Тригонометрические функции. Формулы приведения тригонометрических функций

Геометрически угол определяется неоднозначно. Так, например, угол можно определить как часть плоскости, ограниченную двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла. Иногда, угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки – вершины. В тригонометрии можно использовать как первое, так и второе определения, так как нас больше всего будет интересовать не сам угол, а его мера.

Нам известны следующие единицы измерения величин углов: прямой угол d, градус, минута, секунда: .

При решении задач механики, астрономии, электротехники и других разделов естествознания и техники широко применяется еще одна единица измерения величин углов – так называемый радиан .

Установим связь между градусным и радианным измерениями некоторых часто встречающихся на практике углов:

Так как соответствует π радианам, то: ; ; .

Пример . Выразить в радианной мере углы .

Решение . Очевидно, что ; .

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность, т.е. окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Обозначим через P 0 точку единичной окружности с координатами (1; 0). Точку P 0 будем называть начальной точкой. Возьмем произвольное число t . Повернем начальную точку на угол t . Получим точку на единичной окружности, которую обозначим через P t .

Синусом числаt называется ордината точки P t , полученной поворотом начальной точки единичной окружности на угол t , косинусом числа t называется абсцисса точки P t .

Если обозначить координаты точки P t через x и y, то мы получим x=cos t, y=sin t или можно записать, что точка P t имеет координаты (cos t, sin t).

Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу, т.е. по определению tg t = ; котангенсом числа t называется отношение косинуса числа t к его синусу, т.е. по определению ctg t = .

Тангенс числа t определен для тех значений t , для которых cos t , а котангенс числа t определен для тех значений t , для которых sin t . Итак, мы определили правила вычисления тригонометрических функций для числа t .

Из определения тригонометрических функций следует, что sin t cos t могут принимать значения, по модулю не превосходящие 1 , т.е. для любых чисел t справедливо неравенство: и .

Тангенс числа t и котангенс числа t могут принимать любые значения.

Приведем таблицу значений синуса и косинуса для некоторых значений аргументов, выраженных в радианах и в градусах

α
0ْ	30ْ	45ْ	60ْ	90ْ	120ْ	135ْ	150ْ	180ْ
Sinα
Cosα						-	-	-	-1

α
210ْ	225ْ	240ْ	270ْ	300ْ	315ْ	330ْ	360ْ	210ْ
Sinα	-	-	-	-1	-	-	-		-
Cosα	-	-	-						-

Основное тригонометрическое тождество: .

Следствия:

Для тригонометрических функций одного аргумента выполняются также следующие соотношения:

Значения тригонометрических функций острых углов можно вычислить по таблицам или при помощи вычислительных приборов (калькуляторов, компьютера и т. п.). Однако при решении практических задач часто возникает необходимость вычислять значения тригонометрических функций для аргумента, большего . Для этой цели существуют так называемые формулы приведения, которые позволяют заменить тригонометрические функции больших значений аргументов тригонометрическими функциями острого угла.

Основными формулами приведения являются следующие

Из основных формул легко вывести и другие формулы приведения:

Формулы приведения для тангенса и котангенса получаются как следствия аналогичных формул для синуса и косинуса. Например,

Таким образом, можно вычислить значения всех тригонометрических функций от угла . В результате получается следующее правило:

Если в формуле приведения угол α вычитается из числа или прибавляется к этому числу, взятому нечетное число раз, то приводимая функция меняется на кофункцию; если же число взято четное число раз, то название приводимой функции сохраняется. Знак перед приводимой функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, если считать угол α острым .

Результат этих вычислений представим в таблице

Функция	-α
sin u	- sin α	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α
cos u	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α
tg u	-tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α
ctg u	-ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α

Пример . Найти значение cos 315°.

Решение . Ясно, что По таблице находим (7-й столбец, 2-я строка):

Можно было бы cos 315° представить как и, найти его значение по таблице на пересечении 8-го столбца и 2-й строки.

Пример . Привести к тригонометрической функции острого угла: а) sin 162°; б) cos 830°; в) ctg 2281°.

Решение . а) ;

Тригонометрические функции суммы и разности (теоремы сложения).

Справедливы равенства:

Следствие . При β=α из формул суммы тригонометрических функций получим

формулы двойного угла :

Пример . Найти значение cos 15°, используя теоремы сложения.

Решение .

Пример . Найти tg 45°.

Решение .

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Откуда

Откуда

Пример . Найти , если , .

Решение .

Пример . Упростите выражение .

Решение . Используя формулу , получим .

Следовательно,

Обратные тригонометрические функции.

Функция, обратная функции y = sin x, рассматриваемой в промежутке - , называется арксинусом.

Арксинус обозначается так: x = arcsin y . Областью её определения является промежуток -1 .

Здесь уже y рассматривается как аргумент, а х – как функция. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (что не имеет принципиального значения), мы переставим буквы и будем писать y = arcsin x.

Таким образом, arcsin x есть дуга (или угол), взятая (взятый) в промежутке

от - до :

cинус которой (которого) равен числу x:

sin (arcsin x) = x.

Например, arcsin ; arcsin (-1) = - .

Функция, обратная функции y = cos x на сегменте 0 , называется арккосинусом:

x = arccos y .

Областью определения арккосинуса является промежуток [-1, 1].

Таким образом (поменяв местами роли переменных x и y ), заметим, что

arccos х есть дуга (или угол), взятая (взятый) в промежутке от 0 до :

косинус которой (которого) равен x :

cos(arccos x) = x , где -1 .

Например, arccos 0= , arccos .

Функция, обратная функции y = tg x в интервале - < x < , называется арктангенсом :

x = arctg y .

Функция, обратная функции y = ctg x в интервале (0, ), называется арккотангенсом :

x = arcctg y .

Обратные тригонометрические функции используются при решении тригонометрических уравнений.

Тригонометрическими называют уравнения, содержащие неизвестное под знаками тригонометрических функций.

Рассмотрим решения простейших из них:

sin x=a; cos x =a; tg x=a; ctg x=a.

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящего в него неизвестного, которое удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим уравнение sin x=a.

При а =1 уравнение имеет решения .

При а

При уравнение sin x=a имеет бесконечное множество решений.

Период синуса равен 2π, поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на отрезке длины 2π. Множество решений уравнения sinx=a имеет вид

Пример . Решить уравнение .

Решение . По формуле получаем:

Рассмотрим уравнение cos x =a .

При и это уравнение не имеет решений, так как .

При а =1 уравнение имеет решения .

При а = -1 уравнение имеет решения .

При а =0, .

Чтобы записать все решения этого уравнения, необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по 2πk. В итоге получим бесконечное множество решений

Пример . Решить уравнение .

Решение . Так как и , то

Рассмотрим уравнение tg x=a .

Период функции tg x равен π и каждое из своих значений функция принимает в промежутке длины π один раз. Выберем промежуток . По определению арктангенса, на этом промежутке решением уравнения будет . Чтобы записать все решения уравнения , необходимо к полученному решению прибавить числа вида . Следовательно, уравнение имеет решения

Пример . Решить уравнение .

Решение . Так как , то формула (3) в данном случае примет вид

Рассмотрим уравнение ctg x=a .

Период функции котангенс равен π, поэтому для нахождения всех решений этого уравнения необходимо найти их на любом отрезке длины π и прибавить к ним числа вида . Удобно взять промежуток . На нем по определению арккотангенса, . Следовательно, уравнение имеет решения

Пример . Решить уравнение .

Решение . Так как , то формула (4) в данном случае принимает вид

Примеры решения тригонометрических уравнений .

Существуют два общих метода решения тригонометрических уравнений – метод подстановки и метод разложения на множители . При решении уравнений методом подстановки очень важен выбор функции, через которую выражаются различные тригонометрические функции одного и того же неизвестного аргумента, входящие в уравнение. Предпочтение необходимо отдавать той функции, которая приводит к рациональному решению.

Рациональные уравнения , в которые входят cosx, sinx и постоянные, записываются в виде

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида

Первое из этих уравнений имеет решения

Чтобы найти решение второго уравнения, разделим его почленно на cosx и получим

Пример . Решить уравнение

Решение . Перенесем второй член левой части уравнения в право, получим

Мы уже знаем, что если тангенсы равны, то их аргументы разнятся на величины πk , поэтому

Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.

– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:

угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов

* * *

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

2. Запомните следующее:

функция изменяется на кофункцию

функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Вот и всё!

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

***

В статье на решение был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(\pi + \alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`

2. `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac {3\pi}2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)= — cos \alpha`

3. `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)`.

`cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {6\pi}2+\frac {\pi}2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac{\pi}2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.

Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Практические примеры использования формул приведения

Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:

• задачи на решение прямоугольного треугольника;
• преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
• стереометрические задачи.

Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.

Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac{\sqrt 3}3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac{\sqrt 3}2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac{\sqrt 3}2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.

Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`

`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`

`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`

`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.

2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8

`sin \frac {\pi}8

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно.

А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}