Главная » Кухня » Совместная система линейных уравнений определенная. Система линейных уравнений называется определенной если. Теорема о ранге матрицы

Совместная система линейных уравнений определенная. Система линейных уравнений называется определенной если. Теорема о ранге матрицы

Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание : термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц .

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников .

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных , то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений) .

Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).

Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли .

Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.

Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!

(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.

Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.

В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные свободными . Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы .
В данном примере базисными переменными являются и

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные .

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Придавая свободным переменным произвольные значения , можно найти бесконечно много частных решений . Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:

– частное решение.

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:

– еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.

Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

В левую часть второго уравнения системы:

Получена правая часть исходного уравнения.

Пример 4

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание . Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Пример 5

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.

Таким образом, общее решение:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.

Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.

Ответ : Общее решение: , частные решения: , .

Зря я тут про негров вспомнил... ...потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Пример 6

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.

Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует

Пример 1 . Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

Решение выполняем с помощью калькулятора . Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x 1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 .
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 2 , x 3 , x 4 , значит, неизвестные x 2 , x 3 , x 4 – зависимые, а x 1 , x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
, ,

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 2 , x 3 , x 4 через свободные x 1 и x 5 , то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x 1 = x 5 = 0, тогда x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) положим x 1 = 1, x 5 = -1, тогда x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2 . Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение . Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Пример 3 . Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение . Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r B > r A .

Задание . Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления .
Решение

Пример . Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса ; 2) методом Крамера . (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример . Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной .
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 ,x 3 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 ,x 3 – зависимые (базисные), а x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределенной , т.к. имеет более одного решения.

Задание . Решить систему уравнений.
Ответ :x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.

Определённая, неопределённая СЛАУ.

Если СЛАУ имеет решение и при том единственное, то её называют определённой а если решение неединственное – то неопределённой .

МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных .

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы , т.е. определитель матрицы А: D = det (a i j) и n вспомогательных определителей D i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид: D × x i = D i (i = ).

Из этого следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Теорема (правило Крамера): Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство: Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца .

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: . Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема Кронекера - Капелли.

Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы .

Доказательство: Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что .

Пусть набор чисел является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , . Тогда , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть . Предположим, что . Тогда по . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу свойств определителя , где -- определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор M, то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка r+1 матрицы только порядком столбцов. Так как , то . Таким образом, , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что , неверно.

2. Пусть . Покажем, что система имеет решение. Так как , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

(1)

Положим , , , , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях получим

В силу равенства (1) . Последнее равенство означает, что набор чисел является решением системы. Существование решения доказано.

В рассмотренной выше системе , и система является совместной. В системе , , и система является несовместной.

Замечание:Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить и , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя и к методу нахождения ранга матрицы. Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

1. перестановка строк;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами. Если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером k, в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

где , . Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы Ax=b. Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при -- второе решение и т.д.

Способ 2: Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одной переменной, перенесенной в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным - нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другой переменной в правой части значение 1, а остальным - нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

Определение:система называется совместно й, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет. Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

имеет решение , и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Данная система всегда совместна так как имеет тривиальное решение х 1 =…=х n =0

Для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно выполнение

словия r = r(A) < n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Совокупность решений СЛАУ образует линейное пространство размерности (n-r). Это означает, что произведение ее решения на число, а также сумма и линейная комбинация конечного числа ее решений является решениями этой системы. Линейное пространство решений любой СЛАУ является подпространством пространства R n .

Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений СЛАУ (являющаяся базисом в пространстве решений) называется фундаментальной совокупностью решений(ФСР).

Пусть х 1 ,…,х r - базисные неизвестные, х r +1 ,…,х n – свободные неизвестные. Свободным переменным дадим поочередно следующие значения:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Образует линейное пространство S (пространство решений), которое является подпространством в R n (n – число неизвестных), причем dims=k=n-r, где r- ранг системы. Базис в пространстве решений{x (1) ,…, x (k) } называется фундаментальной системой решений, и общее решение имеет вид :

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом , методом Гаусса . Однако на практике широко распространены еще два случая, когда:

1) система несовместна (не имеет решений);

2) система имеет бесконечно много решений.

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Есть такая теорема, которая утверждает:«Если количество уравнений в системе меньше количества переменных , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений». И это осталось только выяснить.

(1). На левой верхней ступеньке нам нужно получить (+1) или (–1). Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Мы поступили так. К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на (–1).

(2). Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 5.

(3). После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную (–1) на второй ступеньке. Третью строку делим на (–3).

(4). К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований:

. Ясно, что так быть не может.

Действительно, перепишем полученную матрицу

обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где λ – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Как записать концовку задания? Необходимо записать фразу:

«В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 ». Ответ: «Система не имеет решений (несовместна)».

Обратите внимание, что в этом случае нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Снова напоминаем, что Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения, метод Гаусса не задаёт однозначного алгоритма, о порядке действий и о самих действиях надо догадываться в каждом случае самостоятельно.

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица

Эта матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет необходимости, так как появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок студенту, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия. Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3:

Решить систему линейных уравнений

Вот и всё, а вы боялись.

(1). Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (–4). К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1).

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: к четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1) – именно так!

(2). Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить. Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки не лишним будет вторую строку умножить на (–1), а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки , где λ ≠ 0, тоже нет. Значит, это и есть третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений.

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса. Для систем уравнений с бесконечным множеством решений появляются новые понятия: «базисные переменные» и «свободные переменные» . Сначала определим, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные - свободными . Не обязательно подробно разъяснять термины линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы . В данном примере базисными переменными являются x 1 и x 3 .

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: x 2 и x 4 – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх. Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную x 3:

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную x 1 через свободные переменные x 2 и x 4:

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные (x 1 и x 3) выражены только через свободные переменные (x 2 и x 4):

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение? Прежде всего, свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные x 2 и x 4 следует записать на второй и четвертой позиции:

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Из общего решения системы можно найти бесконечно много частных решений . Это очень просто. Свободными переменные x 2 и x 4 называют так, потому что им можно придавать любые конечные значения . Самыми популярными значениями являются нулевые значения, поскольку при этом частное решение получается проще всего.

Подставив (x 2 = 0; x 4 = 0) в общее решение, получим одно из частных решений:

, или – это частное решение, соответствующее свободным переменным при значениях (x 2 = 0; x 4 = 0).

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим (x 2 = 1 и x 4 = 1) в общее решение:

, т. е. (-1; 1; 1; 1) – еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений, так как свободным переменным мы можем придать любые значения.

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение (-1; 1; 1; 1) и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно. Поэтому, прежде всего, более основательна и надёжна проверка общего решения.

Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно требует длительных преобразований. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

Получена правая часть исходного первого уравнения системы.

В левую часть второго уравнения системы:

Получена правая часть исходного второго уравнения системы.

И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Эта проверка дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют именно проверку общего решения.

Пример 4:

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Пример 5:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и, с помощью элементарных преобразований, приведем ее к ступенчатому виду:

(1). Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.

(2). К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–5). К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–7).

(3). Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем. Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.

Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: .

(4). Обратный ход. Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

, , ,

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Таким образом, общее решение при одной свободной переменной x 4:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная x 4 одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , , - тоже на своих местах.

Сразу выполним проверку общего решения.

Подставляем базисные переменные , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, найдено верное общее решение.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Все переменные выражаются здесь через единственную свободную переменную x 4 . Ломать голову не нужно.

Пусть x 4 = 0, тогда – первое частное решение.

Пусть x 4 = 1, тогда – еще одно частное решение.

Ответ: Общее решение: . Частные решения:

и .

Пример 6:

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у нас уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения. Главное, чтобы совпали общие решения. Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановимся на особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах. В общее решение системы иногда может входить константа (или константы).

Например, общее решение: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Однако метод Гаусса работает в самых суровых условиях. Следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Повторимся в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.

Решения и ответы:

Пример 2:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:

(1) Первую и третью строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–6). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–7).

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на (–1).

В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 . Значит, система несовместна. Ответ: решений нет.

Пример 4:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:

(1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

Для второй ступеньки нет единицы , и преобразование (2) направлено на её получение.

(2). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.

(3). Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)

(4). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(5). У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

(1). Здесь – базисные переменные (которые на ступеньках), а – свободные переменные (кому не досталось ступеньки).

(2). Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Из третьего уравнения: .

(3). Рассмотрим второе уравнение: , частные решения:

Ответ: Общее решение:

Комплексные числа

В этом разделе мы познакомимся с понятием комплексного числа , рассмотрим алгебраическую , тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять алгебраические действия с «обычными» числа, и помнить тригонометрию.

Сначала вспомним «обычные» Числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой R, либо R (утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой оси обязательно соответствует некоторое действительное число.

Напечатать

или

Совместная система линейных уравнений определенная. Система линейных уравнений называется определенной если. Теорема о ранге матрицы

Похожие записи: