Интегрирование методом разложения. Основные методы интегрирования. Метод интегрирования по частям

Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x :
,
где Р m (x) и Q n (x) - многочлены степеней m и n , соответственно, m < n . Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Q n (x) на множители:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ... .
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
.
Здесь A i , B i , E i , ... - действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.

Например,
.

Еще один пример:
.

Методы разложения рациональной дроби на простейшие

Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Q n . В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x . Это уравнение должно выполняться для всех значений x . Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.

1) Можно присвоить переменной x определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой можно определить неизвестные коэффициенты A i , B i , ... .
2) Поскольку полученное уравнение и с лева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Из полученной системы можно определить неопределенные коэффициенты.
3) Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x определенные значения.

На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.

Пример

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.

Решение

1. Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1) ,
где A, B, C, D, E - коэффициенты, которые нужно определить.

2. Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби (x-1) 3 (x-2)(x-3) . В результате получаем уравнение:
(1.2)
.

3. Подставим в (1.2) x = 1 . Тогда x - 1 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим в (1.2) x = 2 . Тогда x - 2 = 0 . Остается
.
Отсюда .
Подставим x = 3 . Тогда x - 3 = 0 . Остается
.
Отсюда .

4. Осталось определить два коэффициента: B и C . Это можно сделать тремя способами.
1) Подставить в формулу (1.2) два определенных значения переменной x . В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B и C .
2) Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .
3) Продифференцировать уравнение (1.2) и присвоить переменной x определенное значение.

В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2) и подставим x = 1 . При этом замечаем, что члены, содержащие множители (x-1) 2 и (x-1) 3 дают нуль, поскольку, например,
, при x = 1 .
В произведениях вида (x-1) g(x) , дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
.
При x = 1 второй член обращается в нуль.

Дифференцируем (1.2) по x и подставляем x = 1 :
;
;
;
3 = -3 A + 2 B ; 2 B = 3 + 3 A = 6 ; B = 3 .

Итак, мы нашли B = 3 . Остается найти коэффициент C . Поскольку при первом дифференцировании мы отбросили некоторые члены, то дифференцировать второй раз уже нельзя. Поэтому применим второй способ. Поскольку нам нужно получить одно уравнение, то нам не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x . Мы выбираем самый легкий член разложения - x 4 .

Выпишем еще раз уравнение (1.2) :
(1.2)
.
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x 4 .
.
Отсюда 0 = C + D + E , C = - D - E = 6 - 3/2 = 9/2 .

Сделаем проверку. Для этого определим C первым способом. Подставим в (1.2) x = 0 :
0 = 6 A - 6 B+ 6 C + 3 D + 2 E ;
;
. Все правильно.

Ответ

Определение коэффициента при старшей степени 1/(x-a)

В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей , , , присваивая, в уравнении (1.2) , переменной x значения x = 1 , x = 2 и x = 3 . В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида .

То есть если исходная дробь имеет вид:
,
то коэффициент при равен . Таким образом, разложение по степеням начинается с члена .

Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:


.

В некоторых простых случаях, можно сразу определить коэффициенты разложения. Например,


.

Пример с комплексными корнями знаменателя

Теперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.

Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
.

Решение

1. Устанавливаем общий вид разложения:
.
Здесь A, B, C, D, E - неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

2. Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби :
(2.1) .

3. Заметим, что уравнение x 2 + 1 = 0 имеет комплексный корень x = i , где i - комплексная единица, i 2 = -1 . Подставим в (2.1) , x = i . Тогда члены, содержащие множитель x 2 + 1 дают 0 . В результате получаем:
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
-A + B = -1 , A + B = -1 .
Складываем уравнения:
2 B = -2 , B = -1 , A = -B -1 = 1 - 1 = 0 .
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0 , B = -1 .

4. Заметим, что x + 1 = 0 при x = -1 . Подставим в (2.1) , x = -1 :
;
2 = 4 E , E = 1/2 .

5. Далее удобно подставить в (2.1) два значения переменной x и получить два уравнения, из которых можно определить C и D . Подставим в (2.1) x = 0 :
0 = B + D + E , D = -B - E = 1 - 1/2 = 1/2 .

6. Подставим в (2.1) x = 1 :
0 = 2(A + B) + 4(C + D) + 4 E ;
2(C + D) = -A - B - 2 E = 0 ;
C = -D = -1/2 .

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F (x ) + С для функции f (x ) учитывает константу интегрирования C . По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(2)

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

(3)

Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной . Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании . Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями . Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

.

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

.

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

.

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов.

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или другими способами, привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их применение к простейшим примерам.

Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.

I. Метод непосредственного интегрирования

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Пример 3. ∫sin 2 xdx

Так как sin 2 x=(1-cos2x), то
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Пример 4. ∫sinxcos3xdx

Так как sinxcos3x=(sin4x-sin2x), то имеем
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Пример 6.

II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

Пример 7. ∫x√x-5dx

Чтобы избавиться от корня, полагаем √x-5=t. Отсюда x=t 2 +5 и, следовательно, dx=2tdt. Производя подстановку, последовательно имеем:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Пример 8.

Так как , то имеем

Пример 9.

Пример 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Воспользуемся подстановкой -x 3 =t. Тогда имеем -3x 2 dx=dt и ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Пример 11.

Применим подстановку 1+sinx=t , тогда cosxdx=dt и

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл ∫xe -2x dx

Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.

Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений , где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям . То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма . И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе . Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей , которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций . В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки .

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала .

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

Методом сведения интеграла к самому себе

Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.

Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:

Интегрируем по частям:

(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.

(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).

Теперь смотрим на самое начало решения:

И на концовку:

Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!

Приравниваем начало и конец:

Переносим в левую часть со сменой знака:

А двойку сносим в правую часть. В результате:

Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:

Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:

Таким образом:

Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:

Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях . И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат :
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?

Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы , что обозначать за , можно было пойти другим путём:

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:

Замена тут проста:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей , решается методом выделения полного квадрата . Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций .

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу , поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции , пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.

На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!

Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:

Пример 17

Найти неопределенный интеграл

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.

Пара простых примеров для самостоятельного решения:

Пример 18

Найти неопределенный интеграл

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Пример 19

Найти неопределенный интеграл

Ну, это совсем простой пример.

Полные решения и ответы в конце урока.

Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала .

Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.

Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:

Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число , например:

для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.

! Примечание :если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах №№17, 18).

Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:

Пример 20

Найти неопределенный интеграл

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Пример 21

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:

Пример 22

Найти неопределенный интеграл

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Пример 23

Найти неопределенный интеграл

Пример 24

Найти неопределенный интеграл

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока

4.1. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 4.1.1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции y = F(x), т. е. необходимо было найти f (x) = F"(x) или dF(x) = F"(x) dx = f (x) dx. Поставим обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т. е., зная производную f(x) (или дифференциал f(x)dx), найти такую функцию F(x), чтобы F"(x) = f (x). Эта задача оказывается значительно более трудной, чем задача дифференцирования. Например, пусть известна скорость перемещения точки, а надо найти закон

ее перемещения S = S(t), причемДля решения подобных

задач вводятся новые понятия и действия.

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на (a; b), если F"(x) = f (x) на (a; b).

Например, для f (x) = x 2 первообразная так как

для f (x) = cos x первообразной будет F(x) = sin x, потому что F"(x) = (sin x)" = cos x, что совпадает с f (x).

Всегда ли существует первообразная для заданной функции f (x)? Да, если эта функция непрерывна на (a; b). Кроме того, первообразных бесчисленное множество, и отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. Действительно, sin x + 2, sin x - 2, sin x + c - все эти функции будут первообразными для cos x (производная от постоянной величины равна 0) - рис. 4.1.

Определение. Выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f (x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом , т. е., где знак - знак неопределенного

интеграла, f (x) - называется подынтегральной функцией, f (x)dx - подынтегральньм выражением, х - переменной интегрирования.

Рис. 4.1. Пример семейства интегральных кривых

Определение. Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием этой функции.

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной. Придавая постоянной величине С конкретные значенияпо-

лучим различные функции

каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты параллельно относительно друг друга вдоль оси Oy. Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Итак, введены новые понятия (первообразной и неопределенного интеграла) и новое действие (интегрирование), но как все-таки находить первообразную? Чтобы легко было ответить на этот вопрос, надо в первую очередь составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если

Обычно в таблицу включаются некоторые интегралы, полученные после применения простейших методов интегрирования. Эти формулы помечены в табл. 4.1 символом «*» и доказаны при дальнейшем изложении материала.

Таблица 4.1. Таблица основных неопределенных интегралов

Формула 11 из табл. 4.1 может иметь вид
,

так как. Аналогичное замечание и по поводу фор-

мулы 13:

4.1.2. Свойства неопределенных интегралов

Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интеграла, которые позволят интегрировать не только основные элементарные функции.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Пример 1. Пример 2.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Пример 3.

5.Интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности интегралов от этих функций:

Пример 4.

Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: если то

Произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.

Пример 5., поэтому

Сравнить с

Универсального способа интегрирования не существует. Далее будут приведены некоторые методы, позволяющие вычислить заданный интеграл с помощью свойств 1-5 и табл. 4.1.

4.1.3.Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств 4 и 5. Примеры.

4.1.4.Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию функций с уже известными интегралами.

Примеры.

4.1.5. Метод подведения под знак дифференциала

Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала.

1. Подведение под знак дифференциала линейной функции

отсюда
в частности, dx = d(x + b),

дифференциал не меняется, если к переменной прибавить

или отнять постоянную величину. Если переменная увеличивается в несколько раз, то дифференциал умножается на обратную величину. Примеры с решениями.

Проверим формулы 9*, 12* и 14* из табл. 4.1, используя метод подведения под знак дифференциала:

что и требовалось доказать.

2. Подведение под знак дифференциала основных элементарных функций:

Замечание. Формулы 15* и 16* могут быть проверены дифференцированием (см. свойство 1). Например,

а это и есть подынтегральная функция из формулы 16*.

4.1.6. Метод выделения полного квадрата из квадратичного трехчлена

При интегрировании выражений типа или

выделением полного квадрата из квадратного трехчлена

ax 2 + bx + c удается свести их к табличным 12*, 14*, 15* или 16* (см. табл. 4.1).

Поскольку в общем виде эта операция выглядит сложнее, чем на самом деле, ограничимся примерами.

Примеры.

1.

Решение. Здесь мы выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена x 2 + 6x + 9 = (x 2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3) 2 - 4 , а затем используем метод подведения под знак дифференциала.

Рассуждая аналогично, можно вычислить следующие интегралы:

2. 3.

На заключительном этапе интегрирования была использована формула 16*.

4.1.7. Основные методы интегрирования

Таких методов два: метод замены переменной, или подстановка, и интегрирование по частям.

Метод замены переменной

Существуют две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

1) 2)

Здесьсуть монотонные дифференцируемые функ-

ции своих переменных.

Искусство применения метода состоит, в основном, в выборе функцийтак, чтобы новые интегралы являлись табличными или сводились к ним. В окончательном ответе следует вернуться к старой переменной.

Заметим, что подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной.

Примеры.

Решение. Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим x + 1 = t, тогда x = t 2 + 1, а dx = 2 tdt:

Решение. Заменив x - 2 на t, получим в знаменателе одночлен и после почленного деления интеграл сведется к табличному от степенной функции:

При переходе к переменной x использованы формулы:

Метод интегрирования по частям

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Интегрируя это равенство (см. свойство 3), найдем:

ОтсюдаЭто и есть формула интегрирования по

частям.

Интегрирование по частям предполагает субъективное представление подынтегрального выражения в виде u . dV, и при этом интеграл должен быть проще, чемВ противном случае применение

метода не имеет смысла.

Итак, метод интегрирования по частям предполагает умение выделять из подынтегрального выражения сомножители u и dV с учетом вышеизложенных требований.

Приведем ряд типичных интегралов, которые могут быть найдены методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида

где P(x) - многочлен; k - постоянная. В этом случае u = P(x), а dV - все остальные сомножители.

Пример 1.

2.Интегралы типа

Здесь положим- другие сомножители.

Пример 2.

Пример 3.
Пример 4.

Любой результат можно проверить дифференцированием. Напр мер, в данном случае

Результат верен.

3.Интегралы вида

где a, b - const. За u следует взять e ax , sin bx или cos bx.

Пример 5.

Отсюда получаем Пример 6.

Отсюда

Пример 7.
Пример 8.

Решение. Здесь надо сперва сделать замену переменной, а потом интегрировать по частям:

Пример 9.
Пример 10.

Решение. Этот интеграл с равным успехом может быть найден как в результате замены переменной 1 + х 2 = t 2 , так и методом интегрирования по частям:

Самостоятельная работа

Выполнить непосредственное интегрирование (1-10).

Применить простейшие методы интегрирования (11-46).

Выполнить интегрирование, используя методы замены переменной и интегрирования по частям (47-74).