Главная » Дизайн гостиной » Под определенным углом зрения. Измерения и построение углов при проведении различных работ. Золотой египетский треугольник Под определенным углом а

Под определенным углом зрения. Измерения и построение углов при проведении различных работ. Золотой египетский треугольник Под определенным углом а

Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета »), другие - стандартно, через дискриминант.

Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.

Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса q = 150 − 10p в формулу выручки r = q · p . Получим: r = (150 − 10p ) · p .

По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

(150 − 10p ) · p = 440 - это квадратное уравнение;
150p − 10p 2 = 440 - раскрыли скобки;
150p − 10p 2 − 440 = 0 - собрали все в одной стороне;
p 2 − 15p + 44 = 0 - разделили все на коэффициент a = −10.

Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 44.

Очевидно, корни: p 1 = 11; p 2 = 4.

Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант - ответ получится точно таким же.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле r = q · p , а спрос - по формуле q = 75 − 5p , составим и решим уравнение:

(75 − 5p ) · p = 270;
75p − 5p 2 = 270;
−5p 2 + 75p − 270 = 0;
p 2 − 15p + 54 = 0.

Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 54.

Очевидно, что корни - это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Итак, высота задается уравнением y = ax 2 + bx . Чтобы камни перелетали через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном уравнении известно число y = 8 - это высота стены. Остальные числа указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:

8 = (−1/5000) · x 2 + (1/10) · x - довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x 2 + 500x - это уже вполне вменяемое уравнение;
x 2 − 500x + 40 000 = 0 - перенесли все слагаемые в одну сторону.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x 1 · x 2 = 40 000 = 100 · 400.

Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Задача полностью аналогична предыдущей - только числа другие. Имеем:

15 = (−1/8000) · x 2 + (1/10) · x ;
120 000 = −x 2 + 800x - умножили обе стороны на 8000;
x 2 − 800x + 120 000 = 0 - собрали все элементы с одной стороны.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x 1 · x 2 = 120 000 = 200 · 600.

Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота - 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:

8 = (−1/22 500) · x 2 + (1/25) · x ;
180 000 = −x 2 + 900x - умножили все числа на 22 500;
x 2 − 900x + 180 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Дискриминант: D = 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x 1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x 2 = (900 + 300) : 2 = 600.

Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:

8 = (−1/20 000) · x 2 + (1/20) · x ;
160 000 = −x 2 + 1000x - умножили обе стороны на 20 000;
x 2 − 1000x + 160 000 = 0 - собрали все с одной стороны.

Дискриминант: D = 1000 2 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x 1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x 2 = (1000 + 600) : 2 = 800.

Наибольший корень: 800.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:

24 = (−1/22 500) · x 2 + (1/15) · x ;
540 000 = −x 2 + 1500x - умножили все на 22 500;
x 2 − 1500x + 540 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x 1 · x 2 = 540 000 = 600 · 900.

Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону H (t ) = 5 − 1,6t + 0,128t 2 , где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H (t ) = 0. Составляем и решаем уравнение:

5 − 1,6t + 0,128t 2 = 0;
625 − 200t + 16t 2 = 0 - умножили все на 125;
16t 2 − 200t + 625 = 0 - расположили слагаемые в нормальном порядке.

Дискриминант: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:

x 1 = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.

С древних времён, после освоения орудий труда, человек приступил к строительству жилища из дерева. Пройдя эволюцию, человек тысячелетиями продолжает улучшать строительство своего жилища. Конечно современные технологии упростили строительство, дали широкую возможность для фантазии, но основные знания о свойствах деревянных конструкций переходят из поколения в поколонее. Рассмотрим способы соединения деревянных деталей.

Рассмотрим способы соединения деревянных деталей, с которыми сталкиваются начинающие мастера. В основном это плотничные соединения, передаваемые из поколения в поколение, эти навыки применяются уже не одно столетие. Прежде чем приступить к соединению древесины, мы подразумеваем, что древесина уже обработана и готова к употреблению.

Первое основное правило, которое следует выполнять при соединении деревянных деталей - тонкую деталь крепят к более толстой.

Наиболее часто встречающиеся способы соединения древесины, которое понадобится при строительстве приусадебных построек бывает нескольких видов.

Соединение в торец

Это один из самых простых способов соединения (сплачивание). При этом способе необходимо как можно более плотно подогнать поверхности двух соединяемых элементов. Детали плотно прижимают друг к другу и скрепляют при помощи гвоздей или шурупов.

Способ простой, но для получения качества изделия необходимо выполнить несколько условий:

Длина гвоздей должна быть такая, что бы они пройдя через всю толщину первой заготовки, зашли своим острым концом в основу другой детали на глубину равную не менее ⅓ длины гвоздя;

Гвозди не должны располагаться на одной линии, а количество их должно быть не менее двух. То есть один из гвоздей смещают от осевой линии вверх, а второй наоборот вниз;

Толщина гвоздей должна быть такова, чтобы при их забивании в древесине не появилась трещина. Избежать появление трещины в древесине поможет предварительное сверление отверстий, причём диаметр сверла должен быть равный 0,7 диаметра гвоздей;

Для получения лучшего качества соединения, соединяемые поверхности предварительно хорошо смазать клеем, причем лучше применять влагостойкий клей, например эпоксидный.

Соединение в наклад

При этом методе, две детали накладываются одна на другую и скрепляются при помощи гвоздей, шурупов или болтов. Деревянные заготовки, при этом способе соединения, могут размещаться по одной линии или смещаться под определенным углом друг относительно друга. Для того что бы угол соединения заготовок был жестким, необходимо скрепить детали не менее, чем четырьмя гвоздями или шурупами двумя рядами по две штуки в ряду.

Если вы крепите при помощи только двух гвоздей, шурупов или болтов, то располагать их следует по диагонали. Если гвозди будут иметь сквозной выход через обе детали, с последующим загибанием выступающих концов - этот способ соединения значительно увеличит прочность. Соединение в наклад не требует высокой квалификации мастера.

Соединение в полдерева

Этот способ более сложный, он требует уже определенных навыков и более скрупулезного подхода к работе. Для такого соединения, в обеих деревянных заготовках делают выборку древесины на глубину равной половине их толщины, и шириной, равной ширине соединяемых деталей.

Соединять детали в полдерева можно под различными углами.

Важно соблюдать следующее правило:

Чтобы угол выборки на обеих деталях был равным, а ширина обеих выборок строго соответствовала ширине детали. При соблюдении этих условий, детали плотно прилегают к друг другу, а их кромки разместятся в одной плоскости. Скрепляют соединение гвоздями, шурупами или болтами, а для усиления прочности все так же используют клей. В случае необходимости, такое соединение может быть и частичное. То есть, конец одной из заготовок срезают под определенным углом, а в другой детали выполняют соответствующую выборку. Такое соединение применяется при угловом сплачивание. Оба шипа (выборки) в данном случае подрезают под углом 45 градусов, а стык между ними располагается по диагонали.

Сращивание по длине

Такое сращивание брусков и балок по длине имеет свои особенности.

На примет для вертикальных опор сращивание является простым.

Но совсем другое дело, когда балка или брус в месте сращивания подвержены нагрузкам на изгиб или кручение, в таком случае простым креплением гвоздями или шурупами не обойдёшься.

Сращиваемые детали срезают под углом (в косую накладку) и сжимают болтами. Количество болтов зависит от прилагаемых нагрузок, но их должно быть не менее двух.

Иногда устанавливают дополнительные накладки, например, металлические пластины, лучше с обеих сторон, сверху и снизу, для прочности можно дополнительно скрепить проволокой.

Соединение в шпунт

Такое соединение применяют при настилке пола или для досок обшивки. Для этого в грани одной доски выполняют шип, а в другой - паз.

При таком сращивании исключаются щели между досками, а сама обшивка приобретает красивый вид. Обработанная соответствующим образом пиломатериалы, поступают в торговую сеть, где их можно приобрести в готовом виде.

Примером таких материалов могут служить половая доска или вагонка.

Соединение “гнездо-шип”

Это одно из самых распространенных соединений деревянных деталей.

Такое соединение обеспечит прочное, жесткое и аккуратное сплачивание.

Само собой разумеется, что оно требует от исполнителя определенных навыков и аккуратности в работе.

При выполнении этого соединения, нужно помнить, что не качественное шиповое соединение не добавит надежности и не будет иметь красивый вид.

Шиповое соединение состоит из паза, выдолбленного или высверленного в одной из деревянных деталей, а так же шипа, выполненного на конце другого, прикрепляемого элемента.

Детали должны иметь одинаковую толщину, но если толщина разная, то гнездо изготавливается в той части, которая более толще, а шип изготавливается во второй, более тонкой части. Соединение выполняют на клею с дополнительным скреплением гвоздями, шурупами. При ввинчивании шурупа нужно помнить, что предварительное сверление облегчит этот процесс. Головку шурупа лучше утаивать, а направляющее отверстие должно составлять ⅔ диаметра шурупа и быть на 6 мм меньше его длины.

Одним из очень важных условий, является одинаковая влажность соединяемых деталей. Если соединяемые элементы имеют различную влажность, то при высыхании шип уменьшится в размере, что приведет к разрушению всего соединения. Именно поэтому соединяемые детали должны иметь одинаковую влажность, близкую к условиям эксплуатации. Для наружных конструкций влажность должна находится в пределах 30-25%.

Использование древесины для украшения построек.

Выбор древесины.

В резьбе для выполнения больших поделок с крупными элементами нередко используют древесину хвойных пород , как основную. Они доступны, а полосатая текстура может быть обыграна в орнаментах.

В качестве фона для накладной и прорезной резьбы, используется пихта .

Ценным материалом является кедр , его мягкая, с красивой текстурой и приятным желто-розовым или светло-розовым цветом ядра древесина. Древесина легко режется, мало растрескивается при усушке и устойчива к гниению.

Древесина груши используется для высокохудожественных деталей резьбы, так как она прочна и мало коробится от атмосферных воздействий.

Тополь , древесина очень мягкая и легкая - используется для изготовления резной декоративной колонны или фоновых щитов для крепления накладной резьбы.

Для изготовления цепочек из круглых колец хорошо использовать древесину яблони . Эту древесину используют в небольших поделках, в накладной резьбе. При этом используются пружинистые свойства яблони.

Так же используется древесина липы . Очень легкая, хорошо строгается, отлично сверлится и шлифуется.

Резьба из дуба трудоемка в изготовлении из-за его твердости.

Но дуб не боится влаги, не коробится. Изделия из натуральной древесины очень красивы, но бъют по карману. Для снижения стоимости изделия применяется шпонирование. Например, двери шпонированные выполняются, по заказу клиента, "под дуб". Получаем красивые двери, внешне схожи с натуральными, но по цене намного ниже.

Пусть АВ - некоторый отрезок, лежащий на прямой , точка М - произвольная точка, не принадлежащая прямой (рис. 284). Угол а при вершине М треугольника АМВ называется углом, под которым отрезок АВ виден из точки М. Найдем геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под одним и тем же постоянным углом а. Для этого опишем вокруг треугольника АМВ окружность и рассмотрим ее дугу АМВ, содержащую точку М. По предыдущему из любой точки построенной дуги отрезок АВ будет виден под одним и тем же углом, измеряемым половиной дуги ASB (на рис. 284 она показана пунктирной линией). Кроме того, под тем же углом будет виден отрезок и из. точек дуги расположенной симметрично с АМВ относительно прямой АВ. Ни из какой другой точки плоскости, не лежащей на одной из найденных дуг, отрезок не может быть виден под тем же углом а.

В самом деле, из точки Р, лежащей внутри фигуры, ограниченной дугами АМВ и отрезок будет виден под углом АРВ большим, чем а, поскольку угол АРВ будет измеряться полусуммой дуги ASB и еще некоторой дуги , т. е. будет заведомо больше угла а. Также видно, что для угла с вершиной Q вне этой фигуры будем иметь . Поэтому точки дуг АМВ и АМВ и только они обладают требуемым свойством: Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под постоянным углом, состоит из двух дуг окружностей, симметрично расположенных относительно данного отрезка.

Задача 1. Дан отрезок АВ и угол а. Построить сегмент, вмещающий данный угол а и опирающийся на отрезок АВ. Здесь под сегментом, вмещающим данный угол, понимают сегмент, ограниченный данным отрезком и любой из двух дуг окружностей, из точек которых отрезок виден под углом а.

Решение. Проведем перпендикуляр к отрезку АВ в его середине (рис. 285). На этом перпендикуляре будет помещаться центр окружности, сегмент которой требуется построить. Из конца В отрезка АВ проведем луч, образующий с ним угол он пересечет перпендикуляр в центре искомой дуги О (доказать!).

Задача 2. Построить треугольник по углу А, стороне и медиане .

Решение. На произвольной прямой откладываем отрезок ВС, равный стороне а треугольника (рис. 286). Вершина треугольника должна помещаться на дуге сегмента, из точек которой данный отрезок виден под углом а (процесс построения на рис. 286 не показан). Затем из середины М стороны ВС, как из центра, проведем окружность радиусом, равным та. Точки ее пересечения с дугой сегмента и дадут возможные положения вершины А искомого треугольника. Исследовать число решений!

Задача 3. Из внешней точки проведены касательные к окружности. Точки касания делят окружность на части, отношение которых равно

Найти угол между касательными.

Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Даже самые закоренелые скептики верят тому, что говорят им их чувства, но чувства легко обмануть.

Оптическая иллюзия - впечатление о видимом предмете или явлении, несоответствующее действительности, т.е. оптический обман зрения. В переводе с латыни слово «иллюзия» означает «ошибка, заблуждение». Это говорит о том, что иллюзии с давних времен интерпретировались как некие сбои в работе зрительной системы. Изучением причин их возникновения занимались многие исследователи.

Некоторые зрительные обманы давно уже имеют научное объяснение, другие до сих пор остаются загадкой.

сайт продолжает собирать самые крутые оптические иллюзии. Будьте осторожны! Некоторые иллюзии могут вызвать слезоточивость, головную боль и дезориентацию в пространстве.

Бесконечный шоколад

Если разрезать плитку шоколада 5 на 5 и переставить все куски в показанном порядке, то, откуда не возьмись, появится лишний шоколадный кусочек. То же самое вы можете проделать и с обычной шоколадкой и убедиться, что это не компьютерная графика, а реально существующая загадка.

Иллюзия брусков

Взгляните на эти бруски. В зависимости от того, в какой конец вы смотрите, два куска дерева будут или находиться рядом, или же один из них будет лежать на другом.

Куб и две одинаковые чашки

Оптическая иллюзия, созданная Крисом Уэстоллом. На столе стоит чашка, рядом с которой стоит куб с маленькой чашечкой. Однако при более детальном рассмотрении мы можем увидеть, что на самом деле куб нарисованный, и чашки абсолютно одинакового размера. Подобный эффект замечается только под определенным углом.

Иллюзия «Стена кафе»

Внимательно всмотритесь в изображение. На первый взгляд кажется, что все линии изогнуты, однако на самом деле они параллельны. Иллюзия была обнаружена Р. Грегори в кафе Wall в Бристоле . Отсюда и пошло ее название.

Иллюзия Пизанской башни

Выше вы видите две картинки Пизанской башни. На первый взгляд кажется, что башня справа наклоняется больше, чем башня слева, однако на самом деле обе эти картинки одинаковые. Причина кроется в том, что визуальная система рассматривает два изображения как часть единой сцены. Поэтому нам кажется, что обе фотографии не симметричны.

Исчезающие круги

Эта иллюзия называется «Исчезающие круги». Она состоит из 12 расположенных по кругу сиреневых розовых пятен с чёрным крестиком по середине. Каждое пятно исчезает по кругу примерно на 0.1 секунды, и если сфокусироваться на центральном крестике, можно получить следующий эффект:
1) сначала покажется, что вокруг бегает зелёное пятно
2) затем фиолетовые пятна начнут исчезать