Задана дискретная двумерная случайная величина x y. Закон распределения двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины

Задание . Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение

Пример . Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение

Задание . Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

Пусть дана двумерная случайная величина $(X,Y)$.

Определение 1

Законом распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ - называется множество возможных пар чисел $(x_i,\ y_j)$ (где $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) и их вероятностей $p_{ij}$.

Чаще всего закон распределения двумерной случайной величины записывается в виде таблицы (Таблица 1).

Рисунок 1. Закон распределения двумерной случайной величины.

Вспомним теперь теорему о сложении вероятностей независимых событий.

Теорема 1

Вероятность суммы конечного числа независимых событий ${\ A}_1$, ${\ A}_2$, ... ,$\ {\ A}_n$ вычисляется по формуле:

Пользуясь этой формулой можно получить законы распределения для каждой компоненты двумерной случайной величины, то есть:

Отсюда будет следовать, что сумма всех вероятностей двумерной системы имеет следующий вид:

Рассмотрим подробно (поэтапно) задачу, связанную с понятием закона распределения двумерной случайной величины.

Пример 1

Закон распределения двумерной случайной величины задан следующей таблицей:

Рисунок 2.

Найти законы распределения случайных величин $X,\ Y$, $X+Y$ и проверить в каждом случае выполнение равенства полной суммы вероятностей единице.

1. Найдем сначала распределение случайной величины $X$. Случайная величина $X$ может принимать значения $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $x_1$ следующим образом:

Рисунок 3.

Аналогично найдем $P\left(x_2\right)$ и $P\left(x_3\right)$:

\ \

Рисунок 4.

1. Найдем теперь распределение случайной величины $Y$. Случайная величина $Y$ может принимать значения $x_1=1,$ $x_2=3$, $x_3=4$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $y_1$ следующим образом:

Рисунок 5.

Аналогично найдем $P\left(y_2\right)$ и $P\left(y_3\right)$:

\ \

Значит, закон распределения величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 6.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

1. Осталось найти закон распределения случайной величины $X+Y$.

Обозначим её для удобства через $Z$: $Z=X+Y$.

Вначале найдем, какие значения может принимать данная величина. Для этого будем попарно складывать значения величин $X$ и $Y$. Получим следующие значения: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Теперь, отбрасывая совпавшие величины, получим, что случайная величина $X+Y$ может принимать значения $z_1=3,\ z_2=4,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Найдем для начала $P(z_1)$. Так как значение $z_1$ единично, то оно находится следующим образом:

Рисунок 7.

Аналогично находятся се вероятности, кроме $P(z_4)$:

Найдем теперь $P(z_4)$ следующим образом:

Рисунок 8.

Значит, закон распределения величины $Z$ имеет следующий вид:

Рисунок 9.

Проверим выполнение равенства полной суммы вероятностей:

двумерный дискретный распределение случайный

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.

Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.

Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .

Таблица 6.1.1.

Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .

Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

Таблица 6.1.2.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .

Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).

Отметим свойства.

• 1. Область значений функции - , т.е. .
• 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
• 3. Имеют место предельные соотношения:

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .

Аналогично, .

Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.

А именно,

Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения

Найти функцию распределения.

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то;

если и, то.

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины