Главная » Дизайн гостиной » Степенная нечетная функция. Степенная функция с отрицательным показателем p. Степенная функция и ее свойства

Степенная нечетная функция. Степенная функция с отрицательным показателем p. Степенная функция и ее свойства

Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.

Степенная функция с натуральным показателем

Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.

Определение 1

Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.

Рисунок 1.

$a$ - основание степени.

$n$ - показатель степени.

Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.

Определение 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.

Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$.

Свойства степенной функции с натуральным четным показателем

$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.

Область значения -- $ \

Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.

$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]

График (рис. 2).

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$

Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- все действительные числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция возрастает на всей области определения.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$

\ \

Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.

График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$

Степенная функция с целым показателем

Для начала введем понятие степени с целым показателем.

Определение 3

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

Рисунок 4.

Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения:

Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всей области определения

Степенная функция с натуральным показателем

Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.

Определение 1

Рисунок 1.

$a$ - основание степени.

$n$ - показатель степени.

Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.

Определение 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.

Свойства степенной функции с натуральным четным показателем

$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.

Область значения -- $ \

Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.

$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]

График (рис. 2).

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$

Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- все действительные числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция возрастает на всей области определения.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$

\ \

Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.

График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$

Степенная функция с целым показателем

Для начала введем понятие степени с целым показателем.

Определение 3

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

Рисунок 4.

Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения:

Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

$f(x)\ge 0$ на всей области определения

). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. x a . Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а - рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то x a не имеет действительного значения ни при каком х 0. При х = 0 степенная функция x a равна нулю для всех а > 0 и не определена при а 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а - рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х > 0 С. ф. - возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а х = 0, в случае 0 а x a )" = ax a-1 . Далее,

Функции вида у = cx a , где с - постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики - прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1 ), при а = -1 - обратную пропорциональность (графики - равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2 ). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cx a (см. рис. 3 ); например, у = cx 2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у - путь, х - время, 2c - ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).

В комплексной области С. ф. z a определяется для всех z ≠ 0 формулой:

где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а - целое, то С. ф. z a однозначна:

Если а - рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. z a принимает q различных значений:

где ε k = - корни степени q из единицы: k = 0, 1, …, q - 1. Если а - иррациональное, то С. ф. z a - бесконечнозначна: множитель ε α2κ πι принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. z a определяется той же формулой (*). Например,

так что, в частности, k = 0, ± 1, ± 2,....

Под главным значением (z a ) 0 С. ф. понимается её значение при k = 0, если -πz ≤ π (или 0 ≤ argz z a)= |z a |e ia arg z , (i ) 0 =e -π/2 и т.д.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Степенная функция" в других словарях:

Функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Большой Энциклопедический словарь

Степенная функция функция, где (показатель степени) некоторое вещественное число … Википедия

Ф ция вида у = ахn, где а и п действит. числа, С. ф. охватывает большое число закономерностей в природе. На рис. изображены графики С. ф. для п = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. К ст. Степенная функция … Большой энциклопедический политехнический словарь

Функция вида у=axn, где а и n любые действительные числа. На рисунке изображены графики степенной функции для n = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1. * * * СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = axn, где a и n любые действительные числа … Энциклопедический словарь

степенная функция - laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. power function vok. Potenzfunktion, f rus. степенная функция, f pranc. fonction puissance, f … Automatikos terminų žodynas

Функция у = х a, где а постоянное число. Если а целое число, то С. ф. частный случай рациональной функции. При комплексных значениях хи аС. ф. неоднозначна, если а нецелое число. При фиксированных действительных. и а число х а является степенью … Математическая энциклопедия

Функция вида у = ахn, где а и п любые действительные числа. На рис. изображены графики С. ф. для n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1 … Естествознание. Энциклопедический словарь

функция спроса - Функция, которая показывает, как меняется объем продаж конкретного продукта в зависимости от его цены при равных маркетинговых усилиях по его продвижению на рынок. функция спроса Функция, отражающая… … Справочник технического переводчика

Функция спроса - функция, отражающая зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги (потребительские блага) от комплекса факторов, влияющих на него. Более узкая трактовка: Ф.с.выражает взаимозависимость между спросом на товар и ценой… … Экономико-математический словарь

У = 1 + x + х2 + х3 + ... определена для вещественных или комплексных значений х, модуликоторых меньше единицы. Ф. вида y = p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... +рn 1x + pn, где коэффициенты, р0, р1, р2, ..., рn данные числа наз.целою функцией n ой… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

Комплект таблиц. Алгебра и начала анализа. 11 класс. 15 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 15 листов.…

Степенная функция, ее свойства и график Демонстрационный материал Урок-лекция Понятие функции. Свойства функции. Степенная функция, ее свойства и график. 10 класс Все права защищены. Copyright с Copyright с

Ход урока: Повторение. Функция. Свойства функций. Изучение нового материала. 1. Определение степенной функции.Определение степенной функции. 2. Свойства и графики степенных функций.Свойства и графики степенных функций. Закрепление изученного материала. Устный счет. Устный счет. Итог урока. Задание на дом.Задание на дом.

Область определения и область значений функции Все значения независимой переменной образуют область определения функции х y=f(x) f Область определения функции Область значений функции Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значений функции Функция. Свойства функции

График функции Пусть задана функция где хУ у х,75 3 0,6 4 0,5 График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Функция. Свойства функции

У х Область определения и область значений функции 4 y=f(x) Область определения функции: Область значений функции: Функция. Свойства функции

Четная функция у х y=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ОУ Функция у=f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения функции Функция. Свойства функции

Нечетная функция у х y=f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0;0) Функция у=f(x) называется нечетной, если f(-x) = -f(x) для любого х из области определения функции Функция. Свойства функции

Определение степенной функции Функция, где р – заданное действительное число, называется степенной. р у=х р Р= х у 0 Ход урока

Степенная функция х у 1.Областью определения и областью значений степенных функций вида, где n – натуральное число, являются все действительные числа. 2. Эти функции – нечетные. График их симметричен относительно начала координат. Свойства и графики степенной функции

Степенные функции с рациональным положительным показателем Область определения- все положительные числа и число 0. Область значений функций с таким показателем – также все положительные числа и число 0. Эти функции не являются ни четными ни нечетными. у х Свойства и графики степенной функции

Степенная функция с рациональным отрицательным показателем. Областью определения и областью значений таких функций являются все положительные числа. Функции не являются ни четными ни нечетными. Такие функции убывают на всей своей области определения. у х Свойства и графики степенной функции Ход урока

Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x 1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
Не имеет максимального и минимального значений.

Квадратичная функция y=x 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

Напечатать