Главная » Дизайн гостиной » Понятие производной в точке. Механический смысл производной. Вот эти формулы

Понятие производной в точке. Механический смысл производной. Вот эти формулы

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Пример 1

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:

Ответ

В который раз порадуемся логарифмам:

Пример 2

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Пример 3

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ : по определению производной

Пример 4

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Пример 4: Решение , принадлежащую , и зададим в ней приращение

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ : по определению

Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки .

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

Ответ : по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы :

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Пример 6

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Вычислим производную:

Таким образом:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
Ответ : по определению.

Вернёмся к стилю №2:

Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу .

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ : по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пример 8

Пользуясь определением, найти производную функции

Пример 8: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Ответ : по определению

Разберём более редкую версию задачи:

Пример 9

Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число

Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу :

Ответ : по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10

Используя определение, найти производную функции в точке (одно из которых может оказаться и бесконечным) , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f " (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf " (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y " =f " (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f "(x 0), так как
-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f "(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x"(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x"(t) - скорость,

a(f) = "(t) - ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ"(t) - угловая скорость,

ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x  , l - длина стержня,

р = m"(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ 0 - начальная фаза.

Министерство образования Российской Федерации

“МАТИ”- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра “Высшая математика”

Варианты курсовых заданий

Методические указания к курсовому заданию

«Пределы функций. Производные»

Кулакова Р. Д.

Титаренко В. И.

Москва 1999

Аннотация

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам первого курса усвоить теоретический и практический материал по теме «Математический анализ».

В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи.

В методических указаниях охвачены следующие темы: пределы функций, дифференцирование функций, заданных в различных видах, производные и дифференциалы высших порядков, правило Лопиталя, приложение производной к задачам геометрии и механики.

Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.

Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях.

1. Пределы функций

Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:

Если необходимо найти предел

можно предварительно привести к общему знаменателю

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть

Тогда и подставив x=a, получим:
;

4.
, при подстановке х=0, получим
.

5. Однако, если необходимо найти предел рациональной функции

, то при делении на член с минимальной степенью, получим

; и, устремив х к 0, получим:

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

6.
; Сделаем замену переменной. Заменим
, при
, получим
.

7.
. Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на
и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на
и разделим, на это же выражение. Тогда получим:

Для определения пределов часто используются замечательные пределы:

; (1)

. (2)

8.
.

Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на
, а знаменатель на
, тогда.

9.
Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда
, где
, а
, где
;

, а
, то окончательно
. Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций.

2. Производная

Производной от функции
называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или
.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке х, то есть
.

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Формулы дифференцирования основных функций:

3. Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

7) Если , то есть
, где
и
имеют производные, то
(правило дифференцирования сложной функции).

4. Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения
, то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где
есть сложная функция от х,

в) заменить его выражением через х

Пример:

5. Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение
определяеткак неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения
, получим уравнение первой степени относительно;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример:
.

6. Дифференцирование функций, заданных

параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями
,

тогда
, или

Пример:

7. Приложение производной к задачам

геометрии и механики

Пусть
и
, где-угол, образованный с положительным направлением оси ОХ касательной к кривой в точке с абсциссой.

Уравнение касательной к кривой
в точке
имеет вид:

, где -производнаяпри
.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Уравнение нормали имеет вид

Угол между двумя кривыми
и
в точке их пересечения
называется угол между касательными к этим кривым в точке
. Этот угол находится по формуле

8. Производные высших порядков

Если есть производная от функции
, то производная отназывается второй производной, или производной второго порядка и обозначается, или
, или.

Аналогично определяются производные любого порядка:производная третьего порядка
; производнаяn-го порядка:

Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:

9. Вторая производная от неявной функции

-уравнение определяет , как неявную функцию от х.

а) определим
;

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства
,

причем, дифференцируя функцию
по переменной х, помним, чтоесть функция от х:

;

в) заменяя через
, получим:
и т.д.

10. Производные от функций, заданных параметрически

Найти
если
.

11. Дифференциалы первого и высших порядков

Дифференциалом первого порядка функции
называется главная, линейная относительно аргумента часть. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:
.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Основные свойства дифференциала:

где
.

Если приращение
аргумента мало по абсолютной величине, то
и.

Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
.

Аналогично:
.

Если
и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

Найти дифференциалы первого и второго порядков функции

12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

и при
обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке
и, следовательно, представляет собой неопределенность типаилисоответственно. Поскольку это отношение в точке
может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),

и имеет место следующее равенство:

, если
и
.

=
.

Аналогичное правило имеет место, если
и
, т.е.
.

=
.

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа
и
. Для вычисления
, где
- бесконечно малая, а
- бесконечно большая при
(раскрытие неопределенности типа
) следует преобразовать произведение к виду

(неопределенность типа ) или к виду(неопределенность типа) и далее использовать правило Лапиталя.

Для вычисления
, где
и
- бесконечно большие при
(раскрытие неопределенности типа
) следует преобразовать разность к виду
, затем раскрыть неопределенностьтипа. Если
, то
.

Если же
, то получается неопределенность типа (
), которая раскрывается аналогично примеру 12).

Так как
, то получим в итоге неопределенность типа
и далее имеем

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа
. В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения
, где
в случае
есть бесконечно малая, в случае
- бесконечно большая, а в случае
- функция, предел которой равен единице.

Функция
в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если
, то
, затем находят предел
, и после чего находят предел. Во всех перечисленных случаях
является неопределенностью типа
, которую раскрывают аналогично примеру 12).

(воспользуемся правилом Лопиталя)=

=
.

В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

и тогда
.

=
;

7.
;

=
;

8.
;

=
;

КУРСОВУЮ РАБОТУ ВКЛЮЧЕНА 21 ЗАДАЧА.

№1-4 – Вычисление пределов функций;

№5-10 – Найти производные функций;

№11 – Найти первую производную;

№12 – Вычислить функции, заданной параметрическом виде;

№13 – Найти d 2 y ;

№14 – Найти y ( n ) ;

№15 – Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке x 0 ;

№16 – Вычислить значение функции приближенно с помощью дифференциала;

№17 – Найти
;

№18 – Найти ;

№19 – Найти ;

№20-21 – Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

Вариант 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Вычислить производную

№5.
.

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

§1. Определение производной.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

Пример.

Найдите производную функции

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)"=u"+v".

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)