Программа курса «Математический анализ. Математический анализ, функциональный анализ

Название : Курс математического анализа. 2001.

Автор : Никольский С.М.

Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.

Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г. в издательстве "Наука" в двух томах. Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений. Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математического анализа, читанного мною на протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. Введение 11
§ 1.1. Вступление 11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок. 11
§ 1.3. Функция. 14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции 24
§ 1.5. Производная 27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл 33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры 36
Глава 2. Действительное число 41
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа 41
§ 2.2. Определение неравенства 46
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий 46
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел. 49
§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины 52
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин 54
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества. 55
§ 2.8. Символика математической логики. 56
Глава 3. Предел последовательности 58
§ 3.1. Понятие предела последовательности. 58
§ 3.2. Арифметические действия с пределами 62
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 64
§ 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности. 66
§ 3.5. Число е 68
§ 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел. 69
§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71
§ 3.8. Критерий Коши существования предела. 76
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел. 77
Глава 4. Предел функции 80
§4.1. Понятие предела функции 80
§ 4.2. Непрерывность функции в точке 88
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция 94
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке. 98
§ 4.5. Обратная функция. 101
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции 104
§ 4.7. Степенная функция х 109
§ 4.8. Еще о числе е ПО
§ 4.9. lim ^ 111
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 112
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной . 117
§ 5.1. Производная 117
§ 5.2. Дифференциал функции. 121
§ 5.3. Производная функции от функции. 124
§ 5.4. Производная обратной функции 125
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций. 128
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка. 129
§ 5.7 Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум 133
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов. 135
§ 5.9. Формула Тейлора. 139
§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций. 146
§ 5.11. Ряд Тейлора. 151
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба. . 155
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке. 157
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей. 159
§ 5.15. Асимптота 163
§ 5.16. Схема построения графика функции 166
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции. 170
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой 172
§ 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество. 172
§ 6.2 Евклидово гг-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением. 173
§ 6.3. Линейное нормированное пространство. 176
§ 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве. 177
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая. . 179
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции. 183
§ 6.7. Длина дуги кривой 184
§ 6.8. Касательная. . 187
§ 6.9. Основной триэдр кривой 188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость. 191
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой 192
§ 6.12. Эволюта 194
§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты 196
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных . 200
§ 7.1. Открытое множество. 200
§ 7.2. Предел функции. 202
§ 7.3. Непрерывная функция. 206
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению. 210
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость. . 211
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.
Градиент. 215
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования 220
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка. 222
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса 226
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества 227
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве. 229
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля. . 233
§7.13. Формула Тейлора. 234
§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции 237
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции. 241
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений 247
§ 7.17. Отображения. 251
§7.18. Гладкая поверхность 255
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация. 257
§ 7.20. Локальный относительный экстремум 259
§ 7.21. Замена переменных в частных производных 267
§ 7.22. Система зависимых функций. 270
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям 272
§ 8.2. Комплексные числа. 278
§ 8.3. Комплексные функции 283
§ 8.4. Многочлены. . 285
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби. 288
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей. . 293
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей. . 294
§ 8.8. Подстановки Эйлера. 295
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева 297
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений. 298
§ 8.11. Тригонометрические подстановки. 301
§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
функциях 302
Глава 9. Определенный интеграл Римана 303
§ 9.1. Вступление 303
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции. 304
§ 9.3. Суммы Дарбу. 305
§ 9.4. Основная теорема 306
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [а, Ь] . 309
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла 310
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем. . 312
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница 314
§ 9.9. Вторая теорема о среднем. 318
§ 9.10. Видоизменение функции. 318
§ 9.11. Несобственные интегралы 319
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 323
§ 9.13. Интегрирование по частям. 325
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд 327
§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330
§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме. 331
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга 332
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы 333
§ 10.1. Площадь в полярных координатах 333
§ 10.2. Объем тела вращения 334
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой 335
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения 337
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 339
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников. 340
§ 10.7. Формула Симпсона. 341
Глава 11. Ряды 343
§ 11.1. Понятие ряда. 343
§ 11.2. Действия с рядами 345
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами. . 346
§ 11.4. Ряд Лейбница. 350
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды. 350
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами 354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке. 362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических 371
§ 11.11. Степенные ряды 372
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 377
§ 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, smz комплексной переменной 380
Глава 12. Кратные интегралы 383
§ 12.1. Введение 383
§ 12.2. Мера Жордана 385
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 390
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные координаты. 392
§ 12.5. Другие случаи измеримости. 393
§ 12.6. Понятие кратного интеграла 394
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии 403
§ 12.9. Свойства кратных интегралов. 404
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным
переменным 406
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру 412
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя 414
§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле 417
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14. 420
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости. 424
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве. 426
§ 12.18. Гладкая поверхность 428
§ 12.19. Площадь поверхности 431
Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирование по параметру . Несобственные интегралы 438
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода 438
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода 439
§ 13.3. Поле потенциала. 442
§ 13.4. Ориентация плоской области 450
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный
интеграл. 451
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода. 454
§ 13.7. Ориентация поверхностей 457
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области 461
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность 463
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского. 466
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса. . 472
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру. . 476
§ 13.13. Несобственный интеграл. 478
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла 485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы. 498
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций. 498
§ 14.2. Пространства l! (L) 500
§ 14.3. Пространство L2 (L2). . 504
§ 14.4. Пространство Ь"р(П) (ЬР(П)) . 507
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве 507
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением. 507
§ 14.7. Ортогонализация системы 515
§ 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L (L) . 517
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519
§ 15.1. Предварительные сведения 519
§ 15.2. Сумма Дирихле. 525
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье. 527
§ 15.4. Теоремы об осцилляции. 530
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций. 534
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье 541
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. 544
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье. 546
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева 548
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса 549
§ 15.11. Многочлены Лежандра. 550
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции . . 553
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье 553
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
функции. 556
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-и синус-преобразования Фурье. 558
§ 16.4. Производная преобразования Фурье. 562
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D 563
§ 16.6. Пространство S. 570
§ 16.7. Пространство Sf обобщенных функций 574
Предметный указатель 583

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа - Никольский С.М. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич −

доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии наук, действительный член Академии педагогических и социальных наук.

Широко известны его учебники по математическому анализу “Курс математического анализа” и “Краткий курс математического анализа”, созданные на основе лекций,

в течение 35 лет читаемых Львом Дмитриевичем

в Московском физико-техническом институте.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЮБИЛЕЙНОМУ (ЧЕТВЕРТОМУ)

Уважаемые читатели!

У Вас в руках электронная версия четвертого издания классического учебника в двух томах члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук, выдающегося математика и педагога Льва Дмитриевича Кудрявцева «Краткий курс математического анализа» - последний труд автора, начатый им в 2010 г. Это издание приурочено к 90-летнему юбилею Л. Д. Кудрявцева, который широко отмечается российской и зарубежной математической общественностью на Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» 25–29 марта 2013 г. в РУДН.

Все доклады, пленарные и секционные (в 9 секциях), охватывают современные достижения в основных областях научных, педагогических и общественных интересов Льва Дмитриевича. Участники конференции - первые читатели данной версии учебника, частично переработанного и дополненного по сравнению с предыдущим третьим изданием.

В настоящем издании автором существенно переработан параграф 52, а также совместно с сыном Николаем Львовичем Кудрявцевым, доцентом кафедры математического анализа МГУ, исправлены замеченные опечатки. Кроме того, в отличие от предыдущих изданий, в конце каждого тома добавлены контрольные вопросы к каждому параграфу. Вопросы к параграфам 49–55 взяты из «Рекомендуемых вопросов по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленных Львом Дмитриевичем и изданных МФТИ в 1994 г.; вопросы к остальным параграфам составлены Н. Л. Кудрявцевым.

Выходу в свет электронной версии юбилейного издания способствовали усилия члена-корреспондента РАН, ректора МФТИ Н. Н. Кудрявцева; профессора, зав. кафедрой высшей математики МФТИ Е. С. Половинкина; зам. председателя НМС по математике

Министерства образования и науки РФ, зам. председателя Оргкомитета, профессора МГУ А. Г. Яголы; генерального директора издательства «ФИЗМАТЛИТ» М. Н. Андреевой и всего коллектива этого издательства. Большой труд вложен Н. Л. Кудрявцевым.

Оргкомитет конференции выражает большую признательность всем, способствовавшим выходу этого издания, и призывает читателей присылать свои отзывы, замечания и пожелания для дальнейших изданий учебника по адресу [email protected].

Зам. председателя Оргкомитета конференции, ученый секретарь НМС по математике Министерства образования и науки РФ,

профессор МИРЭА

С. А. Розанова

ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

УДК 517 ББК 22.161.1

К 88

К у д р я в ц е в Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Диф-

ференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 444 с. - ISBN 978-5-9221-1453-0.

Излагаются традиционные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, теория рядов.

Предыдущее 3-е, переработанное издание учебника вышло в 2005 г. В 4-м издании переработан параграф, посвященный функциональным пространствам, добавлены контрольные вопросы и исправлены найденные опечатки. В список контрольных вопросов включены «Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 2 семестр)», составленные Л.Д. Кудрявцевым и изданные МФТИ в 1994 г. По остальным темам вопросы подготовлены Н.Л. Кудрявцевым.

Для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей.

Р е це н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, академик В. А. Ильин ; профессор МФТИ, академикС. М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1453-0		c ФИЗМАТЛИТ, 2005, 2008, 2009, 2013
ISBN 978-5-9221-1452-3
		c Н. Л. Кудрявцев, Д. Л. Кудрявцев, 2013

Г л а в а 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . 17

§ 1. Функции и множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 1.1. Множества (17). 1.2. Функции (19).

§ 3. Элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 3.1. Числовые функции (39). 3.2. Понятие элементарной функции (40). 3.3. Многочлены (41). 3.4. Разложение многочленов на множители (44). 3.5. Рациональные дроби (46). 3.6. Графики рациональных функций (52). 3.7. Степенная функция (55).

3.8. Показательная и логарифмическая функции (57). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (58). 3.10. Параллельный перенос и растяжение графиков (60).

	Числовые множества. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
	4.1. Ограниченные и неограниченные множества (62). 4.2. Верх-
	няя и нижняя грани (63).	4.3. Арифметические свойства
	верхних и нижних граней (65).	4.4. Принцип Архимеда (67).
	4.5. Принцип вложенных отрезков (68).		4.6. Счетность
	рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (70).
	Предел числовой последовательности. . . . . . . .

5.1. Определение предела числовой последовательности (74).

5.2. Единственность предела последовательности (77). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (78). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (81). 5.5. Бесконечно малые

последовательности (82). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (84). 5.7. Монотонные последовательности (87). 5.8. Принцип компактности (90). 5.9. Критерий Коши (93).

5.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (95). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (101).

§ 6. Предел и непрерывность функций. . 102

6.1. Первое определение предела функции (102). 6.2. Определение непрерывности функции (108). 6.3. Второе определение предела функции (109). 6.4. Условие существования предела функции (111). 6.5. Предел функции по объединению множеств (112). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (112). 6.7. Свойства пределов функций (114).

6.8. Бесконечно малые (118). 6.9. Непрерывные функции (119).

6.10. Классификация точек разрыва (122). 6.11. Пределы монотонных функций (123). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (126). 6.13. Предел и непрерывность сложных функций (127). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (128).

§ 7. Свойства непрерывных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130

7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (130). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (131). 7.3. Обратные функции (133).

7.4. Равномерная непрерывность (136).

§ 8. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1. Многочлены и рациональные функции (139). 8.2. Показательная и логарифмическая функции (140). 8.3. Степенная функция (147). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (148). 8.5. Элементарные функции (149).

§ 9. Сравнение функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149

9.1. Замечательные пределы (149). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (152). 9.3. Эквивалентные функции (155).

§ 10. Производная и дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157

10.1. Определение производной (157). 10.2. Дифференциал функции (159). 10.3. Геометрический смысл производной

и дифференциала (161). 10.4. Физический смысл производной

и дифференциала (163). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (164). 10.6. Производная обратной функции (166). 10.7. Производная

и дифференциал сложной функции (167). 10.8. Гиперболические функции и их производные (169). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (169).

§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . 170

11.1. Производные высших порядков (170). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций

и функций, заданных параметрически (172). 11.3. Дифференциалы высших порядков (173).

§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.1. Теорема Ферма (174). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (176).

§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. . . . . . . . 181 13.1. Неопределенности вида0 0 (181). 13.2. Неопределенности вида∞ ∞ (182).

§ 14. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 14.1. Вывод формулы Тейлора (187). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (191). 14.3. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (193).

§ 15. Исследование функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 15.1. Признак монотонности функций (195). 15.2. Локальные экстремумы функций (196). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (203). 15.4. Асимптоты (207). 15.5. Построение графиков функций (208).

§ 16. Векторные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210

17.1. Понятие кривой (220). 17.2. Касательная к кривой (225). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (227).

§ 18. Кривизна кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232

18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (232).

18.2. Формула для кривизны (233). 18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (235). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (238). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (238).

Г л а в а 2. Интегральное исчисление функций одной пере-

менной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242

§ 19. Определение и свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . . 242 19.1. Первообразная и неопределенный интеграл (242). 19.2. Основные свойства интеграла (244). 19.3. Табличные интегралы (246). 19.4. Формула замены переменной (247). 19.5. Формула интегрирования по частям (251).

§ 20. Интегрирование рациональных дробей. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (251). 20.2. Общий случай (253).

§ 21. Интегрирование некоторых иррациональностей. . . . . . . . . . . . 254 21.1. Рациональные функции от функций (254). 21.2. Интегра-

	R x,	ax + b			, ...,	ax + b				(254). 21.3. Инте-
		cx + d				cx + d

гралы от дифференциального бинома (256).

от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (260).

§ 23. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261 23.1. Определенный интеграл Римана (261). 23.2. Ограниченность интегрируемых функций (263). 23.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (265). 23.4. Нижний и верхний интегралы (268). 23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (269). 23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (271).

§ 24. Свойства интегрируемых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

	24.1. Основные свойства определенного интеграла
	24.2. Интегральная теорема о среднем (282).
	Определенный и неопределенный интеграл. . . . . .
	25.1. Дифференцирование определенного интеграла по преде-
	лам интегрирования (286). 25.2. Существование		первообраз-
	Формулы замены переменной и	интегрирования
	в определенном интеграле. . . . . .	. . . . . . . . . . . . .
	26.1. Формула замены переменной	(290). 26.2. Формула инте-
	грирования по частям (291).
	Площади и объемы. . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
	27.1. Понятие площади плоского множества (294).
	мер неограниченного множества положительной конечной пло-
	щади (296). 27.3. Понятие объема (297).
	Геометрические и физические приложения определенного инте-
	грала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .

28.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (298).

28.2. Вычисление площадей в полярных координатах (301).

28.3. Вычисление длины кривой (303). 28.4. Площадь поверхности вращения (304). 28.5. Объем тел вращения (307).

28.6. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (308).

§ 29. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313 29.1. Определение несобственных интегралов (313). 29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (318). 29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (322). 29.4. Критерий Коши (327). 29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы (328). 29.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (332). 29.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (335).

Курс «Математический анализ» является обязательным (базовым) для студентов большинства направлений подготовки в связи с дальнейшим использованием его содержания как основы других дисциплин. Владение материалом курса определяет уровень будущего специалиста и его профессиональные возможности в решении прикладных и исследовательских задач.

Акцент курса ставится на понимание и дальнейшее практическое использование полученных знаний. Для достижения этой цели разделы курса связаны единым подходом, включающим единство используемых обозначений, формат изложения и построения отдельных тем, принципы построения содержательной основы. При рассмотрении нового материала устанавливаются связи с изученным ранее, что позволяет сформировать комплексное представление и понимание разделов на глубоком уровне. Каждое теоретическое положение сопровождается рядом практических примеров, иллюстрирующих все имеющиеся особенности.

Понимание концептуальных основ достигается также за счет выделения особенностей рассматриваемых понятий, свойств, утверждений и решения задач моделирования. Для упрощения вычислительного процесса и концентрации внимания на сути проблемы для отдельных заданий в курсе используется специальное программное обеспечение, что позволит повысить уровень информационной культуры, ознакомиться с возможностями и ограничениями использования программного обеспечения для автоматизации математических расчетов. В части тем включается ряд понятий численных методов, что является хорошим заделом для дальнейшего более глубокого рассмотрения этого материала самостоятельно или в рамках отдельного курса.

Практическая направленность курса отражается в большом количестве тестовых заданий и прикладных задач разного уровня сложности. По результатам выполнения тестов будет представлен анализ их выполнения и диагностика полноты освоения материала с указанием, при необходимости, дополнительного рассмотрения части материала, что является гарантией успешного изучения представленного курса при условии соблюдения всех рекомендаций и четкого следования указаниям.

Формат

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций, изучение текстовых материалов с примерами, иллюстрирующими теоретические положения, выполнение многовариантных тестовых заданий с анализом ответов и с рекомендациями обучающимся, а также выполнение учебных заданий разного уровня сложности. Предусмотрено промежуточное контрольное тестирование по каждому разделу курса и итоговое контрольное тестирование по всему содержанию курса.

Информационные ресурсы

• Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., и др. Вся высшая математика. Т.1. – М:Эудиториал УРСС, 2003, 328 с.
• Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. Т.2. – М:Эудиториал УРСС, 2004, 192 с.
• Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических вузов: в 2 кн. Кн. 1. – М.: Издательский центр «Академия», 2009, 416 с.
• Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических вузов: в 2 кн. Кн. 2. – М.: Издательский центр «Академия», 2009, 448 с.

Требования

Для освоения материала курса требуется умение выполнять операции над числами, обрабатывать математические выражения, записанные в символьном виде, знание понятия функции, основных видов функций, умение строить и анализировать графики функций, решать уравнения, неравенства и их системы.

Программа курса

Раздел 1. Введение в математический анализ. Функция, последовательность.Элементы теории множеств и математической логики. Способы задания функции. Виды функций. Последовательность. Пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.Понятие производной и дифференциала функции. Геометрический смысл производной и дифференциала. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Способы вычисления производных. Производные высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Исследование функций с помощью производных. Использование производных для решения прикладных задач

Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Определенный интеграл и его приложения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.

Результаты обучения

По окончании освоения дисциплины обучающийся будет способен:

• выявлять, классифицировать задачи, решение которых возможно путем использования аппарата математического анализа, и реализовать решение этих задач;
• применять методы анализа функции одной действительной переменой (дифференциальные и интегральные) в решении прикладных и исследовательских задач;
• составлять математические модели поставленных задач и решать их;
• исследовать выявленную и представленную аналитически или графически функциональную зависимость процессов, явлений в различных областях знаний;
• вычислять дифференциальные и интегральные характеристики механических, физических, экономических, социальных процессов и явлений;
• производить приближенные вычисления без использования средств автоматизации и оценивать погрешность таких вычислений;
• использовать для решения задач анализа специальное программное обеспечение;

Формируемые компетенции

• способность к математической формализации задач предметной профессиональной области, выбора наилучших способов решения математически формализованных задач, обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов;
• владение основными математическими методами, необходимыми для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений в области профессиональной инженерно-технической деятельности.

для подготовки бакалавров по направлениям:

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

Курс "Математический анализ" читается на математико-механическом факультете в течение двух первых лет обучения; он является базовым для всех последующих курсов по непрерывной математике.

Цель курса - изложить студентам в естественной полноте и целостности дифференциальное и интегральное исчисление функций одного и нескольких переменных; добиться четкого, ясного понимания основных объектов исследования и понятий анализа: множество вещественных чисел, предел числовой последовательности, предел, непрерывность, производная и интеграл функции одного переменного, дифференцируемость, частные производные и дифференциалы функции многих переменных, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, числовые и функциональные ряды, ряды Фурье; научить студентов основополагающим принципам и фактам математического анализа; продемонстрировать красоту и возможности методов этого курса для решения задач фундаментальной и прикладной математики; привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях, сформировать высокий уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной математике; научить пользоваться математической литературой; привить желание и навыки исследовательской работы. Теоретическая часть курса в значительной степени поддерживается лабораторными и практическими занятиями, на которых осмысливаются и закрепляются основные понятия и методы курса, осваиваются оптимальные (стандартные и искусственные) приемы решения задач математического анализа и его приложений.

• Предмет математического анализа.
• Элементы теории множеств. Операции над множествами; декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Отображения (функции); классификация отображений; композиция отображений (сложная функция); обратное отображение. Мощность множества; счетное множество, множество мощности континуума. Элементы математической логики: логические операции, предикаты, кванторы.
• Вещественные числа. Построение конкретной модели множества вещественных чисел. Арифметические операции во множестве вещественных чисел и их свойства. Принцип Архимеда. Принципы полноты множества вещественных чисел: принцип вложенных отрезков, существование верхней и нижней граней числового множества, дедекиндовы сечения.
• Последовательности вещественных чисел. Предел последовательности: определение, основные свойства. Критерий Коши существования предела последовательности. Подпоследовательности. Теорема Больцано - Вейершрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. Предел монотонной последовательности. Число е.
• Топология числовой прямой: предельная, внутренняя, изолированная, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества; лемма Бореля о покрытиях; компактные множества.
• Предел вещественной функции одного вещественного переменного: два эквивалентных определения; арифметические свойства предела; свойства предела, связанные с неравенствами. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы. Теоремы об односторонних пределах монотонной функции. Некоторые конкретные (замечательные) пределы. Сравнение поведения функций; символы "o", "O", эквивалентность; основные эквивалентности.
• Непрерывность функции в точке и на множестве. Определение непрерывности функции в точке; локальные свойства непрерывных функций. Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке. Непрерывность и предел сложной функции. Точки разрыва; классификация точек разрыва; характер разрывов монотонной функции. Теорема о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке (промежутке). Ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений функций, непрерывных на отрезке (компактном множестве). Непрерывность функции, обратной монотонной. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке (компактном множестве); модуль непрерывности функции. Основные элементарные функции: построение, свойства, непрерывность.
• Дифференцируемость вещественной функции одного вещественного переменного. Дифференцируемость; производная и дифференциал функции в точке; геометрический, механический и физический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица производных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков; формула Лейбница. Основные теоремы для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Теорема о пределе производной; характер разрывов производной. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши). Формула Тейлора для основных элементарных функций с информативным представлением остаточных членов. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Необходимое и достаточное условие постоянства функции на промежутке. Монотонность; критерий монотонности и строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремумы; необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма); достаточные условия локального экстремума функции в точке в терминах поведения первой производной функции в окрестности точки. Выпуклость функции на промежутке; гладкостные свойства выпуклых функций; критерий выпуклости дифференцируемой функции; условие выпуклости дважды дифференцируемой функции; положение касательной относительно графика выпуклой функции. Точка перегиба. Достаточные условия точки локального экстремума и точки перегиба в терминах знака старших производных в точке. Асимптоты. Применение свойства выпуклости для доказательства некоторых классических неравенств.
• Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций. Замена переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, квадратических иррациональностей (подстановки Эйлера), дифференциальных биномов, рациональных тригонометрических функций.
• Определенный интеграл Римана по отрезку. Ограниченность интегрируемой функции. Суммы Дарбу; критерии интегрируемости Дарбу и Римана. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные, ограниченные с множеством точек разрыва жордановой меры ноль. Множество лебеговой меры ноль. Критерий интегрируемости ограниченной функции (теорема Лебега). Свойства интеграла по функции: линейность интеграла, интегрируемость произведения, частного; интегрируемость сложной функции. Аддитивность интеграла по множеству. Оценки интегралов; первая теорема о среднем. Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной непрерывной функции на промежутке. Формула Ньютона - Лейбница. Интегрирование по частям. Вторая теорема о среднем значении для интеграла Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши. Замена переменного. Числовое неравенство Юнга; неравенства Гёльдера, Минковского и Иенсена для сумм и интегралов. Геометрические приложения интеграла. Кривая; спрямляемость; спрямляемость и длина гладкой (кусочно-гладкой) кривой. Мера Жордана в R 2 . Условие квадрируемости множества в терминах его границы. Свойства площади (плоской меры Жордана). Квадрируемость подграфика интегрируемой функции; вычисление площади. Механические и физические приложения интеграла.
• Метрическое пространство. Сходимость последовательности элементов метрического пространства. Основные топологические понятия и свойства множеств в метрическом пространстве: предельная, изолированная, внутренняя, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества. Компактность множеств метрического пространства, секвенциальная компактность, связь с ограниченностью и замкнутостью. Непрерывные вещественные функции на компакте метрического пространства: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, равномерная непрерывность. Полнота метрического пространства; принцип вложенных шаров. Линейное нормированное пространство. Классические нормы в пространстве R n . Сходимость последовательности элементов пространства R n по норме и покоординатная. Полнота пространства R n . Лемма Бореля о покрытии. Характеризация компактов в R n . Пространство C непрерывных на отрезке функций с чебышевской нормой; его полнота. Принцип сжимающего отображения полного метрического пространства.
• Функции многих переменных. Предел функции в точке. Повторные пределы; связь двойного и повторного пределов. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на множествах: теоремы Больцано - Коши о промежуточном значении на связном множестве, Вейерштрасса об ограниченности функции и достижении ею верхней и нижней граней на компактном множестве, Кантора о равномерной непрерывности функции. Дифференцируемость вещественной функции нескольких вещественных переменных. Частные производные. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению, градиент; касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцируемость сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков; условия равенства смешанных производных. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность форм старших дифференциалов относительно замены переменных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Локальный (безусловный) экстремум. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие локального экстремума. Неявные функции одного и нескольких переменных: существование, непрерывность, дифференцируемость. Отображения R n в R m: непрерывность, дифференцируемость, матрица производной; якобиан. Неявное отображение, заданное системой; локальное обращение отображения R n в R n . Условный экстремум; метод неопределенных множителей Лагранжа.
• Числовые ряды. Сходимость числового ряда; сумма ряда; необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Знакопостоянные ряды; признак сравнения сходимости (расходимости); признаки сходимости: Даламбера, Коши, Раабе, интегральный признак Коши - Маклорена. Ряд Лейбница: сходимость, оценка остатка. Преобразование Абеля. Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости рядов. Операции над рядами: группировка членов сходящегося ряда; перестановка членов абсолютно сходящегося ряда; теорема Римана о перестановке членов условно сходящихся рядов; умножение рядов. Методы суммирования Чезаро и Абеля. Кратные ряды (основные понятия). Бесконечные произведения, необходимое условие сходимости; связь со сходимостью числовых рядов.
• Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость: понятие; критерий Коши. Необходимое условие, мажорантный признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Почленный переход к пределу; непрерывность предельной функции. Теорема Дини. Почленное интегрирование и дифференцирование. Равностепенная непрерывность семейства непрерывных функций. Компактные (предкомпактные) подмножества пространства C; теорема Арцела.
• Степенные ряды. Множество сходимости (радиус сходимости, формула Коши - Адамара); характер сходимости; непрерывность, почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда; бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора - Маклорена). Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных функций алгебраическими многочленами. Бесконечные произведения функций; представление функции sin в бесконечное произведение; разложения функций ctg и 1/sin на простейшие дроби.
• Несобственные интегралы (по бесконечному промежутку и по конечному промежутку от неограниченных функций). Признаки сходимости: сравнения, Абеля, Дирихле. Абсолютная и условная сходимость.
• Интегралы, зависящие от параметра. Семейства функций, зависящие от параметра. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость; определения Коши и Гейне; критерий Коши. Переход к пределу по параметру. Перестановка двух предельных переходов (равенство повторных и двойного пределов). Непрерывность и интегрируемость равномерного предела. Дифференцируемость предела. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: переход к пределу под знаком интеграла, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Поточечная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Равномерная сходимость: критерий Коши, признаки равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле). Предельный переход в несобственном интеграле и непрерывность несобственного интеграла по параметру; дифференцирование и интегрирование (в собственном и несобственном смыслах) несобственного интеграла по параметру; применение к вычислению некоторых классических интегралов: интегралы Дирихле, Эйлера - Пуассона. Бета и гамма-функции Эйлера, их свойства и применение. Формула Стирлинга для гамма-функции.
• Кратный интеграл Римана. Плоский интеграл Римана по квадрируемому (измеримому по Жордану плоскому) множеству: условия существования, свойства интеграла по функции и по множеству. Сведение двойного интеграла к повторным. Мера Жордана в R n . Кратный интеграл. Замена переменных в кратном интеграле. Сведение кратного интеграла к повторным. Понятие о кратном несобственном интеграле. Приложение к геометрии, механике, физике.
• Функции ограниченной вариации. Понятие вариации. Вариация монотонной (кусочно монотонной) функции, функции, удовлетворяющей условию Липщица. Арифметические операции над функциями ограниченной вариации. Аддитивность вариации по отрезку. Вариация кусочно непрерывно дифференцируемой функции. Представление функций ограниченной вариации в виде разности двух монотонных функций. Представление функций ограниченной вариации в виде суммы непрерывной функции ограниченной вариации и функции скачков. Интеграл Римана - Стилтьеса. Свойства: линейность по функциям, аддитивность по отрезку. Интегрирование по частям. Вычисление интеграла Римана - Стилтьеса от непрерывной функции по непрерывно дифференцируемой функции и по функции скачков. Принцип выбора Хелли.
• Криволинейные интегралы первого и второго рода вещественной функции по спрямляемой кривой. Выражение через интеграл Римана - Стилтьеса и интеграл Римана. Формула Грина; условия независимости интеграла от формы пути интегрирования.
• Поверхностные интегралы. Поверхность. Площадь поверхности. Поверхность ориентированная и неориентированная. Поверхностные интегралы первого и второго рода; сведение к двойному интегралу. Формула Гаусса - Остроградского. Классический вариант формулы Стокса. (Понятие дифференциальной формы и интегрирования дифференциальных форм; абстрактный вариант формулы Стокса). Элементы теории поля: скалярное и векторное поля; градиент, дивергенция, ротор, поток, циркуляция; потенциальное поле; векторные линии и трубки; соленоидальное поле; оператор "набла"; оператор Лапласа. Основные интегральные формулы векторного анализа.
• Ряды Фурье. Ряды Фурье по ортонормированным (ортогональным) системам элементов в евклидовом пространстве. Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе: выражение частичных сумм через ядро Дирихле; принцип локализации; поточечная сходимость; равномерная сходимость; сходимость в среднем; влияние гладкости функции на скорость сходимости ряда Фурье. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных 2π-периодических функций тригонометрическими полиномами. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Рисса - Фишера. Начальные сведения об интеграле и преобразовании Фурье.

 

ТЕМЫ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

• Элементы математической логики и теории множеств.
• Элементарные функции. Суперпозиция отображений, обратное отображение. Графики. Преобразования графиков.
• Метод математической индукции. Вещественные числа; верхняя и нижняя грани числового множества.
• Предел последовательности: определение и основные свойства.
• Критерий Коши. Монотонная последовательность.
• Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
• Топология вещественной прямой.
• Предел функции в точке. Классические (замечательные) пределы.
• Непрерывность функции.
• Точки разрыва. Характер точек разрыва.
• Теоретические задачи по темам "Предел", "Непрерывность".
• Равномерная непрерывность функции.
• Производная. Производные элементарных функций. Таблица производных. Исследование на дифференцируемость в точке. Дифференциал.
• Теоремы о среднем: Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
• Производная обратной функции и функции, заданной параметрически.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Использование при вычислении пределов.
• Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и приближение функций многочленами Тейлора. Оценка остаточного члена формулы Тейлора.
• Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей).
• Свойства дифференцируемых функций: монотонность; экстремумы; выпуклость, неравенства.
• Исследование и построение графиков функций, заданных явно и параметрически.
• Неопределенный интеграл. Методы его вычисления.
• Определенный интеграл. Вычисление по определению. Вопросы существования интеграла.
• Теоремы о среднем.
• Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница классическая и обобщенная.
• Вычисление определенных интегралов.
• Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, длины дуги, объема.

 

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

• Метрические и линейные нормированные пространства. Пространство R n .
• Функции многих переменных. Предел, непрерывность, равномерная непрерывность.
• Дифференцируемость функций многих переменных. Частные производные; свойство дифференцируемости; дифференциалы.
• Нахождение уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
• Дифференцирование сложных отображений.
• Неявные функции. Дифференцирование неявных функций, заданных уравнением и системой.
• Экстремум функции многих переменных. Локальный экстремум.
• Условный экстремум. Нахождение супремума и инфимума функций нескольких переменных на множествах.
• Числовые ряды. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши - Маклорена. Признаки Коши, Даламбера, Раабе.
• Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Абеля и Дирихле. Ряд Лейбница.
• Функциональные последовательности и ряды.
• Поточечная и равномерная сходимость. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Теорема Дини.
• Теоремы о предельном переходе, непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последовательности и суммы ряда.
• Степенные ряды.
• Ряды Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.
• Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость.
• Собственные интегралы, зависящие от параметра, включая случай зависимости от параметра пределов интегрирования. Теоремы о предельном переходе, интегрируемость в собственном смысле и дифференцируемость.
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Сходимость и равномерная сходимость.
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о предельном переходе, интегрируемость в собственном смысле и дифференцируемость. Вычисление несобственных и собственных интегралов, зависящих от параметра.
• Интегралы Эйлера.
• Двойные, тройные интегралы. Сведение к повторным.
• Замена переменных. Геометрические, механические и физические приложения.
• Криволинейные интегралы. Сведение к интегралу Римана.
• Формула Грина. Независимость от пути интегрирования с фиксированными концами. Физические, механические и геометрические приложения.
• Поверхностные интегралы первого и второго рода. Сведение к двойным.
• Формула Стокса. Формула Остроградского - Гаусса.
• Элементы векторного анализа.
• Ряды Фурье. Преобразования Фурье.

 

ТЕМАТИКА КОЛЛОКВИУМОВ

1 СЕМЕСТР

Коллоквиум № 1. Вещественные числа. Элементы теории множеств.

1. Метод математической индукции.
2. Модели множества вещественных чисел. Отношение порядка, арифметические операции, архимедово свойство, свойства непрерывности множества вещественных чисел, верхняя и нижняя грани числовых множеств.
3. Операции над множествами.
4. Функции.
5. Мощность. Счетные множества, несчетные множества. Множества мощности континуума.
6. Сравнение мощностей.

Коллоквиум № 2. Предел. Непрерывность функции одной переменной.

1. Предел последовательности. Критерий Коши. Монотонная последовательность.
2. Топология прямой.
3. Предел функции в точке. Определения Коши и Гейне. Свойства пределов функции в точке. Односторонние пределы. Критерий Коши.
4. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций в точке.
5. Свойства непрерывных функций на множестве.

2 СЕМЕСТР

Коллоквиум № 1. Исследование поведения функций.

1. Критерий монотонности функции.
2. Локальный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия.
3. Выпуклость. Свойства выпуклых функций. Критерии. Использование выпуклости функции для доказательства некоторых неравенств.
4. Точка перегиба.
5. Асимптоты.

Коллоквиум № 2. Определенный интеграл.

1. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции.
2. Суммы Дарбу. Критерии интегрируемости.
3. Классы интегрируемых функций (монотонные, непрерывные, ограниченные функции с множеством точек разрыва жордановой меры ноль).
4. Свойства определенного интеграла.
5. Первая теорема о среднем.
6. Непрерывность и дифференцируемость интеграла как функции верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
7. Вторая теорема о среднем.
8. Замена переменной в определённом интеграле.

3 СЕМЕСТР.

Коллоквиум № 1. Функции многих переменных. Неявные функции и экстремумы.

1. Формула Тейлора.
2. Локальный экстремум. Необходимые условия.
3. Достаточные условия точки локального экстремума в терминах второго дифференциала.
4. Неявная функция, заданная уравнением, ее свойства, дифференцирование.
5. Неявные функции, заданные системой уравнений, их свойства, дифференцирование.
6. Локальное обращение отображения R n в R n . Следствия.
7. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

Коллоквиум № 2. Ряды

1. Числовые последовательности и ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши.
2. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения.
3. Признаки Коши, Даламбера, Раабе. Интегральный признак Коши.
4. Абсолютная и условная сходимость ряда. Признаки Абеля и Дирихле. Ряд Лейбница.
5. Сочетательное свойства сходящегося ряда. Перестановка абсолютно сходящегося ряда. Терема Римана о перестановках условно сходящихся рядов.
6. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости.
7. Основные теоремы о равномерно сходящихся последовательностях и рядах. Теорема Дини.
8. Степенной ряд. Радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара. Свойства суммы степенного ряда. Ряд Тейлора.

4 СЕМЕСТР.

Двойной и кратный интеграл Римана.

1. Двойной интеграл Римана по измеримому по Жордану множеству. Необходимое условие.
2. Суммы Дабу.
3. Критерии интегрируемости.
4. Классы интегрируемых функций.
5. Свойства двойного интеграла.
6. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу.
7. Замена переменных в двойном интеграле.
8. Кратный интеграл Римана.

 

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ и САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

1. Точные границы множества.
2. Предел последовательности.
3. Предел и непрерывность функции.
4. Техника дифференцирования. Исследование на дифференцируемость.
5. Формула Тейлора и ее применение.
6. Построение графиков.
7. Вычисление неопределенных интегралов.
8. Дифференцирование неявных функций.
9. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
10. Безусловный и условный экстремум.
11. Исследование на сходимость числовых и равномерную сходимость функциональных последовательностей и рядов.
12. Вычисление несобственных интегралов.
13. Перестановка пределов и замена переменных в двойных и тройных интегралах.
14. Приложение двойных и тройных интегралов к механике.
15. Криволинейные интегралы.
16. Вычисление поверхностных интегралов.
17. Теория поля.
18. Тригонометрические ряды Фурье.

ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ

1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ: в 2 ч. - М.: Проспект: Изд-во Моск. ун-та, 2004-2006. - Ч.1. 672 с., Ч.2. 368 с. (а также все издания с 1979 г.).
2. Никольский С. М. Курс математического анализа. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000-2001. - 592 с.
3. Никольский С. М. Курс математического анализа: в 2 тт. - М.: Наука, 1990-1991. - Т.1. 528 с. Т.2. 544 с.
4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: в 3 тт. - М. : Высшая школа, 1988-1999. - Т. 1. 712 с. Т. 2. 576 с. Т. 3. 352 с. (а также все издания с 1981 г.).
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М. : ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория Знаний, 2003. - Т.1. 680 с., Т. 2. 864 с., Т. 3. . 728 с. (а также все издания с 1968 г.)
6. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Т. 1. 416 с., Т. 2. 440 с. (а также все издания с 1998 г.).
7. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 ч. - М.: МЦНМО, 2002. - Ч. 1. 664 с. Ч. 2. 794 с. (а также все издания с 1981 г.).
8. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1990. - 624 с.
9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: АСТ: Астрель, 2004. - 558 с. (а также все издания с 1990 г.).
10. Будак Б. М. Кратные интегралы и ряды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 512 с. (а также все издания с 1967 г.).

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 480 с. (а также все издания с 1988 г.).
2. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики. Алгебра и анализ. М.Наука. 1971. - 656 с.
3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - СПб.: Лань, 1999. - 560 с. (а также все издания с 1974 г.).
4. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу [в 2 кн.]. Кн. 1, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. - М. : Высшая школа, 2002. - 725 с.
5. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. [в 2 кн.]. Кн. 2, Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы. - М. : Высшая школа, 2002. - 712 с.
6. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1, Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с. (а также все издания с 1984 г.).
7. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2, Интегралы. Ряды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 504 с. (а также все издания с 1984 г.).
8. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3, Функции нескольких переменных. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 472 с. (а также все издания с 1984 г.).
9. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.Наука. 1973. 464 с.
10. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. - М: Мир, 1967. - 251 с.
11. Макаров Б. М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу. - М.: Наука, 1992. -431 с.
12. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. М.: Просвещение, 1983. - 232 с. (а также все издания с 1965 г.).
13. Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного переменного - М: Наука, 1980. - 212.
14. Ульянов П. Л., Бахвалов А. Н., Дьяченко М. И., и др. Действительный анализ в задачах. - М: Физматлит, 2005. - 416 с.
15. Теляковский С. А. Курс лекций по математическому анализу [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://dmvn.mexmat.net/calculus.php.

 
Уральский государственный университет, 2006
Арестов В. В., Гурьянова К. Н., составление, 2006

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.

Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных.

Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа.

М.: Дрофа; т.1 - 2003, 704с.; т.2 - 2004, 720с.; т.3 - 2006, 351с.

Учебник соответствует новой программе для вузов. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

Том 1.

Формат: pdf

Размер: 4,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 4 ,6 Мб

/ Download файл

Том 2.

Формат: pdf

Размер: 5,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 5 ,4 Мб

/ Download файл

Том 3.

Формат: pdf

Размер: 2,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: pdf / rar

Размер: 2 ,2 Мб

/ Download файл

Том 1. Оглавление
Предисловие 3
Введение 7
Глава 1
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Множества и функции. Логические символы 13
1.1. Множества. Операции над множествами 13
1.2*. Функции 16
1.3*. Конечные множества и натуральные числа.
1.4. Группировки элементов конечного множества 29
1.5. Логические символы 33
§ 2. Действительные числа 35
2.1. Свойства действительных чисел 35
2.2*. Свойства сложения и умножения 39
2.3*. Свойства упорядоченности 47
2.4*. Свойство непрерывности действительных чисел 51
2.5*. Сечения в множестве действительных чисел 52
2.6*. Рациональные степени действительных чисел 58
2.7. Формула бинома Ньютона 60

§ 3. Числовые множества 63
3.1. Расширенная числовая прямая 63
3.2. Промежутки действительных чисел. Окрестности 64
3.3. Ограниченные и неограниченные множества 68
3.4. Верхняя и нижняя грани числовых множеств 70
3.5*. Арифметические свойства верхних и нижних граней... 75
3.6. Принцип Архимеда 78
3.7. Принцип вложенных отрезков 80
3.8*. Единственность непрерывного упорядоченного поля.... 85
§ 4. Предел числовой последовательности 92
4.1. Определение предела числовой последовательности 92
4.2. Единственность предела числовой последовательности... 100
4.3. Переход к пределу в неравенствах 101
4.4. Ограниченность сходящихся последовательностей 107
4.5. Монотонные последовательности 108
4.6. Теорема Больцано-Вейерштрасса 113
4.7. Критерий Коши сходимости последовательности 115
4.8. Бесконечно малые последовательности 118
4.9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями 120
4.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями 133
4.11*. Счетные и несчетные множества 141
4.12*. Верхний и нижний пределы последовательности 149
§ 5. Предел и непрерывность функций 153
5.1. Действительные функции 153
5.2. Способы задания функций 156
5.3. Элементарные функции и их классификация 160
5.4. Первое определение предела функции 162
5.5. Непрерывные функции 172
5.6. Условие существования предела функции 177
5.7. Второе определение предела функции 179
5.8. Предел функции по объединению множеств 184
5.9. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность... 185
5.10. Свойства пределов функций 189
5.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 194
5.12. Различные формы записи непрерывности
5.13. Классификация точек разрыва функции 202
5.14. Пределы монотонных функций 204
5.15. Критерий Коши существования предела функции 210
5.16. Предел и непрерывность композиции функций 212
§ 6. Свойства непрерывных функций на промежутках 216
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений 216
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций 218
6.3. Обратные функции 221
6.4. Равномерная непрерывность. Модуль непрерывности.... 228
§ 7. Непрерывность элементарных функций 235
7.1. Многочлены и рациональные функции 235
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции. . 236
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 246
7.4. Непрерывность элементарных функций 248
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов 248
8.1. Некоторые замечательные пределы 248
8.2. Сравнение функций 253
8.3. Эквивалентные функции 264
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов 267
§ 9. Производная и дифференциал 271
9.1. Определение производной 271
9.2. Дифференциал функции 274
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала... 280
9.4. Физический смысл производной и дифференциала 284
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями 288
9.6. Производная обратной функции 291
9.7. Производная и дифференциал сложной функции 294
9.8. Гиперболические функции и их производные 301
§10. Производные и дифференциалы высших порядков 304
10.1. Производные высших порядков 304
10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций 306
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных
10.4. Дифференциалы высших порядков 311
§11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 313
11.1 Теорема Ферма

11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. . 316
§12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 327
12.1 Неопределенности вида 0/0
12.2 Неопределенности вида ----

12.3. Обобщение правила Лопиталя 337
§ 13. Формула Тейлора 339
13.1. Вывод формулы Тейлора 339
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки 344
13.3. Формулы Тейлора для основных элементарных
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части) 351
§ 14. Исследование поведения функций 353
14.1. Признак монотонности функции 353
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции 356
14.3. Выпуклость и точки перегиба 365
14.5. Построение графиков функций 377
§ 15. Векторная функция 387
15.1. Понятие предела и непрерывности для векторной функции 387
15.2. Производная и дифференциал векторной функции 391
§ 16. Длина кривой 397
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых 408
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной векторной функции 411
16.7. Физический смысл производной векторной функции... 425
§17. Кривизна и кручение кривой 426
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости 426
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление 430
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость 434
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой 436
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой.... 437
17.6. Эвольвента 444
17.7. Кручение пространственной кривой 447
17.9. Формулы для вычисления кручения 451
Глава 2
Интегральное исчисление функций одной переменной
§18. Определения и свойства неопределенного интеграла 453
18.1. Первообразная и неопределенный интеграл 453
18.2. Основные свойства интеграла 456
18.3. Табличные интегралы 458
18.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) 461
18.5. Интегрирование по частям 464
18.6*. Обобщение понятия первообразной 467
§ 19. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах. . 473
19.1. Комплексные числа 473
19.2*. Формальная теория комплексных чисел 481
19.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел 482
19.4. Разложение многочленов на множители 486
19.5*. Наибольший общий делитель многочленов 490
19.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные 495
§ 20. Интегрирование рациональных дробей 503
20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей... 503
20.2. Общий случай 506
20.3*. Метод Остроградского 508
§21. Интегрирование некоторых иррациональностей 514
21.1. Предварительные замечания 514
21.2. Интегралы вида \R\X, [^jf , ... , (^if] <** 515
21.3. Интегралы вида \Щх, Jax2 + Ьх + с) dx. Подстановки Эйлера 518
21.4. Интегралы от дифференциальных биномов 522
21.5. Интегралы вида} п" " Jax2 + Ьх + с
§ 22. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.... 526
22.1. Интегралы виды JR(sin x,cosx)dx 526
22.2. Интегралы вида Jsinm x cos" x dx 528
22.3. Интегралы вида Jsin ax cos |3x dx 530
22.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям. . 530
22.5. Интегралы вида J.R(sh x, ch x) dx 532
22.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции 532
§ 23. Определенный интеграл 533
23.1. Определение интеграла Римана 533
23.2*. Критерий Коши существования интеграла 539
23.3. Ограниченность интегрируемой функции 541
23.4. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу 543
23.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. . 547
23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. 548
23.7*. Критерии интегрируемости Дарбу и Римана 551
23.8*. Колебания функций 556
23.9*. Критерий интегрируемости Дюбуа-Реймона 563
23.10*. Критерий интегрируемости Лебега 566
§ 24. Свойства интегрируемых функций 570
24.1. Свойства определенного интеграла 570
24.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла 583
§25. Определенный интеграл с переменными пределами
25.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу
25.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Существование первообразной у непрерывной функции 588
25.3. Формула Ньютона-Лейбница 591
25.4*. Существование обобщенной первообразной. Формула Ньютона-Лейбница для обобщенной первообразной. . 592
§26. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям 596
26.1. Замена переменной 596
26.2. Интегрирование по частям 600
26.3*. Вторая теорема о среднем значении для определенного
26.4. Интегралы от векторных функций 606
§27. Мера плоских открытых множеств 608
27.1. Определение меры (площади) открытого множества 608
27.2. Свойства меры открытых множеств 612
§28. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла 618
28.1. Вычисление площадей 618
28.2*. Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского... 625
28.3. Объем тела вращения 630
28.4. Вычисление длины кривой 632
28.5. Площадь поверхности вращения 637
28.6. Работа силы 640
28.7. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой 641
§ 29. Несобственные интегралы 644
29.1. Определение несобственных интегралов 644
29.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов 652
29.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 657
29.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. 665
29.5. Абсолютно сходящиеся интегралы 666
29.6. Исследование сходимости интегралов 671
29.7. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования 677
Предметно-именной указатель 685
Указатель основных обозначений 695

Том 2. Оглавление
Предисловие 3
Глава 3

Ряды
§ 30. Числовые ряды 5
30.1. Определение ряда и его сходимость 5
30.2. Свойства сходящихся рядов 9
30.3. Критерий Коши сходимости ряда 11
30.4. Ряды с неотрицательными членами 13
30.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда 16
30.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами 20
30.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами 23
30.8*. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм 25
30.9. Знакопеременные ряды 27
30.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости
30.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов 38
30.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана 39
30.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости Дирихле и Абеля 43
30.14*. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и частичных сумм расходящихся рядов 48
30.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 52
§ 31. Бесконечные произведения 53
31.1. Основные определения. Простейшие свойства бесконечных произведений 53
31.2. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 57
31.3. Бесконечные произведения с действительными
31.4. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения.. . 62
31.5*. Дзета-функция Римана и простые числа 65
§ 32. Функциональные последовательности и ряды 67
32.1. Сходимость функциональных последовательностей
32.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей 71
32.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 79
32.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 90
§ 33. Степенные ряды 100
33.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 100
33.2*. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости
33.3. Аналитические функции 110
33.4. Аналитические функции в действительной области... 112
33.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. . 116
33.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора... 121
33.7. Методы разложения функций в степенные ряды 131
33.8. Формула Стерлинга 138
33.9*. Формула и ряд Тейлора для векторных функций 141
33.10*. Асимптотические степенные ряды 143
33.11*. Свойства асимптотических степенных рядов 149
§ 34. Кратные ряды 153
34.1. Кратные числовые ряды 153
34.2. Кратные функциональные ряды 162
Глава 4
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 35. Многомерные пространства 165
35.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей
35.2. Различные типы множеств 178
35.4. Многомерные векторные пространства 203
§ 36. Предел и непрерывность функций многих переменных
36.1. Функции многих переменных 210
36.2. Отображения. Предел отображений 212
36.3. Непрерывность отображений в точке 218
36.4. Свойства пределов отображений 220
36.5. Повторные пределы 221
36.6. Предел и непрерывность композиции отображений... 223
36.7. Непрерывные отображения компактов 226
36.8. Равномерная непрерывность 229
36.9. Непрерывные отображения линейно-связных множеств 233
36.10. Свойства непрерывных отображений 235
§ 37. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 240
37.1. Частные производные и частные дифференциалы... . 240
37.2. Дифференцируемость функций в точке 244
37.3. Дифференцирование сложной функции 253
37.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов 256
37.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 262
37.6. Градиент функции 265
37.7. Производная по направлению 265
37.8. Пример исследования функций двух переменных.... 271

§ 38. Частные производные и дифференциалы высших порядков 273
38.1. Частные производные высших порядков 273
38.2. Дифференциалы высших порядков 277
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 281
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных. . 281
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных 291
39.3. Оценка остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции 292
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 295
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 298
§ 40. Экстремумы функций многих переменных 299
40.1. Необходимые условия экстремума 299
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 302
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 308
§ 41. Неявные функции. Отображения 309
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением. . 309
41.2. Произведения множеств 316
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 317
41.4. Векторные отображения 328
41.5. Линейные отображения 329
41.6. Дифференцируемые отображения 335
41.7. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области 344
41.8. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых 349
41.9. Замена переменных 360
§ 42. Зависимость функций 363
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций 363
42.2. Достаточные условия зависимости функций 365
§ 43. Условный экстремум 371
43.1. Понятие условного экстремума 371
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 376
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 379
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 381
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 388
Глава 5
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы 393
44.1. Понятие объема в n -мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества 393
44.2. Множества меры нуль 414
44.3. Определение кратного интеграла 417
44.4. Существование интеграла 424
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 431
44.6. Свойства кратного интеграла 434
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному 451
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 451
45.2. Обобщение на и-мерный случай 459
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского. . 462
45.4. Объем и-мерного шара 464
45.5. Независимость меры от выбора системы координат... 465

45.6*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора 466
§ 46. Замена переменных в кратных интегралах 469
46.1. Линейные отображения измеримых множеств 469
46.2. Метрические свойства дифференцируемых
46.3. Формула замены переменных в кратном интеграле.. . 482
46.4. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения 490
46.5. Криволинейные координаты 491
§ 47. Криволинейные интегралы 494
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 494
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 498
47.3. Расширение класса допустимых преобразований
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким
47.5. Интеграл Стилтьеса 505
47.6*. Существование интеграла Стилтьеса 507
47.7. Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода 514
47.9. Вычисление площадей с помощью криволинейных
47.10. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области 525
47.11. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 529
§ 48. Несобственные кратные интегралы 539
48.1. Основные определения 539
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 542
48.3. Несобственные интегралы от функций,
§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов 550
49.1. Вычисление площадей и объемов 550
49.2. Физические приложения кратных интегралов 551
§ 50. Элементы теории поверхностей 553
50.1. Векторные функции нескольких переменных 553
50.2. Элементарные поверхности 555
50.3. Эквивалентные элементарные поверхности. Параметрически заданные поверхности 557
50.4. Поверхности, заданные неявно 567
50.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 567
50.6. Явные представления поверхности 574
50.7. Первая квадратичная форма поверхности 578
50.8. Кривые на поверхности, вычисление их длин и углов между ними 580
50.9. Площадь поверхности 581
50.10. Ориентация гладкой поверхности 584
50.11. Склеивание поверхностей 588
50.12. Ориентируемые и неориентируемые поверхности 592
50.13. Другой подход к понятию ориентации поверхности... 593
50.14. Кривизна кривых, лежащих на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности 598
50.15. Свойства второй квадратичной формы поверхности... 601
50.16. Плоские сечения поверхности 602
50.17. Нормальные сечения поверхности 605
50.18. Главные кривизны. Формула Эйлера 607
50.19. Вычисление главных кривизн 611
50.20. Классификация точек поверхности 613
§ 51. Поверхностные интегралы 617
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов... 617
51.2. Формула для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла 621
51.3. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм 623
51.4. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям 626
51.5. Обобщение понятия поверхностного интеграла второго рода 626
§ 52. Скалярные и векторные поля 631
52.2. Об инвариантности понятий градиента, дивергенции
52.3. Формула Гаусса-Остроградского. Геометрическое определение дивергенции 640
52.4. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря. . 647
52.5. Соленоидальные векторные поля 653
52.6. Потенциальные векторные поля 655
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра 663
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру. . . 663
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 668
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра 668
54.2*. Признак равномерной сходимости интегралов 674
54.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих
54.4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов 682
54.5. Эйлеровы интегралы 686
54.6. Комплекснозначные функции действительного аргумента 691
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 694
54.8*. Асимптотические ряды 698
54.9*. Асимптотическое разложение неполной гамма-функции 702
54.10. Замечания о кратных интегралах, зависящих
Предметно-именной указатель 706
Указатель основных обозначений 713

Том 3. ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7

Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье 4
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 10
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 15
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 19
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера 31
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 34
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами 40
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций 43
55.9. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 45
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье 48
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье 53
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала 56
55.13. Комплексная запись рядов Фурье 57
55.14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 58
55.15. Суммирование тригонометрических рядов 59
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 61
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 61
56.2. Различные виды записи формулы Фурье 70
56.3. Главное значение интеграла 71
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье 72
56.5. Преобразование Фурье 73
56.6. Интегралы Лапласа 76
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций 77
56.8. Преобразование Фурье производных 78
56.9. Свертка и преобразование Фурье 80
56.10. Производная преобразования Фурье функции 83
Глава 8

Функциональные пространства
§ 57. Метрические пространства 85
57.1. Определения и примеры 85
57.2. Полные пространства 91
57.3. Отображения метрических пространств 97
57.4. Принцип сжимающих отображений 101
57.5. Пополнение метрических пространств 105
57.6. Компакты 110
57.7. Непрерывные отображения множеств 122
57.8. Связные множества 124
57.9. Критерий Арцела компактности систем функций 124
§ 58. Линейные нормированные и полунормированные
58.1. Линейные пространства 128
58.2. Норма и полунорма 141
58.3. Примеры нормированных и полунормированных
58.4. Свойства полунормированных пространств 150
58.5. Свойства нормированных пространств 154
58.6. Линейные операторы 162
58.7. Билинейные отображения нормированных
58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных пространств 175
58.9. Формула конечных приращений 180
58.10. Производные высших порядков 182
58.11. Формула Тейлора 184
§ 59. Линейные пространства со скалярным произведением 186
59.1. Скалярное и почти скалярное произведения 186
59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 191
59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства 193
59.4. Фактор-пространства 198
59.5. Пространство L2 202
59.6. Пространства Lp 214
§ 60. Ортонормированные базисы и разложения по ним 217
60.1. Ортонормированные системы 217
60.2. Ортогонализация 221
60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра 224
60.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств 239
60.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье 243
60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в прямую сумму 248
60.8. Функционалы гильбертовых пространств 254
60.9*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля 257
§ 61. Обобщенные функции 266
61.1. Общие соображения 266
61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства 272
61.3. Определение обобщенных функций. Пространства ВиД" 277
61.4. Дифференцирование обобщенных функций 283
61.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S" 287
61.6. Преобразование Фурье в пространстве S 290
61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 293
Дополнение
§ 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений 301
62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функций и интегралов 301
62.2. Решение уравнений 305
62.3. Интерполяция функций 311
62.4. Квадратурные формулы 314
62.5. Погрешность квадратурных формул 317
62.6. Приближенное вычисление производных 321
§ 63. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов 323
§ 64. Предел по фильтру 325
64.1. Топологические пространства 326
64.2. Фильтры 328
64.4. Предел отображения по фильтру 335
Предметно-именной указатель 340
Указатель основных обозначений 346

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "