператор присваивания вводится символом « : = » щелчком по значку на панели Calculator (Калькулятор) или кнопкой Assign Value (При­своить значение) на панели инструментов Arithmetic (Арифметика). Итак, надо ввести V:=1 . В документе появится полноценный оператор присваивания: V: =l.

4. Путем несложных преобразований получим, что радиус основания конуса можно вычислить по формуле .

Вводить эту формулу следует слева направо . Порядок ввода этой формулы сле­дующий:

С начала введите r: = ;

Затем введите знак корня произвольной степени, находящийся на панели инструментов Calculator (Калькулятор) или комбинацией клавиш CTRL+V. Щелкните на черном квадратике, стоящем на месте показателя степени и введите цифру 3.

Щелкните на квадратике, замещающем подкоренное выражение, нажмите клавиши [V][*].

Введите знак квадратного корня: кнопка Квадратный корень на панели инструментов Calculator (Калькулятор) или клавиша[\] и цифру 3.

Прежде чем вводить знаменатель, дважды нажмите клавишу ПРОБЕЛ. Обратите внимание на синий уголок , который указывает на текущее выражение. Предполагается, что знак операции связывает выбранное выражение со следующим. В данном случае это безразлично, но в целом этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручного ввода дополнительных скобок, нажмите клавишу [/].

Чтобы ввести число , можно воспользоваться комбинацией клавиш CTRL+SHIFT+P или на панели инструментов Math (Математика) щелкните по кнопке , появится еще одна панель Greek (Греческий алфавит), на ней щелкните по кнопке .

5. Введите формулы для вычисления длины образующей и площади боковой поверхности конуса:

Указание знака умножения между переменными обязательно , так как иначе MathCad сочтет, что указана одна переменная с именем из нескольких букв.

6. Для вычисления радиуса шара R введите формулу .

7. Для вычисления объема шара введите формулу . Использовать переменную V во второй раз не следует, так как теперь мы опреде­ляем совершенно другой объем.

8. Заключительная формула позволит получить окончательный результат. После этого снова наберите имя переменной а и нажмите клавишу « = » или щелк­ните на кнопке Evaluate Expression (Вычислить выражение) на панели инструмен­тов Arithmetic (Счет). После формулы появится знак равенства и вычисленный результат.

а = 0.7102.

9. Вернитесь к самому первому выражению и отредактируйте его. Вместо значения 1 присвойте переменной значение 8. Сразу же перейдите к последней введенной формуле и обратите внимание, что результат расчета сразу же стал отражать новые начальные данные.

2. Вычисление дискретной функции с дискретным аргументом.

Задача 2. Построить таблицу значений функции на отрезке .

1. Определим диапазон значений дискретного аргумента. Для этого введите выражение i:=0..25. При вводе диапазона щелкните по кнопке на панели инструментов. На панели Matrix (Матрицы) щелкните по«m…n» .

2. Зададим изменение аргумента х на заданном интервале . Введите следующую формулу:

Для введения индекса аргумента используйте кнопку «Нижний индекс» на панели «Арифметика» или клавишу на клавиатуре «[».

3. Ниже введенной формулы введите и введите знак « = ». Появится таблица значений дискретного аргумента (Рис. 1).

4. Вычислим функцию. Для этого наберите формулу:

.

5. Ниже этой формулы наберите f(x,i) и введите знак « = ». Появится таблица значений функции (Рис. 1).

Рисунок 1 - Таблицы значений дискретного аргумента и функции

Задания

Задание 1. Вычислить значения функции при заданных значениях её переменных.

Вариант задания	Расчетные формулы	Значения исходных данных
		x= 1,426 y = - 1,220 z = 3,5
		x= 1,825 y= 18,225 z= - 3,298
	g = x (sin x 3 +cos 2 y)	x= 0,335 y= 0,025
		a= - 0,5 b= 1,7 t= 0,44
		a= 1,5 b= 15,5 x= - 2,9
		a= 16,5 b= 3,4 x= 0,61
		a= 0,7 b= 0,005 x= 0,5
		a= 1,1 b= 0,004 x= 0,2
		m= 2 t=1,2 c= - 1 b= 0,7
		a= 3,2 b= 17,5 x= - 4,8
		a= 10,2 b= 9,2 x= 2,2 c= 0,5
		a= 0,3 b= 0,9 x= 0,61
		a=0,5 b=3,1 x=1,4
		a= 0,5 b= 2,9 x= 0,3
		M=0,7c= 2,1 x=1,7 a= 0,5 b= 1,08
		a= 12,7 b= 0,05 x= 1,5
		a= - 0,03 b= 12,6 x= 1,1 y= 2,5
		a=2 b= 5,03 c= – 0,09 y= 1,7 x= 1,1
		a= 0,07 b=2,02 x= 1,3
		a= – 0,03 b=10 x=0,124 z= 6,4

Задание 2. Вычислить дискретную функцию с дискретным аргументом и представить в виде таблиц.

Вариант задания	Диапазон	Функция

1. Форма отчета – письменная с электронным приложением.

2. Отчет выполняется в тонкой тетради.

3. Отчет, должен содержать:

Цель лабораторной работы;

Краткий отчет выполнение лабораторной работы в тетради.

4. Электронное приложение должно содержать протокол выполнения задний лабораторной работы. (три экземпляра сохраняемые в трех разных местах)

Пример оформления письменного отчета

Лабораторная работа №

Тема (название)

Цель. См. выше Цель работы

Краткий конспект алгоритма выполнения лабораторной работы

Выводы.

Отметка о защите работы

Контрольные вопросы и защита работы

Контрольные вопросы:

1. Опишите интерфейс MathCad.

2. Как записываются формулы в MathCad.

3. Опишите, как вычисляются функции с дискретным аргументом.

Защита лабораторной работы включает:

Выполнение работы на компьютере,

Ответы на контрольные вопросы,

Предоставление отчета.

Cтраница 4

Определяя положение и интенсивность дифракционных максимумов (для нативного белка и для соответствующего числа его изоморфных производных), можно в принципе вывести из этих данных структуру интересующего нас белка. Для получения высокого разрешения требуется провести измерения на очень большом числе дифракционных максимумов. Эта работа требует весьма сложных математических расчетов, для выполнения которых приходится использовать быстродействующие вычислительные машины.  

Составление таблицы с коэффициентами прямых затрат является одним из важнейших этапов анализа баланса межотраслевых связей. Такая таблица уже сама по себе имеет большое практическое значение для изучения межотраслевых связей и планирования народного хозяйства, так как она позволяет установить непосредственные связи между отраслями и определить нормативы затрат на производство продукции. Но этим не исчерпывается ее значение. По данным этой таблицы путем сложных математических расчетов, выполняемых на электронных машинах, составляется матрица коэффициентов полных затрат, характеризующая все затраты на производство единицы конечной продукции, как прямые, так и косвенные, сопряженно связанные с производством данного продукта через другие продукты.  

Исторически одной из ранних является служба удаленного управления компьютером Telnet. Такое управление еще называют консольным или терминальным. В прошлом эту службу широко использовали для проведения сложных математических расчетов на удаленных вычислительных центрах.  

Из этой записи видно, что (JimiJzmz JiJzJM) являются как раз теми функциями преобразования, которые мы ищем, - они осуществляют переход от представления слагающих моментов в представление суммарного момента. Своеобразие этих функций заключается в том, что у них как индекс состояния, так и индекс представления являются дискретными величинами, принимающими конечное число значений. Поэтому коэффициенты (j miJ2m2 1 JiJzJM) представляют собой элементы конечных матриц. Несмотря на простой физический смысл этих коэффициентов, получение их в явном виде связано с довольно сложными математическими расчетами.  

В настоящее время разработан ряд методов исчисления обратных матриц и, следовательно, получения коэффициентов полных затрат. При итерационном методе многократно повторяются однотипные вычисления, постепенно приближающиеся к искомому результату. При втором способе расчеты сводятся к решению системы уравнений и нахождению коэффициентов полных затрат путем инверсии (обращения) матрицы коэффициентов прямых затрат. Полученная в результате сложных математических расчетов, произведенных на электронно-вычислительных машинах, матрица коэффициентов полных затрат обладает рядом особенностей, имеющих большое значение для производства экономических расчетов. Так, матрица коэффициентов полных затрат, умноженная на вектор конечной продукции, дает объем производства продукции по каждой отрасли.  

Конкретные виды государственных доходов и государственных расходов, методы их мобилизации и предоставления, наряду с процедурными моментами отражают приемы финансового регулирования. Конкретные принципы взимания средств и предоставления финансирования определяют характер этого влияния. Наконец, финансовое законодательство и уполномоченные органы власти обеспечивают организационные возможности для проведения финансового регулирования. Вторгаясь в распределение создаваемой в сфере материального производства стоимости, государственные финансы активно воздействуют и на формирование децентрализованных денежных фондов тем, что создают предпосылки для обеспечения индивидуального кругооборота средств. Однако на практике это часто представляет собой достаточно трудную задачу, ибо требует очень серьезного обеспечения глубокими всесторонними теоретическими разработками и сложными математическими расчетами. Отсутствие таких комплексных исследований обрекает благое стремление правительства к достижению всемерной гармонии на неудачу. Случайный выбор счастливого билета абсолютно исключен. Необходимо также помнить об ограниченности финансового регулирования как метода, потенциально присущей любому из них.  

Как известно, в жидкостных ракетах основную массу их веса составляет жидкое топливо. Между тем оказывается, решение их лежало на поверхности, вернее, в баке, заполненном жидкостью. Просто топливные баки ракет нужно разделить на отсеки. Решение необходимо обосновать сложными математическими расчетами, определить закономерность явления. А на оболочку камеры сгорания этого топлива действуют высокие температуры и давления, которые являются переменными во времени и пространстве. Поэтому для камер сгорания ракетного двигателя, реакторов и трубопроводов атомных станций и других сооружений характерны сильные вибрации, которые способны привести к динамическому разрушению конструкций.  

Трудно дать описание связи ненасыщенных органических ли-гандов с атомом переходного металла в рамках классической теории валентных связей. Поэтому необходимо использовать представления метода молекулярных орбиталей. Применение теории МО к подобным комплексам состоит из двух частей. В первой, более строгой части рассмотрена симметрия комплексов и возможные молекулярные орбитали. Последняя задача более трудная - необходимы сложные математические расчеты и те или иные допущения. К счастью, для молекул с высокой симметрией часто можно понять природу связи лиганд - металл, используя относительно простые аргументы симметрии.  

Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи. Альберт Эйнштейн

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.

1. Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

2. Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

• Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
• Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.
• Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
• Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.
• Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

3. Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

4. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».

5. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

6. Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

7. Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

8. Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

9. Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом - положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. :(

10. Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

11. Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

1. Попросите друга загадать любое целое число.
2. Пусть он умножит его на 2.
3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

Бонус

И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.