Как перевести дробное число в десятичное. Десятичные дроби

Используются чрезвычайно широко, причем в самых различных сферах человеческой деятельности будь то научные и прикладные вычисления, разработка и эксплуатация различной техники, экономический расчёт и так далее. В виду разного рода причин нередко приходится осуществлять обращение десятичной дроби , равно как и процесс, обратный ей. Следует заметить, что подобные преобразования производятся относительно легко, причем в соответствии с определенными правилами и методиками, существующими в математике уже на протяжении многих сотен лет.

Обращение десятичной дроби в простую

Преобразование десятичной дроби в дробь «обыкновенную » производится достаточно легко и просто. Для этого используется следующая методика: в качестве числителя новой дроби берется число, которое располагается справа от десятичной точки исходного числа, в качестве знаменателя используется число десять, в степени, равной количеству разрядов числителя. Что касается оставшейся целой части, то она сохраняется неизменной. Если же целая часть равна нулю, то после преобразования она просто опускается.

ПРИМЕР 1

Пятьдесят целых двадцать пять сотых равняется пятьдесят целых и двадцать пять разделить на сто равняется пятьдесят целых одна четвертая.

Обращение простой дроби в десятичную

Преобразование простой дроби в десятичную , по сути дела, является обратной обращению десятичной дроби в простую . Её осуществление также не вызывает никаких затруднений и является, по сути дела, довольно простым арифметическим действием. Для того чтобы обратить простую дробь в десятичную нужно разделить числитель на её знаменатель в соответствии с определенными правилами.

ПРИМЕР 1

Необходимо осуществить преобразование обычной дроби пять восьмых в десятичную дробь .

При делении пяти на восемь получается десятичная дробь ноль целых шестьсот двадцать пять тысячных.

=

0.625

Округление результата преобразования простой дроби в десятичную

Следует заметить, что, в отличие от такого процесса, как преобразование десятичной дроби , эта процедура за частую может длиться бесконечно долго. В таких случаях говорят, что результат процедуры обращения обычной дроби в десятичную не может быть точным. Впрочем, практика показывает, что в подавляющем большинстве получение идеально точного результата и не требуется. Как правило, процесс деления заканчивается тогда, когда в его ходе уже получены значения тех десятичных долей, которые представляют в каждом конкретном случае практический интерес.

ПРИМЕР 1

Требуется разрезать кусок масла весом один килограмм на девять одинаковых по своей массе частей. При выполнении этой процедуры оказывается, что масса каждой из них равняется 1 / 9 килограмма. Если по всем правилам осуществлять преобразование этой обычной дроби в дробь десятичную , то получится, что масса каждой из получившихся частей равняется ноль целых и один в периоде килограмма.

Округление ведется по стандартным правилам, предусмотренным в арифметике: если первая из «отбрасываемых» цифр имеет значение 5 и более, то последняя из значимых увеличивается на единицу. В противном случае она остается неизменной.

ПРИМЕР 2

Преобразовать обычную дробь одна восьмых в дробь десятичную.

При делении единицы на восемь получается ноль целых сто двадцать пять тысячных или округлённо - ноль целых тринадцать сотых.

Десятичная дробь состоит из двух частей, которые разделены запятыми. Первая часть - это целая единица, вторая часть - это десятки (если число после запятой одно), сотни (два числа после запятой, как два нуля в ста), тысячные итд. Посмотрим на примеры десятичной дроби: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Всё это - десятичные дроби. Как же перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Пример первый

У нас есть дробь, к примеру, 0,5. Как уже выше писалось, она состоит из двух частей. Первое число 0, показывает, сколько целых единиц у дроби. В нашем случае их нет. Второе число показывает десятки. Дробь даже читается ноль целых пять десятых. Десятичное число перевести в дробь теперь не составит труда, пишем 5/10. Если видите, что у цифр есть общий делитель, можете сократить дробь. У нас это число 5, поделив обе части дроби на 5, получаем - 1/2.

Пример второй

Возьмем более сложную дробь - 2,25. Читается она так - две целых и двадцать пять сотых. Обратите внимание - сотых, так как чисел после запятой две. Теперь можно перевести в обыкновенную дробь. Записываем - 2 25/100. Целая часть - 2, дробная 25/100. Как и в первом примере, эту часть можно сократить. Общим делителем для цифр 25 и 100 является число 25. Заметьте, что мы всегда подбираем наибольший общий делитель. Разделив обе части дроби на НОД, получили 1/4. Итак, 2, 25 это 2 1/4.

Пример третий

И для закрепления материала возьмем десятичную дробь 4,112 - четыре целых и сто двенадцать тысячных. Почему тысячных, думаю, ясно. Записываем теперь 4 112/1000. По алгоритму находим НОД чисел 112 и 1000. В нашем случае - это число 6. Получаем 4 14/125.

Вывод

1. Разбиваем дробь на целую и дробную части.
2. Смотрим, сколько цифр после запятой. Если одна - это десятки, две - сотни, три -тысячные итд.
3. Записываем дробь в обыкновенном виде.
4. Сокращаем числитель и знаменатель дроби.
5. Записываем полученную дробь.
6. Выполняем проверку, делим верхнюю часть дроби на нижнюю. Если есть целая часть, прибавляем к полученной десятичной дроби. Получился исходный вариант - замечательно, значит, вы все сделали правильно.

На примерах я показала, как можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. Как видите, сделать это очень легко и просто.

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «

Все дроби делятся на два вида: обыкновенные и десятичные. Обыкновенными называются дроби такого вида: 9/8,3/4,1/2,1 3/4 . В них выделяют верхнее число (числитель) и нижнее число (знаменатель). Когда числитель меньше, чем знаменатель, то дробь называется правильной, в противоположном случае дробь – неправильная. Такие дроби, как 1 7/8 состоят из целой части (1) и дробной части (7/8) и называются смешанными.

Итак, дроби бывают:

1. Обыкновенными
   1. Правильными
   2. Неправильными
   3. Смешанными
2. Десятичными

Как из обыкновенной дроби сделать десятичную

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную, учит курс математики основной школы. Все предельно просто: нужно числитель поделить на знаменатель «вручную» или, если совсем лень, то на микрокалькуляторе. Вот пример: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Не намного сложнее перевести в десятичную неправильную дробь. Пример: 1 3/4= 7/4= 1,75. Последний результат можно получить и без деления, если учесть, что 3/4=0,75 и прибавить единицу:1+0,75=1,75.

Однако далеко не со всеми обыкновенными дробями все так просто. Например, попробуем перевести 1/3 из обыкновенных дробей в десятичные. Даже тот, кто имел по математике тройку (по пяти бальной системе) заметит, что, сколько бы ни продолжалось деление, после нуля и запятой будет бесконечное количество троек 1/3=0,3333…. . Принято читать так: ноль целых, три в периоде. Записывается соответственно так: 1/3=0,(3). Аналогичная ситуация будет, если попытаться перевести в десятичную дробь 5/6: 5/6=0,8(3). Такие дроби называются бесконечными периодическими. Вот пример для дроби 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143… , то есть 3/7=0,(428571).

Итак, в результате превращения обыкновенной дроби в десятичную может получаться:

1. непериодическая десятичная дробь;
2. периодическая десятичная дробь.

Следует отметить, что существуют и бесконечные непериодические дроби, которые получаются при выполнении таких действий: взятие корня n-ой степени, логарифмирование, потенцирование. Например, √3= 1,732050807568877… . Знаменитое число π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Давайте теперь умножим 3 на 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Получается, что 0,(9) – это иная форма записи единицы. Точно так же 9=9/9,16=16,0, и т.д.

Правомерен и вопрос, противоположный к приведенному в заголовке этой статьи: «как десятичную дробь перевести в обычную». Ответ на данный вопрос дает пример: 0,5= 5/10=1/2. В последнем примере мы сократили числитель и знаменатель дроби 5/10 на 5. То есть для превращения десятичной дроби в обыкновенную нужно представить ее в виде дроби со знаменателем 10.

О том, что такое дроби вообще интересно будет посмотреть видео:

О том как перевести десятичную дробь в обыкновенную смотрите тут:

Дробь может быть преобразована в целое число либо в десятичную дробь. Неправильная дробь, числитель которой больше знаменателя и делится на него без остатка, переводится в целое число, например: 20/5. Делим 20 на 5 и получаем число 4. Если дробь правильная, то есть числитель меньше знаменателя, то тогда преобразовать ее в число (десятичную дробь). Больше информации о дробях вы сможете почерпнуть из нашего раздела - .

Способы преобразования дроби в число

• Первый способ, как перевести дробь в число годится для дроби, которую можно преобразовать в число, являющееся десятичной дробью. Сначала выясним, можно ли перевести заданную дробь в дробь десятичную. Для этого обратим внимание на знаменатель (цифра, которая под чертой или справа от наклонной). Если знаменатель можно разложить на множители (в нашем примере - 2 и 5), которые могут повторяться, то данную дробь реально преобразовать в конечную десятичную дробь. Например: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Данная обыкновенная дробь переведется в число (десятичную дробь) с конечным количеством знаков после запятой. А вот дробь 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) переведется в число с бесконечным количеством знаков после запятой. То есть при точном вычислении числового значения довольно трудно определить конечный знак после запятой, поскольку таких знаков бесконечное множество. Поэтому для решения задач обычно требуется округлить значение до сотых или тысячных. Дальше - необходимо умножить и числитель, и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получились цифры 10, 100, 1000 и т. д. Например: 11/40 =(11∙25)/(40∙25) =275/1000 =0,275
• Второй способ, как перевести дробь в число - более простой: необходимо числитель поделить на знаменатель. Для применения этого способа просто произведем деление, а полученное число и будет той искомой десятичной дробью. Например, надо перевести дробь 2/15 в число. Делим 2 на 15. Получаем 0, 1333… - бесконечная дробь. Записываем так: 0,13(3). Если дробь неправильная, то есть числитель больше знаменателя (например, 345/100), то в результате преобразования ее в число получится целое числовое значение или десятичная дробь с целой дробной частью. В нашем примере это будет 3,45. Чтобы преобразовать смешанную дробь такого вида, как 3 2 / 7 , в число, то нужно сначала превратить ее в неправильную дробь: (3∙7+2)/7 =23/7. Далее делим 23 на 7 и получаем число 3,2857143, которое сокращаем до 3,29.

Самый простой способ по переводу дроби в число - это использование калькулятора или иного вычислительного прибора. Укажем сначала числитель дроби, потом нажмем кнопку со значком "разделить" и набираем знаменатель. После нажатия клавиши "=" мы получаем искомое число.