Докажите что последовательность является геометрической. Сумма геометрической прогрессии бесконечной убывающей и сумма ее квадратов. О каком ряде чисел пойдет речь

Санкции в отношении российского энергетического сектора со стороны США могут привести к критическим последствиям — вплоть до краха энергосистемы Европы. Так считает Роберт , глава британской нефтегазовой компании ВР.

«Я не думаю, что это случится. Если на «Роснефть», или наложить санкции вроде тех, что были применены к «Русалу», то вы фактически отключите энергетические системы Европы, а это уже слегка чересчур»,

— сказал Дадли, выступая на конференции Oil & Money 2018 в Лондоне (цитата по ).

Было ограничено предоставление долгового и акционерного капитала предприятиям из России, а также запрещена поставка оборудования для разведки и добычи нефти на шельфе на глубине более 150 метров и для разработки сланцевых пород.

В августе 2017 года США ужесточили финансовые санкции, ввели дополнительные запреты на поставку товаров и технологий для добычи, а также законодательно прописали возможность введения ограничений в отношении экспортных трубопроводов. Из-за санкций также были приостановлены практически все совместные с иностранцами проекты по разработке шельфовой и сланцевой нефти.

Эксперты неоднократно отмечали, что в будущем эти ограничения могут привести к снижению уровня добычи РФ, если в стране не будет больше внимания уделяться геологоразведке и развитию собственных технологий.

Очевидно, что при принятии самого жесткого пакета ограничений в ноябре взаимодействие может быть осложнено, но вряд ли оно перейдет в разряд полной остановки,

считает Жарский.

Если бы ожидания были другими, то с другой заинтересованной стороны стали поступать бы такие же тревожные новости, но нефтяники о таких прогнозах не заикаются, обращает внимание эксперт.

Введение жестких санкций — это не только проблемы для России, но и головная боль для наших зарубежных контрагентов, в число которых входят ближайшие союзники США, соглашается инвестиционный стратег «БКС Премьер» .

По мнению аналитика, в случае усиления санкций ограничительные меры скорее могут носить избирательный характер и вряд ли будут направлены на всю отрасль.

Россия занимает более 10% мирового рынка нефти, резкий уход такого крупного игрока будет означать бурный рост нефтяных котировок : потенциально это не только удар по европейским, но и всем остальным потребителям нефти.

Так, в сентябре добыча нефти в России составляла 11,35 млн баррелей в сутки (б/с). По данным ЦДУ ТЭК Минэнерго, за январь-сентябрь 2018 года Россия поставила в страны дальнего зарубежья 190,212 млн тонн нефти.

Что касается газового рынка, тут ситуация для ЕС еще серьезнее: на долю России приходится около 34% всех газовых поставок в Европу. При этом в прошлом году «Газпром» поставил в дальнее зарубежье (ЕС плюс Турция) порядка 195 млрд куб м газа. В этом году, по прогнозам экспертов и самого монополиста, этот показатель превысит 200 млрд куб м.

Оперативно заместить такие объемы очень непросто. Не говоря уже о том, что экономически газ из РФ более выгоден европейским странам, чем тот же сжиженный природный газ (СПГ).

Ранее сообщал, что против России нельзя ввести санкции по жесткому сценарию Ирана или Северной Кореи, страна слишком глубоко интегрирована в мировую экономику. В ноябре будет введено эмбарго на поставку нефти из Ирана, и рынок лишится примерно 1-2 млн баррелей. Только ожидание этого вывело котировки на уровень в $80-85 за баррель Brent.

Впрочем, администрация не считается с рисками, развязывая торговые войны с ЕС и Китаем. Министр внутренних дел США Райан Зинке недавно заявил, что США могут устроить морскую блокаду России. Так что ни один, даже самый невероятный сценарий исключать нельзя.

Геометрическая прогрессия представляет собой один из самых интересных числовых рядов, которые рассматривают в школьном курсе алгебры. Данная статья посвящена частному случаю упомянутого ряда: и сумме ее членов.

О каком ряде чисел пойдет речь?

Прогрессией геометрической называют одномерную последовательность действительных чисел, которые связаны друг с другом следующим соотношением:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Обобщая выражения выше, можно записать следующее равенство:

a n = a 1 *r n-1

Как понятно из приведенных записей, a n - это элемент прогрессии с номером n. Параметр r, на который следует умножить n-1 элемент, чтобы получить n-й, называют знаменателем.

Какими свойствами обладает описанная последовательность? Ответ на вопрос зависит от величины и знака r. Возможны следующие варианты:

• Знаменатель r положительный и больше 1. Прогрессия в этом случае всегда будет возрастать по модулю, при этом абсолютное значение ее членов может и убывать, если a 1 будет отрицательным.
• Знаменатель r отрицательный и больше 1. В таком случае члены прогрессии будут появляться с чередованием знака (+ и -). Подобные ряды мало интересны для практики.
• Модуль знаменателя r меньше 1. Этот ряд называется убывающим, причем независимо от знака r. Именно эта прогрессия представляет большой практический интерес, о ней пойдет речь в данной статье.

Формула для суммы

Получим для начала выражение, которое позволит вычислить сумму произвольного количества элементов заданной прогрессии. Начнем решать эту задачу в лоб. Имеем:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Приведенным равенством можно пользоваться, если необходимо посчитать результат для небольшого числа членов (3-4 слагаемых), каждый из которых определяется по формуле для n-го члена (см. предыдущий пункт). Однако если слагаемых становится много, то в лоб считать неудобно и можно допустить ошибку, поэтому пользуются специальной формулой.

Обе части равенства выше умножим на r, получаем:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Теперь попарно вычтем левые и правые части этих двух выражений, имеем:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Выражая сумму S n и пользуясь формулой для члена a n+1 , получим:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Таким образом, мы получили общую формулу для суммы первых n слагаемых рассматриваемого типа числового ряда. Заметим, что формула справедлива, если r≠1. В последнем случае имеет место простой ряд одинаковых чисел, сумма которых вычисляется как произведение одного числа на их количество.

Как находить сумму бесконечной геометрической прогрессии убывающей?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует напомнить, что ряд будет убывающим, когда |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Заметим, что любое число, модуль которого меньше 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть r ∞ ->0. Проверить этот факт можно на любом примере:

r = -1/2, тогда (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4 , (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 и так далее.

Установив этот факт, обратим внимание на выражение для суммы: при n->∞ оно будет переписано следующим образом:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Получился интересный результат: сумма бесконечной прогрессии геометрической убывающей стремится к конечному числу, которое не зависит от количества слагаемых. Она определяется лишь первым членом и знаменателем. Заметим, что знак суммы однозначно определяется знаком a 1 , поскольку знаменатель всегда является положительным числом (1-r>0).

Сумма квадратов бесконечной геометрической прогрессии убывающей

Название пункта определяет задачу, которую следует решить. Для этого воспользуемся методикой, которая полностью аналогична той, что применялась для вывода общей формулы для S n . Имеем первое выражение:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Умножим обе части равенства на r 2 , записываем второе выражение:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2

Теперь находим разность этих двух равенств:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Выражаем M n и используем формулу для n-го элемента, получаем равенство:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

В предыдущем пункте было показано, что r ∞ -> 0, тогда конечная формула примет вид:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Сравнение двух полученных сумм

Сравним две формулы: для бесконечной суммы и бесконечной суммы квадратов на примере следующей задачи: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, известно, что речь идет об убывающей последовательности, для которой знаменатель равен 1/3. Необходимо найти бесконечную сумму квадратов этого ряда чисел.

Воспользуемся формулой для суммы. Выразим a 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Подставляем это выражение в формулу для суммы квадратов, имеем:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Мы получили искомую формулу, теперь можно подставлять известные из условия данные:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Таким образом, мы получили для бесконечной суммы квадратов такое же значение, что и для простой суммы. Заметим, что этот результат справедлив только для этой задачи. В общем случае M ∞ ≠ S ∞ .

Задача на вычисление площади прямоугольника

Каждому школьнику известна формула S = a * b, которая определяет площадь прямоугольника через его стороны. Мало кто знает, что задачу нахождения площади этой фигуры можно легко решить, если воспользоваться суммой бесконечной геометрической прогрессии. Покажем, как это делается.

Разделим мысленно прямоугольник пополам. Площадь одной половинки примем за единицу. Теперь поделим вторую половинку еще пополам. Получим две половинки, одну из которых поделим еще пополам. Эту процедуру будем продолжать до бесконечности (см. рисунок ниже).

В итоге площадь прямоугольника в выбранных нами единицах будет равна:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Видно, что эти слагаемые являются элементами убывающего ряда, у которого a 1 = 1 и r = 1/2. Воспользовавшись формулой для бесконечной суммы, получим:

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

В выбранном нами масштабе половинка прямоугольника (одна единица) соответствует площади a*b/2. Это означает, что площадь всего прямоугольника равна:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Полученный результат является очевидным, тем не менее он показал, как можно применять убывающую прогрессию для решения задач в геометрии.

Геометрическая прогрессия представляет собой один из самых интересных числовых рядов, которые рассматривают в школьном курсе алгебры. Данная статья посвящена частному случаю упомянутого ряда: убывающей бесконечной геометрической прогрессии и сумме ее членов.

О каком ряде чисел пойдет речь?

Прогрессией геометрической называют одномерную последовательность действительных чисел, которые связаны друг с другом следующим соотношением:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Обобщая выражения выше, можно записать следующее равенство:

a n = a 1 *r n-1

Как понятно из приведенных записей, a n - это элемент прогрессии с номером n. Параметр r, на который следует умножить n-1 элемент, чтобы получить n-й, называют знаменателем.

Какими свойствами обладает описанная последовательность? Ответ на вопрос зависит от величины и знака r. Возможны следующие варианты:

• Знаменатель r положительный и больше 1. Прогрессия в этом случае всегда будет возрастать по модулю, при этом абсолютное значение ее членов может и убывать, если a 1 будет отрицательным.
• Знаменатель r отрицательный и больше 1. В таком случае члены прогрессии будут появляться с чередованием знака (+ и -). Подобные ряды мало интересны для практики.
• Модуль знаменателя r меньше 1. Этот ряд называется убывающим, причем независимо от знака r. Именно эта прогрессия представляет большой практический интерес, о ней пойдет речь в данной статье.

Формула для суммы

Получим для начала выражение, которое позволит вычислить сумму произвольного количества элементов заданной прогрессии. Начнем решать эту задачу в лоб. Имеем:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Приведенным равенством можно пользоваться, если необходимо посчитать результат для небольшого числа членов (3-4 слагаемых), каждый из которых определяется по формуле для n-го члена (см. предыдущий пункт). Однако если слагаемых становится много, то в лоб считать неудобно и можно допустить ошибку, поэтому пользуются специальной формулой.

Обе части равенства выше умножим на r, получаем:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Теперь попарно вычтем левые и правые части этих двух выражений, имеем:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Выражая сумму S n и пользуясь формулой для члена a n+1 , получим:

S n = (a n+1 - a 1)/(r-1) = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Таким образом, мы получили общую формулу для суммы первых n слагаемых рассматриваемого типа числового ряда. Заметим, что формула справедлива, если r≠1. В последнем случае имеет место простой ряд одинаковых чисел, сумма которых вычисляется как произведение одного числа на их количество.

Видео по теме

Как находить сумму бесконечной геометрической прогрессии убывающей?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует напомнить, что ряд будет убывающим, когда |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n = a 1 *(r n - 1)/(r-1)

Заметим, что любое число, модуль которого меньше 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть r ∞ ->0. Проверить этот факт можно на любом примере:

r = -1/2, тогда (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4 , (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 и так далее.

Установив этот факт, обратим внимание на выражение для суммы: при n->∞ оно будет переписано следующим образом:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Получился интересный результат: сумма бесконечной прогрессии геометрической убывающей стремится к конечному числу, которое не зависит от количества слагаемых. Она определяется лишь первым членом и знаменателем. Заметим, что знак суммы однозначно определяется знаком a 1 , поскольку знаменатель всегда является положительным числом (1-r>0).

Сумма квадратов бесконечной геометрической прогрессии убывающей

Название пункта определяет задачу, которую следует решить. Для этого воспользуемся методикой, которая полностью аналогична той, что применялась для вывода общей формулы для S n . Имеем первое выражение:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Умножим обе части равенства на r 2 , записываем второе выражение:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2

Теперь находим разность этих двух равенств:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Выражаем M n и используем формулу для n-го элемента, получаем равенство:

M n = (a n+1 2 - a 1 2)/(r 2 -1)=a 1 2 *(r 2n -1)/(r 2 -1)

В предыдущем пункте было показано, что r ∞ -> 0, тогда конечная формула примет вид:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Сравнение двух полученных сумм

Сравним две формулы: для бесконечной суммы и бесконечной суммы квадратов на примере следующей задачи: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, известно, что речь идет об убывающей последовательности, для которой знаменатель равен 1/3. Необходимо найти бесконечную сумму квадратов этого ряда чисел.

Воспользуемся формулой для суммы. Выразим a 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Подставляем это выражение в формулу для суммы квадратов, имеем:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Мы получили искомую формулу, теперь можно подставлять известные из условия данные:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Таким образом, мы получили для бесконечной суммы квадратов такое же значение, что и для простой суммы. Заметим, что этот результат справедлив только для этой задачи. В общем случае M ∞ ≠ S ∞ .

Задача на вычисление площади прямоугольника

Каждому школьнику известна формула S = a * b, которая определяет площадь прямоугольника через его стороны. Мало кто знает, что задачу нахождения площади этой фигуры можно легко решить, если воспользоваться суммой бесконечной геометрической прогрессии. Покажем, как это делается.

Разделим мысленно прямоугольник пополам. Площадь одной половинки примем за единицу. Теперь поделим вторую половинку еще пополам. Получим две половинки, одну из которых поделим еще пополам. Эту процедуру будем продолжать до бесконечности (см. рисунок ниже).

В итоге площадь прямоугольника в выбранных нами единицах будет равна:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Видно, что эти слагаемые являются элементами убывающего ряда, у которого a 1 = 1 и r = 1/2. Воспользовавшись формулой для бесконечной суммы, получим:

S ∞ = 1 /(1-1/2) = 2

В выбранном нами масштабе половинка прямоугольника (одна единица) соответствует площади a*b/2. Это означает, что площадь всего прямоугольника равна:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Полученный результат является очевидным, тем не менее он показал, как можно применять убывающую прогрессию для решения задач в геометрии.

Среди всех последовательностей чисел геометрическая прогрессия, которую рассматривают в курсе алгебры 9 класса, является одной из самых известных. Что она собой представляет и как решить геометрическую прогрессию — на эти вопросы дан ответ в данной статье.

Последовательность чисел, которая подчиняется математическому закону

Название этого пункта является общим определением геометрической прогрессии. Закон, которым она описывается, является достаточно простым: каждое следующее число отличается от предыдущего на множитель, который получил название "знаменатель". Можно обозначить его буквой r. Тогда можно записать следующее равенство:

Здесь a n - член прогрессии с номером n.

Если r будет больше 1, то прогрессия будет возрастать по модулю (она может убывать, если первый ее член будет иметь отрицательный знак). Если r будет меньше единицы, тогда вся прогрессия будет стремиться к нулю либо снизу (a 1 <0), либо сверху (a 1 >0). В случае отрицательного знаменателя (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Пример рассматриваемого вида прогрессии приведен ниже:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Здесь первый член равен 2, а знаменатель равен 1,5.

Важные формулы

Как в 9 классе решать геометрическую прогрессию? Для этого следует знать не только ее определение и понимать, о чем идет речь, но и запомнить две важных формулы. Первая из них приводится ниже:

Выражение позволяет без особого труда найти произвольный элемент последовательности, однако для этого необходимо знать два числа: знаменатель и первый элемент. Доказать эту формулу просто, нужно лишь вспомнить определение геометрической прогрессии: второй элемент получается умножением первого на знаменатель в первой степени, третий элемент - умножением первого на знаменатель во второй степени и так далее. Полезность этого выражения очевидна: нет необходимости в последовательном восстановлении всего числового ряда, чтобы узнать, какое значение примет его n-й элемент.

Следующая формула является также полезной при ответе на вопрос, как решать геометрическую прогрессию. Речь идет о сумме ее элементов, начиная с первого и заканчивая n-ным. Соответствующее выражение приведено ниже:

S n = a 1 *(r n -1)/(r-1).

Стоит обратить внимание на его особенность: как и в формуле для нахождения n-ного элемента, здесь тоже достаточно знать те же два числа (a 1 и r). Этот результат не является удивительным, ведь каждый член прогрессии связан с отмеченными числами.

Восстановление прогрессии

Первый пример, как решать геометрическую прогрессию, имеет следующее условие: известно, что два числа 10 и 20 образуют рассматриваемый вид прогрессии. При этом числа являются восьмым и пятнадцатым элементами ряда. Необходимо восстановить весь ряд, зная, что он должен быть убывающим.

Это несколько запутанное условие задачи следует разобрать внимательно: поскольку речь идет об убывающем ряде, то число 10 должно стоять в 15 позиции, а 20 - в 8. Приступая к решению, выпишите для каждого из чисел соответствующие равенства:

a 8 = a 1 *r 7 и a 15 = a 1 *r 14 .

Вы имеете два равенства с двумя неизвестными. Решите их, выражая из первого a 1 и подставляя его во второе. Получится:

a 1 = a 8 *r -7 и a 15 = a 8 *r -7 *r 14 =a 8 *r 7 => r= 7 √(a 15 /a 8).

Теперь остается подставить соответствующие значения из условия и вычислить корень седьмой степени. Получится:

r= 7 √(a 15 /a 8) = 7 √(10 /20) ≈ 0,9057.

Подставляя полученный знаменатель в любое из выражений для известного n-ного элемента, получается a 1:

a 1 = a 8 *r -7 = 20*(0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Таким образом, вы найдете первый член и знаменатель, что означает, что вы восстановите всю прогрессию. Первые несколько членов:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Стоит отметить, что при выполнении расчетов было использовано округление до 4-х знаков после запятой.

Нахождение неизвестного члена ряда

Теперь стоит рассмотреть иной пример: известно, что седьмой элемент ряда равен 27, чему равен тринадцатый член, если знаменатель r = -2. Как решить геометрическую прогрессию, пользуясь этими данными? Очень просто, нужно выписать формулу для 7-го элемента:

Поскольку в этом равенстве неизвестно только число a 1 , выразите его:

Воспользуйтесь последним равенством, подставляя его в формулу для 13-го члена, который необходимо найти. Получится:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Осталось подставить числа и записать ответ:

a 13 = a 7 *r 6 = 27*(-2) 6 = 1728.

Полученное число демонстрирует, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.

Задача на сумму

Последняя задача, раскрывающая вопрос, как решить геометрическую прогрессию, связана с нахождением суммы нескольких элементов. Пусть a 1 = 1,5, r = 2. Следует вычислить сумму членов этого ряда, начиная с 5-го и заканчивая 10-м.

Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, следует применить формулу:

То есть сначала нужно найти сумму 10 элементов, затем сумму первых 4-х и вычесть их между собой. Следуя указанному алгоритму, получится:

S 10 = a 1 *(r n -1)/(r-1) = 1,5*(2 10 -1)/(2-1) = 1534,5;

S 4 = a 1 *(r n -1)/(r-1) = 1,5*(2 4 -1)/(2-1) = 22,5;

S 5 10 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Стоит отметить, что в конечной формуле вычиталась сумма именно 4 слагаемых, поскольку пятое по условию задачи должно участвовать в сумме.

Среди всех последовательностей чисел геометрическая прогрессия, которую рассматривают в курсе алгебры 9 класса, является одной из самых известных. Что она собой представляет и как решить геометрическую прогрессию — на эти вопросы дан ответ в данной статье.

Последовательность чисел, которая подчиняется математическому закону

Название этого пункта является общим определением геометрической прогрессии. Закон, которым она описывается, является достаточно простым: каждое следующее число отличается от предыдущего на множитель, который получил название «знаменатель». Можно обозначить его буквой r. Тогда можно записать следующее равенство:

Здесь an — член прогрессии с номером n.

Если r будет больше 1, то прогрессия будет возрастать по модулю (она может убывать, если первый ее член будет иметь отрицательный знак). Если r будет меньше единицы, тогда вся прогрессия будет стремиться к нулю либо снизу (a1<0), либо сверху (a1>0). В случае отрицательного знаменателя (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Пример рассматриваемого вида прогрессии приведен ниже:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Здесь первый член равен 2, а знаменатель равен 1,5.

Важные формулы

Как в 9 классе решать геометрическую прогрессию? Для этого следует знать не только ее определение и понимать, о чем идет речь, но и запомнить две важных формулы. Первая из них приводится ниже:

Выражение позволяет без особого труда найти произвольный элемент последовательности, однако для этого необходимо знать два числа: знаменатель и первый элемент. Доказать эту формулу просто, нужно лишь вспомнить определение геометрической прогрессии: второй элемент получается умножением первого на знаменатель в первой степени, третий элемент — умножением первого на знаменатель во второй степени и так далее. Полезность этого выражения очевидна: нет необходимости в последовательном восстановлении всего числового ряда, чтобы узнать, какое значение примет его n-й элемент.

Следующая формула является также полезной при ответе на вопрос, как решать геометрическую прогрессию. Речь идет о сумме ее элементов, начиная с первого и заканчивая n-ным. Соответствующее выражение приведено ниже:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Стоит обратить внимание на его особенность: как и в формуле для нахождения n-ного элемента, здесь тоже достаточно знать те же два числа (a1 и r). Этот результат не является удивительным, ведь каждый член прогрессии связан с отмеченными числами.

Восстановление прогрессии

Первый пример, как решать геометрическую прогрессию, имеет следующее условие: известно, что два числа 10 и 20 образуют рассматриваемый вид прогрессии. При этом числа являются восьмым и пятнадцатым элементами ряда. Необходимо восстановить весь ряд, зная, что он должен быть убывающим.

Это несколько запутанное условие задачи следует разобрать внимательно: поскольку речь идет об убывающем ряде, то число 10 должно стоять в 15 позиции, а 20 — в 8. Приступая к решению, выпишите для каждого из чисел соответствующие равенства:

a8 = a1*r7 и a15 = a1*r14.

Вы имеете два равенства с двумя неизвестными. Решите их, выражая из первого a1 и подставляя его во второе. Получится:

a1 = a8*r-7 и a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Теперь остается подставить соответствующие значения из условия и вычислить корень седьмой степени. Получится:

r=7√(a15/a8) = 7√(10 /20) ≈ 0,9057.

Подставляя полученный знаменатель в любое из выражений для известного n-ного элемента, получается a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

Таким образом, вы найдете первый член и знаменатель, что означает, что вы восстановите всю прогрессию. Первые несколько членов:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Стоит отметить, что при выполнении расчетов было использовано округление до 4-х знаков после запятой.

Нахождение неизвестного члена ряда

Теперь стоит рассмотреть иной пример: известно, что седьмой элемент ряда равен 27, чему равен тринадцатый член, если знаменатель r = -2. Как решить геометрическую прогрессию, пользуясь этими данными? Очень просто, нужно выписать формулу для 7-го элемента:

Поскольку в этом равенстве неизвестно только число a1, выразите его:

Воспользуйтесь последним равенством, подставляя его в формулу для 13-го члена, который необходимо найти. Получится:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Осталось подставить числа и записать ответ:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Полученное число демонстрирует, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.

Задача на сумму

Последняя задача, раскрывающая вопрос, как решить геометрическую прогрессию, связана с нахождением суммы нескольких элементов. Пусть a1 = 1,5, r = 2. Следует вычислить сумму членов этого ряда, начиная с 5-го и заканчивая 10-м.

Чтобы получить ответ на поставленный вопрос, следует применить формулу:

S510 = S10 — S4.

То есть сначала нужно найти сумму 10 элементов, затем сумму первых 4-х и вычесть их между собой. Следуя указанному алгоритму, получится:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 — 22,5 = 1512.

Стоит отметить, что в конечной формуле вычиталась сумма именно 4 слагаемых, поскольку пятое по условию задачи должно участвовать в сумме.