Бесконечные множества и действительные числа. Действительные числа

13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b-дейсвительнее числа,причем a

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

= {х: α ≤ х ≤ b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(a;) = {х: а < х < b} - интервал (открытый промежуток);
= {х: а < х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = {х: х ≤ b}; [α, +∞) = {х: х ≥ α};
(-∞; b) = {х: х а};
(-∞, ∞) = {х: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть х о -любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (х о -ε,х о +ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х о. Число х о называется центром.

Если хÎ (х 0 -ε; х 0 +ε), то выполняется неравенство x 0 -ε<х<х 0 +ε, или, что то же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-оо, +оо) или (-оо, оо).

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное со ответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.

Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.

Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как
мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли.

Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».

Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать
любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве
(а + Ь){а-b) = а 2 -b 2 в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно
рациональные. Этим мы уже пользовались в конце предыдущего параграфа. Этим же мы пользовались и в § 18 — в частности, в примерах 6, 7, 8 из указанного параграфа.

Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:
а + b = b + а;
аЬ = bа;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc и т. д.
Выполняются и привычные правила: произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение . Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).

Итак, а > 0 означает, что а — положительное число;
а < 0 означает, что а — отрицательное число;
а>b означает, что а -b — положительное число, т. е. а - b > 0;
a т.е. а - b < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют знаки нестрогих неравенств:
а 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше нуля;
а 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т. е. а — неположительное число (отрицательное или 0), или что а не больше нуля;
а b означает, что а больше или равно b, т. е. а - b — неотрицательное число, или что а не меньше b; а - b 0;
а b означает, что а меньше или равно b, т. е. а - b — неположительное число, или что а не больше Ь; а - b 0.
Например, для любого числа а верно неравенство а 2 0;
для любых чисел а и b верно неравенство (а - b) 2 0.
Впрочем, для сравнения действительных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей.

Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.

Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.

Пример 1. Сравнить числа:

Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа

На третьей строке – по три числа на каждое кубическое уравнение соотв. упорядоченным четверкам и т. д.

Т. о. получим матрицу, которую можно обойти при помощи диагонального процесса Кантора. Если часть корней алгебраического уравнения комплексная, при нумерации их просто пропускаем. Т. о. каждое алгебраическое число получит соответствующий номер, и это подтверждает тот факт, что множество алгебраических действительных чисел счетно .

Факт эффективной перечислимости множества А напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами, т. к. попутно указана эффективная процедура нумерации наборов рациональных чисел, однозначно задающих алгебраические уравнения соответствующей степени. При этом важно то, что алгебраическое уравнение n-ой степени имеет эффективный алгоритм решения, т. о. процедура полностью эффективна. Итак, множество алгебраических действительных чисел счетно и эффективно перечислимо, Q. E.D.

Счетными также будут множества, составленные из всех пар, троек, и т. д. алгебраических чисел.

2.3.7. Счетные числовые множества: обобщение

Т.2Теорема (без доказательства)

Множество элементов, которые можно представить с помощью конечного числа счетной системы знаков, счетно.

В реальной жизни мы используем различные конечные системы знаков, например цифры, буквы, ноты.

Рассмотрим систему знаков, например, числа в любой конечной системе счисления, допустим десятичной. Имея 10 знаков в нашем распоряжении: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 мы можем составлять два типа множеств: фиксированной длины и произвольной длины.

В первом случае речь идет о чисто комбинаторной задаче, например можно составить 105 различных последовательностей из пяти символов. Это немаленькое число, но оно натуральное и мощность рассматриваемого множества всех возможных последовательностей такого рода выражается натуральным числом. Во втором случае множество таких последовательностей будет счетно-бесконечно, по аналогии с множествами комплексов натуральных чисел, и его мощность есть число алеф-ноль.

Можно обобщить, что полученное в результате применения Теоремы 2.3.(7) множество будет счетно-бесконечно, если в случае конечной системы знаков допустить сколь угодно длинные комплексы знаков (сколько угодно длинные, но при этом все равно конечные!).

Счетно-бесконечными являются, например:

· множество «слов», которое можно составить при помощи конечного алфавита («слово» здесь - комплекс букв, не важно имеющих смысл или нет),

· множество всех книг, написанных на любом или даже на всех языках,

· множество всех симфоний и т. д.

2.4.1. Несчетность множества действительных чисел (континуума)

Множество действительных чисел обозначим латинской буквой R.

Т.2Теорема

Множество действительных чисел несчётно.

Доказательство

Предположим противное, пусть множество действительных чисел счетное. Тогда любое подмножество счетного множества тоже счетное. Возьмём на множестве действительных чисел подмножество R1 - интервал (0,1) и выкинем из этого отрезка числа, содержащие хотя бы в одном своём разряде нули или девятки (примеры таких чисел: 0.9, 0.0001 и т. д.). Множество R2, составленное из оставшихся чисел, является подмножеством множества R1 . Это означает, что R2 – счетное.

Из того факта, что R2 – счетное, напрямую следует, что возможен какой-либо способ перечисления его элементов для установления взаимно-однозначного соответствия между элементами R2 и элементами множества натуральных чисел. Это следует из самого определения мощности множества, согласно которому предполагается, что в равномощных множествах каждый элемент одного множества имеет парный элемент из другого множества и наоборот. Обратите внимание, фундаментальное отличие данного определения от определения эффективной перечислимости состоит в том, что в данном случае мы даже не говорим о наличии какого-либо алгоритма перечисления, мы просто утверждаем, что можно привести список действительных чисел из множества R2 и список соответствующих им натуральных чисел из множества N. Алгоритм построения связи N ↔ R2 нас в данном случае не интересует, достаточно того, что такое соответствие возможно.

Построим такой список чисел из множества R2 и пронумеруем числа в разрядах:

Теперь построим число b=0.b1b2…, причём

bi=aii+1, где + обозначает операцию сложения, результатом которого не могут быть числа 0 и 9, т. е. если aii=1, то bi=2; если аii=2, то bi=3, …., если aii=8, то bi=1).

Таким образом, построенное число b будет отличаться от каждого из чисел множества R2 хотя бы в одном разряде, и, следовательно, не попадёт в составленный список. Однако по своей структуре число b должно содержаться в множестве R2. Получили противоречие, значит исходное предположение неверно и множество R2 - несчётно.

Так как множество R2 является по условию подмножеством множества R1, то R1 – несчетно, а т. к. R1 несчетно – то значит и множество R несчётно, Q. E.D.

Примечание : можно и не выбрасывать числа, содержащие 0 и 9. Таким образом, в наш ряд некоторые числа войдут дважды. Это связано с тем, что конечные дроби могут быть превращены в бесконечные. Например ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

В общем случае это могло стать причиной того, что не удалось сосчитать множество действительных чисел. Но множество чисел, представимых двояким образом (конечные дроби) – это множество рациональных чисел. Как было доказано ранее, их счетное количество. Можно даже показать, что это множество эффективно перечислимо. Т. о. даже двойное представление множества таких чисел образует счетное множество, следовательно, доказательство верно даже без такого упрощения.

Получен принципиально новый результат – найдено несчетное множество чисел. Его мощность согласно доказанной теореме не равна алеф-нуль (À0) , а значит необходимо новое число в трансфинитной шкале.

Алеф ( À) – второе трансфинитное число. По определению это мощность континуума (всех действительных чисел). Это вторая по величине бесконечная мощность. Доказанная только что Теорема 2.4.(1) о несчетности множества действительных чисел является убедительным доказательством того, что мощность этого множества больше, чем алеф-ноль (больше множества натуральных чисел). И это весьма важный результат после череды доказательства счетности разнообразных множеств чисел.

Если оперировать понятием кардинального числа (мощности), то получим, что, так как каждое число сегмента (0,1) может быть представлено десятичной дробью вида 0.a1a2a3… не менее одного раза и не более двух, то:

À≤10 À0≤ 2À ,

а т. к. 2À=À, то получим что 10 À0= À. Те же рассуждения справедливы в случае, если мы будем разлагать числа не в десятичные, а, например, в двоичные дроби, дроби с основанием 3, 15, 10005 или даже À0 (если вы можете такое себе представить).

Т. о. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Если задуматься, можно обнаружить очередной не вполне очевидный факт из теории множеств. À2=À À есть мощность множества пар действительных чисел. Пара действительных чисел, вообще говоря, соответствует точке на плоскости. В свою очередь, À3=À À À есть мощность множества троек действительных чисел, а это точки в пространстве. Рассуждения можно продолжить далее вплоть до À0 - мерного пространства или множества всех последовательностей действительных чисел счетной длины. Т. о. все конечно-мерные или счетно-мерные пространства имеют одинаковую мощность À (здесь À - количество точек в пространстве).

Для À0- мерного действительного пространства или множества всех последовательностей действительных чисел счетной длины с точки зрения операций над кардинальными числами получим ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

В этом месте интересно будет обратиться к историческим событиям, связанным с чередой доказательств в этой сфере. С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, хотя и не сразу, но в итоге примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок на действительной оси, он обратил внимание на множество точек квадрата. Изначально сомнений в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само по себе имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка. На протяжении почти трех лет (с 1871 по 1874) Кантор искал доказательство того, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. И в какой то момент совершенно неожиданно получился прямо противоположный результат: ему удалось построить соответствие, которое он искренне считал невозможным. Кантор не верил сам себе и даже написал немецкому математику Рихарду Дедекинду: «Я вижу это, но не верю этому». Когда шок от этого факта прошел, стало интуитивно понятно и вскоре доказано, что и куб имеет столько же точек, сколько отрезок. Вообще говоря, любая геометрическая фигура на плоскости (геометрическое тело в пространстве), содержащая хотя бы одну линию, имеет столько же точек, сколько отрезок. Такие множества назвали множествами мощности континуума (от латинского continuum – непрерывный). Следующий шаг почти очевиден: размерность пространства в определенных пределах несущественна. Например, 2-х мерная плоскость, 3-х мерное привычное пространство, 4-х, 5-ти и далее n-мерные пространства с точки зрения количества точек, содержащихся в соответствующем n-мерном теле, равномощны. Такая ситуация будет наблюдаться даже в случае пространства с бесконечным количеством измерений, важно только чтобы это количество было счетным.

На данном этапе обнаружены два типа бесконечностей и соответственно два трансфинитных числа, обозначающих их мощности. Множества первого типа имеют мощность, эквивалентную мощности натуральных чисел (алеф-ноль). Множества второго типа имеют мощность, эквивалентную количеству точек на действительной оси (мощность континуума, алеф). Показано, что во множествах второго типа элементов больше, чем во множествах первого типа. Естественно, возникает вопрос – а нет ли в природе «промежуточного» множества, которое имело бы мощность больше чем количество натуральных чисел, но при этом меньше, чем множество точек на прямой? Этот непростой вопрос получил название «проблема континуума» . Она же известна как «континуум-гипотеза» или «первая проблема Гильберта» . Точная формулировка звучит следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/390/images/image023_14.gif" height="10 src=">X DIV_ADBLOCK10">

В результате после долгих исследований по вопросу континуум-гипотезы в 1938 году немецкий математик Курт Гедёль доказал, что существование промежуточной мощности не противоречит остальным аксиомам теории множеств. И позднее, в гг. почти одновременно, но независимо друг от друга, американский математик Коэн и чешский математик Вопенка показали, что наличие такой промежуточной мощности не выводимо из остальных аксиом теории множеств. Кстати, интересно заметить, что этот результат очень похож на историю с постулатом о параллельных прямых. Как известно, две тысячи лет его пытались вывести из остальных аксиом геометрии, но только после работ Лобачевского, Гильберта и других удалось получить тот же результат: этот постулат не противоречит остальным аксиомам, но и не может быть выведен из них.

2.4.2. Множества комплексных, трансцендентных и иррациональных чисел

Приведем в дополнение к множеству действительных чисел еще несколько несчетных множеств.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76">Т.2.4.(2) Теорема

Множество комплексных чисел несчетно.

Доказательство

Так как множество действительных чисел R, несчётное по доказанной ранее Теореме 2.4.(1), является подмножеством множества комплексных чисел С, то множество комплексных чисел также несчётно, Q. E.D.

Трансцендентное число - действительное число, не являющееся алгебраическим.

Множество трансцендентных чисел обозначим латинской буквой Т. Каждое трансцендентное действительное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения x 2 − 2=0.

Т.2Теорема

Множество трансцендентных чисел несчетно.

Доказательство

Поскольку действительных чисел – несчетное множество, а алгебраических – счетное, и при этом множество A является подмножеством R, то R \ А (множество трансцендентных чисел) представляет собой несчетное множество, Q. E.D.

Это несложное доказательство существования трансцендентных чисел опубликовано Кантором в 1873 году и произвело большое впечатление на научную общественность, так как доказывало существование множества чисел, не строя ни одного конкретного примера, а лишь исходя из общих соображений. Из этого доказательства нельзя извлечь ни одного конкретного примера трансцендентного числа, про доказательство такого типа говорят, что оно неконструктивно .

Важно отметить, что долгое время математики имели дело лишь с алгебраическими числами. Потребовались значительные усилия, чтобы найти хотя бы несколько трансцендентных чисел. Впервые это удалось французскому математику Лиувиллю в 1844 году, который доказал набор теорем, позволяющий строить конкретные примеры таких чисел. Например, трансцендентным числом является число 0,…, в котором после первой единицы стоит один нуль, после второй – два, после третьей – 6, после n-ой соответственно n! нулей.

Было доказано, что трансцендентным является десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел 10n . Также к множеству трансцендентных чисел относятся sinα, cosα и tgα для любого ненулевого алгебраического числа α . Наиболее яркими представителями трансцендентных чисел обычно считают числа π и е. Кстати, доказательство трансцендентности числа π , проведенное немецким математиком Карлом Линдерманом в 1882 году, было большим научным событием, ведь из него следовала невозможность квадратуры круга. История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач.

Единица измерения" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π, откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня. Это означает, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π. Собственно задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием πr и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

В упоминаемом ранее списке из 23 кардинальных проблем математики под номером 7 шла проблема, касающаяся трансцендентности чисел, образованных определенным образом.

Седьмая проблема Гильберта. Пусть a --- положительное алгебраическое число, не равное 1, b --- иррациональное алгебраическое число. Доказать, что ab есть число трансцендентное.

В 1934 году советский математик Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.

С принципом деления чисел на рациональные и иррациональные связаны еще два занимательных факта, не сразу воспринимаемые как истинные.

Т.2.4.(5) Теорема

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда найдется множество иррациональных чисел мощности континуума.

Доказательство

Пусть есть два рациональных числа, a и b . Построим линейную, а стало быть, взаимно-однозначную, функцию f (x ) = (x - a ) / (b - a ). Так как f (a ) = 0 и f (b ) = 1, то f (x ) взаимно-однозначно отображает отрезок [a ; b ] в отрезок , при этом сохраняется рациональность чисел. Поэтому мощности множеств [a ; b ] и действительных чисел равны, а, как доказано, мощность отрезка равна мощности континуума. Выбрав из полученного множества только иррациональные числа, мы получим, что между любыми двумя рациональными числами всегда найдется континуум иррациональных чисел, Q. E.D.

В целом данная теорема интуитивно кажется вполне логичной. Следующая, на первый взгляд, воспринимается скептически.

Т. 2.4.(6) Теорема

Между любыми двумя различными иррациональными числами всегда найдется счетное множество рациональных чисел.

Доказательство

Пусть есть два иррациональных числа a и b , запишем их соответствующие разряды как a 1a 2a 3... и b 1b 2b 2..., где ai , bi - десятичные цифры. Пускай a < b , тогда найдется такое N, что a N < b N. Построим новое число c , для чего положим ci = ai = bi для i = 1, …, N-1. Пускай cN = bN -1. Очевидно, что c < b . Поскольку все разряды числа a после N-го не могут быть девятками (тогда это будет периодическая дробь, т. е. рациональное число), то обозначим через M >= N такой разряд числа a , что a M < 9. Положим cj = aj , при N < j < M, и c M = 9. В таком случае c > a . Итак, мы получили одно рациональное число c , такое что a < c < b . Дописывая к десятичной записи числа c любое конечное число цифр сзади мы можем получить сколь угодно много рациональных чисел между a и b . Поставив в соответствие каждому такому числу его порядковый номер, получим взаимно - однозначное соответствие между множеством этих чисел и множеством натуральных чисел, поэтому полученное множество будет счетным, Q. E.D.

На этом этапе становится интересным и важным доказательство следующей теоремы, смысл которой до введения шкалы трансфинитных чисел был вообще то очевидным, а при появлении такой специфической арифметики требует строгого доказательства.

Т.2Теорема Кантора

Для любого кардинального числа α справедливо α<2α.

Доказательство

1. Докажем, что по крайней мере α≤2α

Как известно, мощность булеана множества М равна 2|М|. Пусть множество М = {m1, m2, m3, …}. В булеан множества М (множество всех его подмножеств) в том числе входят множества, состоящие каждое из единственного элемента, например {m1},{m2},{m3}, …. Только такого вида подмножеств будет |М|, а кроме них в булеан входят и другие подмножества, значит, в любом случае |М|≤ 2|М|

2. Докажем строгость неравенства α<2α

С учетом доказанного в п.1. достаточно показать, что не допустима ситуация, при которой α=2α. Предположим противное, пусть α=2α, т. е. |М| = 2|М|. Это означает, что М равномощно Р(М), значит существует отображение множества М на его булеан Р(М). Т. о. каждому элементу m множества M взаимно однозначно соответствует некоторое подмножество Мm, принадлежащее Р(М). Значит любой элемент m или принадлежит соответствующему ему подмножеству Мm, или не принадлежит. Построим множество M*, образованное из всех элементов второго рода (т. е. тех m, которые не принадлежат соответствующим им подмножествам Мm)

По построению видно, что если какой-либо элемент m принадлежит M*, значит он автоматически не принадлежит Мm. Это, в свою очередь означает, что ни для какого m невозможна ситуация M*=Мm. Значит, множество M* отлично от всех множеств Мm и для него нет взаимно-однозначного элемента m из множества M. Это в свою очередь означает, что равенство |М|= 2|М| неверно. Т. о. доказано, что |М|< 2|М| или α<2α , Q. E.D.

В приложении к рассмотрению бесконечных множеств, это убедительно доказывает, что множество всех подмножеств натуральных чисел (а это, по сути, множество комплексов бесконечной длины) НЕ равномощно множеству самих натуральных чисел. Т. е. À0 ≠ 2À0. И значит, по аналогии, можно построить еще более обширное множество, например на основе действительных чисел. Иными словами, вопрос относительно других типов бесконечных множеств заключается в следующем: а существует ли множество мощности большей, чем мощность множества действительных чисел? Если такой вопрос будет решен положительно, сразу же встанет следующий: а существует ли множество еще большей мощности? Потом еще больше. И, наконец, логичный глобальный вопрос: а существует ли множество самой большой мощности?

Т.2Теорема

Для любого множества А найдется множество В, мощность которого больше А.

Доказательство

Рассмотрим множество В всех функций, заданных на множестве А и принимающих значения 0 и 1. Каждой точке а множества А поставим в соответствие функцию fa(x), принимающую в этой точке значение 1, а в остальных точках значение 0. Ясно, что разным точкам соответствуют разные функции. Отсюда следует, что мощность множества В не меньше мощности множества А (|B |≥|A |).

Предположим, что мощности множество А и В равны друг другу. В этом случае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств А и В . Обозначим функцию, соответствующую элементу а из множества А , через fa(x). Все функции семейства fa(x) принимают значение или 0 или 1.Построим новую функцию φ(x)=1- fх(x). Таким образом, чтобы найти значение функции φ(x) в некоторой точке а , принадлежащей множеству А , надо сначала найти соответствующую функцию fа(а ) и затем вычесть из единицы значение этой функции в точке а . Из построения видно, что функция φ(x) также задана на множестве А и принимает значения 0 и 1. Следовательно, φ(x) является элементом множества В . Тогда существует такое число b в множестве А, такое что φ(x) = fb(x). С учетом ранее введенного определения функции φ(x)=1- fх(x), получим что для всех х, принадлежащих множеству А , верно 1 - fх(x)= fb(x). Пусть х = b. Тогда 1 - fb(b) = fb(b) и значит fb(b)=1/2. Данный результат явным образом противоречит тому, что значения функции fb(х) равны нулю или единице. Следовательно, принятое предположение неверно, а значит не существует взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств А и В (| A | ≠| B | ). Поскольку | A | ≠|B | и при этом |B | ≥| A | , значит | B | >|A | . Это означает, что для любого множества А можно построить множество В большей мощности. Отсюда можно сделать вывод, что множества самой большой мощности не существует, Q. E.D.

Существует довольно тесная связь между построенным множеством функций и булеаном множества А (множеством всех подмножеств А ). Рассмотрим множество В всех подмножеств множества А . Пусть С – некоторое подмножество в А . Возьмем функцию f (x ) , принимающую значении 1, если х принадлежит С , и значение 0 в противном случае. Таким образом, разным подмножествам С соответствуют различные функции. Наоборот, каждой функции f (x ) , принимающей два значения 0 и 1, соответствует подмножество в А , состоящее из тех элементов х , в которых функция принимает значение 1. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством функций, заданных на множестве А и принимающих значения 0 и 1, и множеством всех подмножеств в А .

§ 2.5. Множества с мощностью, больше чем мощность континуума

Итак, множества самой большой мощности не существует. Первые два трансфинитных числа имели в природе образующие их множества (множество натуральных чисел и множество действительных чисел). Если отталкиваться от множества континуума, то можно построить множество всех подмножеств континуума, получим его булеан, назовем это множество BR. По определению мощность множества BR равна 2À. Согласно теореме Кантора 2À≠À. Очевидно что множество BR бесконечно, следовательно, его кардинальное число является числом трансфинитным и оно никак не может совпадать ни с одним из двух рассмотренных ранее трансфинитных чисел. А значит, в нашу шкалу пора вводить третье трансфинитное число.

Алеф-один ( À 1 ) – третье трансфинитное число. По определению, это мощность множества всех подмножеств континуума. Это же число соответствует мощности многих других множеств, например:

· Множества всех линейных функций, принимающих любые действительные значения (линейная функция - действительная функции одной или нескольких переменных). По сути это множества всех возможных кривых в счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже À0.

· Множества фигур на плоскости, т. е. множества всех подмножеств точек на плоскости или множества всех подмножеств пар действительных чисел.

· Множества тел в обычном трехмерном пространстве, а также, вообще говоря, в любом счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже À0.

Поскольку число À1 вводится как мощность булеана множества с мощностью À, получаем утверждение, что À1 =2À.

§ 2.6. Парадоксы теории множеств

Возникает резонный вопрос: а что дальше? Что будет, если построить множество всех подмножеств множества BR. Чему будет равно его кардинальное число (конечно по аналогии можно предположить, что это 2À1) и, главное, какому реально существующему множеству это будет соответствовать? Есть ли вообще большие, чем BR бесконечные множества и сколько их?

Хотя нами показано, что наибольшего трансфинитного числа не существуют, как показывают исследования, восходить всё далее и далее к новым большим кардинальным числам небезопасно – это приводит к антиномии (парадоксам). Действительно, каково бы ни было множество кардинальных чисел, всегда можно найти кардинальное число, большее, чем все числа данного множества и, следовательно, не входящее в него. Т. о. ни одно такое множество не содержит все кардинальные числа и множество всех кардинальных чисел немыслимо.

Вполне естественно, что каждому математику хочется иметь дело с непротиворечивой теорией, т. е. такой, что в ней нельзя одновременно доказать две теоремы, явно отрицающие друг друга. Является ли теория Кантора непротиворечивой? До каких пределов можно расширять круг рассматриваемых множеств? К сожалению, не все так безоблачно. Если ввести такое внешне безобидное понятие как «множество всех множеств U», то возникает ряд любопытных моментов.

https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src=">Т.2.6.(2) Парадокс Рассела

Пусть В – множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве своих собственных элементов. Тогда можно доказать две теоремы.

Теорема 2.6.(2).1.

В принадлежит В.

Доказательство

Предположим противное, т. е. В не принадлежит В . По определению, это означает, что В принадлежит В . Получили противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В принадлежит В , Q. E.D.

Теорема 2.6.(2).2.

В не принадлежит В.

Доказательство

Предположим противное, т. е. В принадлежит В . По определению множества В любой его элемент не может иметь себя в качестве собственного элемента, следовательно, В не принадлежит В . Противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В не принадлежит В , Q. E.D.

Нетрудно видеть, что Теоремы 2.6.(2).1. и 2.6.(2).2. исключают друг друга.

К сожалению, даже исключение из рассмотрения всех суперобширных множеств не спасает теорию Кантора. По сути, парадокс Рассела затрагивает логику, т. е. способы рассуждения, с помощью которых при переходе от одного истинного утверждения к другому образуются новые понятия.

Уже при выводе парадокса используется логический закон исключенного третьего, являющийся одним из неотъемлемых приемов рассуждений в классической математике (т. е. если истинно утверждение не-А, то ложно А). Если задуматься о сути вещей, то можно в целом уйти и от теории множеств, и от математики в целом.

shortcodes">