Формула полной вероятности определяет. Формула Бейеса. Формула полной вероятности. Примеры решения задач

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

, (3.4.1)

т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.4.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

Применяя к событию теорему умножения, получим:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

Выбор первой урны,

Выбор второй урны,

Выбор третьей урны

и событие – появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то

.

Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны:

По формуле полной вероятности

.

Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

В самолет не попало ни одного снаряда,

В самолет попал один снаряд,

В самолет попало два снаряда,

В самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны:

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Заметим, что первую гипотезу можно было бы и не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Пример 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени , в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывается с вероятностью , при работе только первого из них – с вероятностью , при работе только второго - , при отказе обоих регуляторов – с вероятностью . Первый из регуляторов имеет надежность , второй - . Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя.

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р. Занятие №4. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Теоретический материал
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим
. (*)
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем
.
Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго-0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная.
Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».
Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).
Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, .
Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, .
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, .
Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь .
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна

Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке-10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие ), либо нестандартная (событие ).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, .
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна .
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна .
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем сначала условную вероятность . ПО теореме умножения имеем

.

Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым-0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1)деталь проверил первый контролер (гипотеза );
2)деталь проверил второй контролер (гипотеза ). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса:

По условию задачи имеем:
(вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру);
(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);
(вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
(вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность

Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Практический материал.
1. (4) Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 - 0,9, Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
Отв. 0,84.
2. (5) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором-30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика-стандартная.
Отв. 43/60.
3. (6) В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Отв. 0,875.
4. (3) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника-0,9, для велосипедиста-0,8. и для бегуна-0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв. 0,86.
5. (С) В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном – 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?
Решение :
Возможны две гипотезы:
– при бросании кубика выпадет количество очков, кратное 3, т.е. или 3 или 6;
– при бросании кубика выпадет другое количество очков, т.е. или 1 или 2 или 4 или 5.
По классическому определению вероятности гипотез равны:

Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство

Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:

Тогда по формуле полной вероятности вероятность события А будет равна:

6. (7) В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
Отв. 13/132.

7. (89 Г) В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: - белых шаров нет, - один белый шар, - два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т.е. .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара .
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

8. (10) В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
Отв. 0,625 .

9. (6.5.2Л) Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.
Решение.
Пусть событие А={сигнал будет принят}. Рассмотрим четыре гипотезы:

={первый приемник работает, второй - нет};

={второй работает, первый - нет};

={оба приемника работают};

={оба приемника не работают}.

Событие А может произойти только с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая следующие события:

={первый приемник работает},

={второй приемник работает}.

Контроль:

.

Условные вероятности соответственно равны:

;

;

Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероятность

10. (11) При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?
Отв. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-1, равна 6/11, а С- 11- 5/11

11. (12) Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Отв. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34К) В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев.
1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?
Решение.
Обозначим события: - телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика (i=1,2,3);
A – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
По условию

По формуле полной вероятности

Событие телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока; .
По условию

По формуле Байеса

;

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы увеличилась с до максимальной , а гипотезы - уменьшилась от максимальной до ; если ранее (до наступления события А) наиболее вероятной была гипотеза , то теперь, в свете новой информации (наступления события А), наиболее вероятна гипотеза -поступление данного телевизора от 2-го поставщика.

13. (1.35К) Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что:
1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль;
2) изделие стандартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прошло упрощенный контроль.
Решение.
1). Обозначим события:
- взятое наудачу изделие соответственно стандартное или нестандартное;
- изделие прошло упрощенный контроль.

По условию

Вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль, по формуле полной вероятности:

2, а). Вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, стандартное, по формуле Байеса:

2, б). Пусть событие - изделие дважды прошло упрощенный контроль. Тогда по теореме умножения вероятностей:

По формуле Байеса

очень мала, то гипотезу о том, что изделие, дважды прошедшее упрощенный контроль, нестандартное, следует отбросить как практически невозможное событие.

14. (1.36К) Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит:
а) 1-му стрелку;
б) 2-му стрелку?
Решение.
Обозначим события:

Оба стрелка не попали в мишень;

Оба стрелка попали в мишень;

1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет;

1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал;

В мишени одна пробоина (одно попадание).

1. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 , B 3 , ..., B n , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности P(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n) события А. Требуется найти вероятность события А.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 , B 3 , ..., B n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

– Формула полной вероятности.

Доказательство:

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B 1 , B 2 , B 3 , ..., B n . Другими словами, появление события А означает осуществление одного (безразлично какого) из несовместных событий: B 1 *A, B 2 *A , B 3 *A , ..., B n *A . Пользуясь теоремой сложения, получим:

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Пример: Имеется 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь из первого набора стандартна, равна 0,8, а для второго набора- 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартна.

Решение: Событие А- «Извлеченная деталь стандартна». Событие -«Извлекли деталь, изготовленную 1 заводом». Событие - «Извлекли деталь, изготовленную вторым заводом». Р( B 1 )=Р(B 2)= 1/2.Р(А / B 1 )=0,8- вероятность, что деталь, изготовленная на первом заводе, стандартна. Р(А / B 2 )=0,9- вероятность, что деталь, изготовленная на втором заводе, стандартна.

Тогда, по формуле полной вероятности, имеем:

Пример: Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводами №1 и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, стандартна равна 0,8. Для завода №2 эта вероятность равна 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу выбранной коробки. Найдите вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

Решение: Событие А- «Извлечена стандартная деталь». Событие B 1 - «Извлечена деталь из коробки завода №1». Событие B 2 - «Извлечена деталь из коробки завода № 2». Р( B 1)= 3/5. Р(B 2 )= 2/5.

Р(А / B 1)=0,8- вероятность, что деталь, изготовленная на первом заводе, стандартна. Р(А / B 2)=0,9- вероятность, что деталь, изготовленная на втором заводе, стандартна.

Пример: В первой коробке лежит 20 радиоламп, из них- 18 стандартных. Во второй коробке лежит 10 радиоламп, из них- 9 стандартных. Из второй коробки в первую наудачу переложена одна радиолампа. Найдите вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение: Событие А-« Из 1 коробки извлекли стандартную лампу». Событие B 1 -«Из второй в первую коробку переложили стандартную лампу». Событие B 2 -«Из второй в первую коробку переложили нестандартную лампу». Р( B 1 )= 9/10. Р(B 2)= 1/10.Р(А / B 1)= 19/21 - вероятность вытащить из первой коробки стандартную деталь, при условии, что была переложена в нее так же стандартная.

Р(А / B 2 )= 18/21 - вероятность вытащить из первой коробки стандартную деталь, при условии, что была переложена в нее нестандартная.

2. Формул гипотез Томаса Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 , B 3 , ..., B n , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности, рассмотренной ранее.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого произошло событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности P(B 1 /A), P(B 2 /A), ..., P(B n /A)

Найдем условную вероятность P(B 1 /A) . По теореме умножения имеем:

Отсюда следует:

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезу B k (i =1, 2, …, n ) может быть вычислена по формуле:

Формулы гипотез Томаса Байеса.

Томас Байес (английский математик) опубликовал формулу в 1764 году.

Данные формулы позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример: Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, ко второму- 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, для второго контролера эта вероятность равна 0,98.Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение: Событие А- «Годная деталь признана стандартной». Событие B 1 - «Деталь проверял первый контролер». Событие B 2 - «Деталь проверил второй контролер». Р( B 1 )=0,6. Р(B 2 )=0,4.

Р(А / B 1)=0,94- вероятность, что деталь, проверенная первым контролером, признана стандартной.

Р(А / B 2)=0,98 - вероятность, что деталь, проверенная вторым контролером, признана стандартной.

Тогда:

Пример: Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса-4 человека, из второй- 6 человек, из третьей- 5 человек. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную, равна 0,9, для студентов второй и третьей групп эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную К какой из групп, вероятнее всего, он принадлежит?

Решение: Событие А- «Наудачу выбранный студент, попал в сборную института». Событие B 1 - «Наудачу выбран студент из первой группы». Событие B 2 - «Наудачу выбран студент из второй группы». Событие B 3 - «Наудачу выбран студент из третьей группы». Р( B 1)= 4/15 . Р(B 2)= 6/15. Р(B 3)= 5/15 .

Р(А / B 1)=0,9- вероятность, что студент из первой группы попадет в сборную.

Р(А / B 2)=0,7- вероятность, что студент из второй группы попадет в сборную.

Р(А / B 3 )=0,8- вероятность, что студент из третьей группы попадет в сборную.

Тогда:

Вероятность, что в сборную попал студент из первой группы.

Вероятность, что в сборную попал студент из второй группы.

Вероятность, что в сборную попал студент из третьей группы.

Вероятнее всего в сборную попадет студент из второй группы.

Пример: При отклонении от нормального режима работы автомата сработает сигнализатор С 1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С 2 сработает с вероятностью 1. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С 1 или С 2 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С 1 или С 2 ?

Решение: Событие А-«Получен сигнал о разделке автомата». Событие B 1 -« Автомат снабжен сигнализатором С1. Событие B 2 - «Автомат снабжен сигнализатором С2. Р( B 1 )= 0,6. Р(B 2)= 0,8.

Р(А / B 1)=0,8- вероятность, что будет получен сигнал, при условии, что автомат снабжен сигнализатором С1.

Р(А / B 2 )=1- вероятность, что будет получен сигнал, при условии, что автомат снабжен сигнализатором С2.

Тогда:

Вероятность, что при получении сигнала о разделке автомата, сработал сигнализатор С1.

Вероятность, что при получении сигнала о разделке автомата, сработал сигнализатор С2.

Т.е. вероятнее, что при разделке автомата будет получен сигнал от сигнализатора С1.

События образуют полную группу , если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента и попарно несовместны.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n ) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности :

Пример 16. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Решение. Событие A – извлечен черный шар. Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

Шар может быть извлечен или из первой урны (гипотеза ), или из второй (гипотеза ), или из третьей (гипотеза ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то .

Отсюда следует, что

Пример 17. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30 % общего количества электроламп, второй – 25 %,
а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5 %, третьего – 2 %. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная. Введем обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, – лампа изготовлена первым заводом, – лампа изготовлена вторым заводом,
– лампа изготовлена третьим заводом.

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

Формула Байеса. Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,

Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса .

Пример 18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К , 30 % – c заболеванием L , 20 % –
с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K .

Решение. Введем гипотезы: – больной страдал заболеванием К L , – больной страдал заболеванием M .

Тогда по условию задачи имеем . Введем событие А – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. По условию

По формуле полной вероятности получаем:

По формуле Байеса .

Пример 19. Пусть в урне пять шаров и все предположения о количестве белых шаров равновозможные. Из урны наудачу взят шар, он оказался белым. Какое предположение о начальном составе урны наиболее вероятно?

Решение. Пусть – гипотеза, состоящая в том, что в урне белых шаров , т. е. возможно сделать шесть предположений. Тогда по условию задачи имеем .

Введем событие А – наудачу взятый шар белый. Вычислим . Так как , то по формуле Байеса имеем:

Таким образом, наиболее вероятной является гипотеза , т. к. .

Пример 20. Два из трех независимо работающих элемента вычислительного устройства отказали. Найдите вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие гипотезы:

– отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен. Поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения:

На практике часто необходимо определить вероятность интересующего события, которое может произойти с одним из событий, образующих полную группу. Следующая теорема, являющаяся следствием теорем сложения и умножения вероятности, приводит к выводу важной формулы для вычисления вероятности подобных событий. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пусть H 1 , H 2 , … , H n есть n попарно несовместных событий, образующих полную группу:

1) все события попарно несовместны: H i ∩ H j = ; i , j = 1,2, … , n ; i j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

Такие события иногда называют гипотезами. Пусть совершается событие А , которое может наступить только при условии наступления одного из событий H i (i = 1, 2, … , n ). Тогда справедлива теорема.