Свойство касательной плоскости к сфере. Касательная плоскость к сфере. Сказка о возникновении шара

Дата: 02.02.2016

Тема: Касательная к сфере (шару) плоскости.

Цель урока: Сформировывать знания и умения, учащихся по теме, рассмотреть теоремы

о , научить решать задачи по данной теме.
Воспитывать внимательность, добросовестное отношение к учебе, аккуратность

Развивать память, мышление, пространственное воображение, речь

Структура урока

Организационный момент

Постановка цели урока

Проверка домашнего задания

Защита презентаций учащимися

Индивидуальная самостоятельная работа

Решение задач в паре

Решение задач в группе

Игра на развитие внимательности

Выдача домашнего задания

Итог урока
Ход урока

В начале урока проводится устная работа. Повторение основных понятий связанных с шаром и сферой.

Домашние задания №26 (стр 61), № 34

Дежурные на доске (на перемене) выполняют чертежи к домашним заданиям. На уроке учитель к доске вызывает двух учеников для проверки домашнего задания. После ответа у доски ученики ставят себе оценки на оценочных листах.

Защита презентаций:

І группа: История возникновения шара

ІІ группа: Взаимное расположение сферы и плоскости

ІІІ группа: Шар и сфера в живой природе

Самостоятельная работа

1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1 вариант

(х-2) 2 +(у+3) 2 + z 2 = 25

2 вариант

(х+3) 2 + у 2 + (z -1) 2 = 16

2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром окружности в точке А, если:

1 вариант

А (2; 0; -1), R = 7

2 вариант

A (-2; 1; 0) , R = 6

3. Проверти, лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением:

1 вариант

(х + 2) 2 + (у – 1) 2 + (z – 3) 2 = 1, если А (-2; 1; 4)

2 вариант

(х - 3) 2 + (у + 1) 2 + (z - 4) 2 = 4, если А (5; - 1; 4)

4. Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы:

1 вариант

х 2 +у 2 + z 2 + 2 z - 2у= 2

Работа в паре

2 вариант

х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2 z = 7

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Работа в группе

Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см

Игра на внимательность

На цветных бумагах записаны основные формулы площадей поверхностей многогранников и тел вращения. Эти карточки прикреплены на магнитную доску. Учитель просит внимательно посмотреть на формулы и запомнить их. Естественно ученики начинают запоминать сами формулы. Закрыв доску, учитель задает вопросы следующего содержания: «Какого цвета карточка, на которой записана формула площади боковой поверхности пирамиды?» и т.д. Естественно ученики не ожидали такого вопроса. Учитель дает еще одну возможность, но на этот раз ученики стараются запомнить и цвет карточки.

Итог урока.

Шкала оценок

«5» за 8-9 баллов

«4» - за 6-7 баллов

«3» - за 4-5 баллов

Домашнее задание: № 28 (стр 61), № 29 (стр 62)

Сказка о возникновении шара

Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.

«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».

Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.

Из истории возникновения

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Общие понятия

• Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
• Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
• Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Сечение шара плоскостью

• Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
• Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

Задача на тему шар (д/з)

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)

Урок 10. Касательная плоскость к сфере.

Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

Ход урока

Актуализация опорных знаний.

Повторение сведений из планиметрии.

Определение касательной.

Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

Рассмотрим последний случай подробнее.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.

К
асательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а .

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

Формирование умений и навыков учащихся.

Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).

Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)

Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.

Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.

Работа по таблице 33.

АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)

AM = АО-ОМ=9.

Итог урока.

Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.

П. 64 – 67, изучить п, 576, 578

Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587

О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, - касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d

О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: - касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

««Сфера и шар» 11 класс» - Координаты центра. Сфера. Площадь поверхности сферы. Исторические сведения о сфере и шаре. Уравнение сферы. Шар. Физкультминутка. Определение сферы. Сфера и плоскость. Взаимное расположение сферы и плоскости. Окружность и круг. Как изобразить сферу. Радиус сечения. Определение сферы, шара. Площадь сферы.

«Касательная плоскость к сфере» - Уравнение сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Сфера и шар. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере. Взаимное расположение прямой и плоскости.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Решение задач по готовым чертежам. Устный тест: «Тела вращения». Конус. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Шар и сфера. Работа у доски. Площадь сферы. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Установите соответствие. Цели и задачи.

«Чем отличается сфера от шара» - Координаты центра. Представление о сфере. Уравнение сферы радиуса R. Сфера и шар. Шар. Понятие сферы. Окружность. Предметы окружающей обстановки. Сфера. Определение сферы. Круг. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Уравнение сферы.

«Сфера и шар» - Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Сечение шара плоскостью. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. Касательная плоскость к сфере. Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

«Шар» - Повторение теоретических положений. В своей работе мы: В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. Организация исследовательской деятельности учащихся во внеурочное время. Конус. Найти объем призмы. Исследовательская деятельность во внеурочное время. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.

Всего в теме 12 презентаций