Главная » Современный дизайн частного дома » Методы решения систем рациональных уравнений. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Методы решения систем рациональных уравнений. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Главная > Документ

Тема III. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой называется совокупность условий, которые должны удовлетворяться одновременно. Эти условия могут быть выражены в форме уравнений и неравенств .

Условия, входящие в систему, принято записывать в столбик и компоновать с левой стороны круглой скобкой.

Система, состоящая из уравнений, называется системой уравнений.

Система, состоящая из уравнений и неравенств, называется смешанной системой.

Решить систему, значит найти такую совокупность значений для неизвестных, которая удовлетворяет всем ее условиям .

Область определения системы – это общая часть области определения входящих в нее условий. Решение системы, если оно существует, всегда принадлежит области ее определения.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Система, не имеющая решений, называется несовместной или противоречивой .

Глава I. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ (МЕТОДОМ ГАУССА)

§ I. Определение систем линейных алгебраических уравнений

Целое рациональное уравнение называется линейным алгебраическим, если обе его части состоят из слагаемых, степень которых не выше первой относительно определяемых неизвестных.

Система называется линейной, если она содержит только линейные алгебраические уравнения.

(Далее, следует программируемая часть пособия, в которой при ответе на вопросы или задания следует закрывать правую часть страницы. На этой части страницы проверяется правильность выполненного Вами задания или ответа. Последовательность работы с программируемым пособием опреде-ляется данными примерами, поставленными вопросами или заданиями Вашей реакцияей на них. Эта последовательность не должна нарушаться.)

Установите, являются ли системы, данные в примерах №1 и №2, линейными относительно х и у.

Пример №1

Пример №2

В примере №3 выполните под-становку, приводящую данную систему к линейной.

Пример №3

Ответы:

Система линейная.

См. «А».

Система не линейная.

См. «Б».А) Правильно. Переходите к примеру №2.Б) Не правильно. Данная система явля-ется линейной, так как, состоит из ли-нейных уравнений относительно х и у.Убедимся в том, что все слагаемые первого и второго уравнения имеют степень не выше 1-й относительно х и у. Действительно, левая часть первого уравнения содержит слагаемые

Это слагаемые 1-й степени относительно х и у (сумма показателей при х и у в каждом из них равна единице). Слагаемые в правой части первого уравнения имеют относительно х и у нулевую степень. Так

(сумма показателей при х и у в каждом из них равна нулю).Здесь мы воспользовались определением х 0 ≡ 1 при х ≠0, y 0 ≡ 1 при у ≠0.Второе уравнение системы, так же как и первое, можно представить в виде

.Теперь левая часть второго уравнения содержит слагаемые первой степени относительно х и у, а правая нулевой. Итак, данная система является линейной, т.к. состоит из линейных уравнений.

Переходите к примеру № 2.

Ответы:

Система нелинейная.

2. Система линейная.

А) Правильно. Но подстановкой

данная система сводится к линейной относительно новых неизвестных u, v, t.

Переходите к примеру №3.

Б) Не правильно. Уравнения системы нельзя назвать линейными, т.к. левые части уравнения содержат сумму дробей, степени которых не определяются. (Определять можно только степень многочлена, т.е. такого аналитического выражения, в котором над буквами и числами производится не более двух действий: алгебраи-ческое сложение и умножение).

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Под понятием решить систему уравнений понимают определить все корни, то есть значения, которые после подстановки их в систему, образуют уравнение в тождество. При решении систем уравнений можно применять следующие методы:

* Метод подстановки. Данный метод заключается в том, что для решения уравнения необходимо выразить 1 из переменных и подставить полученное выражение на место данной переменной во 2 уравнение. Получив уравнение с 1 неизвестной, его можно легко решить и узнать значение другой переменной;

* Метод расщепления системы. Этот метод заключается в том, чтобы одно из уравнений системы разложить на множители таким образом, чтобы справа был \ поскольку потом к \ приравнивается каждый множитель и, дописывая остальные уравнения первоначальной системы, получим несколько систем, каждая из которых будет проще исходных;

* Метод сложения и вычитания. Само название говорит о сути метода. Складывая или вычитая 2 уравнения системы, получаем новое с целью замены им одного из уравнения исходной системы;

* Метод деления и умножения. Суть метода состоит в том, чтобы разделив/умножив соответственно левые и правые части двух уравнений системы, получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы.

Где можно решить системы рациональных уравнений онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Урок и презентация на тему: "Системы уравнений. Основные понятия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Тренажёр к учебнику Атанасяна Л.С. Тренажёр к учебнику Погорелова А.В.

Рациональные уравнения с двумя неизвестными

Рациональное уравнение с двумя переменными - это уравнение вида $f(x;y)= g(x;y)$.
Где f и g – рациональные выражения (числа и любые операции вычитания, деления, умножения, сложения и возведения в степень), содержащие переменные х, y.

Посмотрим на примеры рациональных выражений:

Рациональное уравнение всегда представимо в виде:
$u(x;y)=f(x;y)-g(x;y)$. Здесь $u(x;y)$ – рациональное выражение.
$u(x;y)=0$ – целое рациональное уравнение.

Решением уравнение: $u(x;y)= 0$. (x;y)– пара чисел, которые удовлетворяют данному уравнению.

Примеры:

А) (3;2) - решение уравнения: $x+y=5$. Подставим х= 3 и y= 2, получим $3+2=5$

Б) (1;4) - решение уравнения: $2x^2+y^2=18$. Подставим х= 1 и y= 4, получим $2+16=18$

В) Решить уравнение: $(3x-6)^2+(2y-2)^2=0$.
Решение: Для любых x и y $(3x-6)^2≥0\; и \;(2y-2)^2≥0$. Это означает, что левая часть равенства всегда больше или равна нулю, и равна нулю только, когда оба выражения равны нулю. Значит решением уравнения будет пара чисел (2;1).
Ответ: (2;1).

Г) Найти все целые решения уравнения: $x-y=12$.
Решение: Пусть x= z, тогда $y=z-12$, z – любое целое число. Тогда решением будет пара чисел (z;z-12), где z – целое число.

Д) Найти целочисленные решения уравнения: $4х+7y=29$.
Решение: Выразим х через y: $x=\frac{29-7y}{4}=\frac{28+1-7y}{4}=7+\frac{1-7y}{4}=7-\frac{7y-1}{4}$.
x будет целым, если $7y-1$ делится на 4 без остатка. Давайте посмотрим возможные варианты нашего деления:
1) y – кратно 4. Тогда $y=4n$. $7y-1=7*4n-1=28n-1$ – не делится на 4, значит не подходит.

2) y – при делении на 4 остаток равен 1. $y=4n+1$. $7y-1=28n+7-1=28n+6$ – не делится на 4, значит не подходит.

3) y – при делении на 4 остаток равен 2. $y=4n+2$. $7y-1=28n+14-1=28n+13$ – не делится на 4, значит не подходит.

4) y – при делении на 4 остаток равен 3. $y=4n+3$. $7y-1=28n+21-1=28n+20$ – делится на 4, значит подходит.

Получили $y=4n+3$, найдем х.
$x=7-\frac{7y-1}{4}=7-\frac{28n+20}{4}=7-7n+5=2-7n$
Ответ: ($2-7n;4n+3$).

Два рациональных уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые решения.

Равносильными преобразованиями уравнения называют:

А) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую, со сменой знака.
Пример: $-3x+5y=2x+7y$ равносильно $-3x-2x=7y-5y$

Б) Умножение или деление обоих частей уравнений на число, которое не равно нулю.
Пример: $2х-0,5y=0,2xy$ равносильно $20х-5y=2xy$. (Умножили обе части уравнения на 10).

График уравнения с двумя переменными

Пусть дано уравнение u(x;y)= 0. Множество точек (x;y) на координатной плоскости, которые являются решением уравнения u(x;y)= 0, называются графиком функции.

Если уравнение u(x;y)= 0 можно преобразовать к виду y=f(x), то оно считается одновременно графиком уравнения.

Построить график уравнения:
а) $y+2x=2$,
b) $yx=5$.

Решение:
а) Графиком нашего уравнения будет прямая. Ребята, вы помните, как мы строили график линейной функции в 7 классе?
График нашей функции строится по двум точкам:
Построим график:

b) Преобразуем наше уравнение $yx=5$. Получим $y=5/x$ – график гиперболы. Давайте построим его:

Расстояние между двумя точками координатной плоскости

Определение. Расстояние между двумя точками А(x1;y1) и B(x2;y2) вычисляется по формуле: $AB=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}$

Пример: Найти расстояние между точками: А(10;34) и B(3;10).
Решение: $AB=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}=\sqrt{(3-10)^2+(10-34)^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$.

Определение. Графиком уравнения: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ является окружность на координатной плоскости с центром в точке (а;b) и радиусом r.

Пример: Построить график уравнения: $x^2+y^2=4$.
Решение: Перепишем наше уравнение согласно определению: $(x-0)^2+(y-0)^2=4$. Это окружность с центром в точке (0;0) и радиусом равным 2. Нарисуем нашу окружность:

Пример: Построить график уравнения: $x^2+y^2-6y=0$.
Решение. Перепишем в виде: $x^2+y^2-6y+9-9=0$, $x^2+(y+3)^2=9$, $(x-0)^2+(y-3)^2=9$.
Это - окружность с центром в точке (0; 3) и радиусом равным 3. Изобразим нашу окружность:

Задачи на уравнения для самостоятельного решения

1. Найти все целые решения уравнения $2x+y=16$.
2. Найти целочисленные решения: $3х+5y=23$.
3. Построить график уравнения: а) $y-5x=-5$, b) $yx=6$, с) $(y+2x)^2=0$.
4. Найти расстояние между точками: А(5;25) и B(18;10).
5. Построить график уравнения: а) $x^2+y^2=36$, б) $x^2+8x+y^2+6y=0$.

Глава 4. Системы рациональных уравнений

Четвёртая глава посвящена изучению способов решения систем рациональных уравнений. Здесь используются понятия, изученные в 7 классе и применявшиеся ранее к системам линейных уравнений, что даёт возможность повторить изученное и научится действовать в новой ситуации. Это понятия: решения уравнения с двумя (тремя) неизвестными, системы уравнений с двумя (тремя) неизвестными, понятие равносильности уравнений, систем уравнений.

Цель изучения главы 4: усвоить перечисленные понятия, научиться решать системы рациональных уравнений и применять их к решению текстовых задач.

§ 9. Системы рациональных уравнений

Основная цель девятого параграфа заключается в том, чтобы, опираясь на известные понятия, связанные с уравнениями и системами линейных уравнений, научится решать системы рациональных уравнений, научиться применять их к решению текстовых задач.

9.1. Понятие системы рациональных уравнений

В данном пункте вводятся понятия рационального уравнения с двумя (тремя) неизвестными и его решения, определяется, что значит решить систему уравнений, приводятся утверждения о равносильности систем уравнений.

Основными заданиями данного пункта являются задания на установление того, что данная пара (тройка) чисел является решением системы. Дополнительное задание приучает учащихся к решению задач с параметрами.

Задание для повторения. 805–807.

Решения и комментарии

500. Является ли решением системы уравнений пара чисел:

а) (0; 3); б) (–3; 2).

Решение. а) Так как 0 + 5 3, то пара чисел (0; 3) не является решением вто-рого уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.

б) Так как –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, то пара чисел (–3; 2) является решением системы уравнений.

501. Является ли решением системы уравнений
тройка чисел:

а) (1; –1; 1); б) (1; 1; 1).

Решение. а) Так как 1 – 1 + 1 3, то тройка чисел (1; –1; 1) не является решением первого уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.

б) Так как 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, то тройка чисел (1; 1; 1) не является решением второго уравнения системы, а значит, не является решением системы уравнений.

Дополнительное задание

1. При каком значении a пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений

Решение. Пусть a - некоторое число, для которого пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений, тогда верны два числовых равенства:

1) 2a 2 + a = 21 и 2) 10 + a = a 2 + 4,

которые можно рассматривать как уравнения относительно a . Уравнение 2) имеет два корня: a 1 = 3 или a 2 = –2. Число a 1 является корнем уравнения 1), а число a 2 = –2 - нет, следовательно, при a = 3 пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений. И других значений а , удовлетворяющих условию задачи, нет.

9.2. Способ подстановки решения систем рациональных уравнений

В данном пункте на трёх примерах показано, как можно решать способом подстановки рациональных уравнений, в которых имеется хотя бы одно уравнение первой.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 810.

Решения и комментарии

512. Решите систему уравнений:

г)
д)

Решение. г) Выразив x через y из второго уравнения системы и подставив y + 1 вместо x

(1)

Теперь, решив первое уравнение системы (1), найдём два его корня y 1 = –4 и y 2 = 3. Из второго уравнения системы (1) получим соответствующие им значения x : x 1 = –3 и x 2 = 4.

д) Выразив y через x из второго уравнения системы и подставив 3 – 3x вместо y в первое уравнение, перепишем систему в виде:

(2)

Теперь, решив первое уравнение системы (2), найдём два его корня x 1 = и
x 2 = . Из второго уравнения системы (2) получим соответствующие им значения y : y 1 = – и y 2 = 2.

Ответ. г) (–3; –4), (4; 3); д) (; –), (; 2).

Промежуточный контроль. С-21.

9.3. Другие способы решения систем рациональных уравнений

В данном пункте разобраны примеры решения систем рациональных уравнений - способом сложения уравнений, способом введения новых неизвестных, способом выделения полных квадратов, способом разложения на множители. При этом используются равносильные преобразования уравнений. Иногда решению системы помогает знание того, что сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 820.

Решения и комментарии

517. Решите систему уравнений:

в)
д)

Решение. в) Заменим в системе первое уравнение суммой двух уравнений этой системы. Получим систему, равносильную исходной системе:

(1)

Теперь выделим полные квадраты в первом уравнении системы (1):

(2)

Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули, то первое уравнение системы (2) имеет единственное решение (2; –6). Эта пара чисел является решением второго уравнения системы (2), следовательно, она является решением системы (2) и равносильной ей исходной системы.

д) Сделаем замену неизвестных: a = и b = . Перепишем систему в виде:

(3)

Система (3) имеет единственное решение: a 1 = 1, b 1 = . Следовательно, система д) также имеет единственное решение: x 1 = 1, y 1 = 2.

Ответ. в) (2; –6); д) (1; 2).

512. ж) Решите систему уравнений

Решение. Обычно решение такой системы записывают, заменяя данную систему равносильными ей системами:

(4)

Знаки равносильности () поставлены для учителя, но в классе с углублён-ным изучением математики его вполне можно использовать.

Решениями второго уравнения последней из систем (4) являются такие пары чисел (x ; y ), которые являются решениями хотя бы одного из уравнений:

1) x + y = 1 и 2) x + y = –1.

Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:

3)
и 4)

Решив системы 3) и 4) получим все решения исходной системы: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Ответ. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Решите систему уравнений:

а)
в)
ж)

Решение. а) Введя новое неизвестное a = x 2 – 4y
. Оно имеет единственный корень a = 1. Это означает, что данная система равносильна системе

(5)

Сложив уравнения системы (5) и заменив полученным уравнением первое уравнение системы, получим новую систему, равносильную системе (5), а значит, и исходной системе:

(6)

Выделив в первом уравнении системы (6) полные квадраты, перепишем систему (6) в виде:

(7)

Теперь очевидно, что первое уравнение системы (7) имеет единственное решение: x 1 = 3, y 1 = 2. Проверка показывает, что эта пара чисел является решением второго уравнения системы (7), а значит, она является решением системы (7) и равносильной ей исходной системе.

Итак, исходная система имеет единственное решение (3; 2).

в) Введя новое неизвестное a =
, перепишем первое уравнение системы в виде:
. Оно имеет два корня: a 1 = 1 и a 2 = –4. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:

1)
и 2)

Используя подстановку y = 9 – x , решим каждую из систем и получим, что система 1) имеет единственное решение (6; 3), а система 2) имеет единственное решение (14; –5).

Итак, исходная система имеет два решения: (6; 3), (14; –5).

ж) Перепишем систему в виде:

(8)

Если пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы (8), то верны числовые равенства: x 0 (9x 0 + 4y 0) = 1 и y 0 (9x 0 + 4y 0) = –2. Заметим, что обе части этих числовых равенств не нули, поэтому разделив первое равенство на второе почленно, получим новое числовое равенство:
. Откуда следует, что y 0 = –2x 0 . То есть искомые решения системы (8) являются решениями системы

(9)

Решив систему (9), получим два её решения: (1; –2), (–1; 2).

Проверкой убеждаемся, что обе эти пары чисел действительно являются решениями исходной системы.

Ответ. а) (3; 2); в) (6; 3), (14; –5); ж) (1; –2), (–1; 2).

Замечание. Отметим, что мы не доказали в процессе решения задания ж) равносильность системы (9) исходной системе, но из проведённого рассуждения следует, что любое решение исходной системы является решением системы (9) (т. е. система (9) является следствием исходной системы), поэтому необходимо проверить, является ли каждое решение системы (9) решением исходной системы. И эта проверка является обязательной частью решения системы.

На самом деле система (9) равносильна исходной системе, что следует из утверждения, доказанного ниже.

Дополнительные задания

1. Решите систему уравнений

а)
б)

в)
г)

Решение. а) Выделив полные квадраты в первом уравнении, перепишем его в виде:

(x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

Теперь очевидно, что первое уравнение системы имеет единственное решение: x 1 = 3, y 1 = 1. Проверкой убеждаемся, что эта пара является решением второго уравнения, а значит, и решением системы уравнений.

б) Рассуждая аналогично, получим единственное решение системы (–2, 0,5).

в) Разложим левую часть первого уравнения системы на множители:

x 2 – 7xy + 12y 2 = x 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = x (x – 3y ) – 4y (x – 3y ) = (x – 3y )(x – 4y ).

Перепишем данную систему в виде

(2)

Теперь очевидно, что все решения системы (2) есть объединение всех решений двух систем:

1)
и 2)

Система 1) имеет два решения: (3; 1), (–3; –1). Система 2) также имеет два решения: (12; 3), (–12; –3). Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

г) Перепишем исходную систему в виде:

(3)

Очевидно, что первое уравнение системы (3) имеет единственное решение:
(3; –2). Проверка показывает, что оно является оно также и решением второго уравнения системы (3), следовательно, система (3), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; –2).

Ответ. а) (3; 1); б) (–2, 0,5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); г) (3; –2).

2. Докажите утверждение: если f (x , y ) и g (x , y ) - многочлены относительно x и y , a и b - числа, b 0, то равносильны системы 1)
и 2)

Доказательство. 1. Пусть пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы 1), тогда верны числовые равенства: f (x 0 , y 0) = a и g (x 0 , y 0) = b . Так как b 0, то и g (x 0 , y 0) 0, поэтому верно числовое равенство:
. Это означает, что любое решение системы 1) является решением системы 2).

2. Пусть теперь пара чисел (x 0 ; y 0) - решение системы 2), тогда верны числовые равенства: и g (x 0 , y 0) = b . Так как b 0, то и g (x 0 , y 0) 0, поэтому умножив обе части первого числового равенства на равные отличные от нуля числа g (x 0 , y 0) и b , получим новое верное числовое равенство: f (x 0 , y 0) = a . Это означает, что любое решение системы 2) является решением системы 1).

3. Предположим, что система 1) не имеет решения, а система 2) имеет решение. Тогда из п. 2. доказательства, проведённого выше, следует, что система 1) имеет решение. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Значит, если система 1) не имеет решения, то и система 2) не имеет решения.

Аналогично доказывается, что если система 2) не имеет решения, то и система 1) не имеет решения.

Из приведённого выше доказательства следует, что системы 1) и 2) равносильны, что и требовалось доказать.

Приведём пример решения системы 518, ж с помощью этого утверждения.

Решив последнюю систему, получим два её решения: (1; –2), (–1; 2), следова-тельно, исходная система имеет два решения: (1; –2), (–1; 2).

3. Решите систему уравнений:

а)
б) в)

Решение. а) Исходная система равносильна системе

которую перепишем в виде:

(4)

Система (4) имеет единственное решение (1; 2). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (1; 2).

б) Исходную систему перепишем в виде

Эта система равносильна системе:

(5)

Система (5) имеет единственное решение (–1; –5). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (–1; –5).

в) Исходная система равносильна системе

или системе

(6)

Система (6) имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Следовательно, и исходная система имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Ответ. а) (1; 2); б) (–1; –5); в) два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Промежуточный контроль. С-22, С-23, С–24*.

9.4. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений

В данном пункте разобраны решения текстовых задач, приводящие к системам рациональных уравнений. Начать объяснение нового материала можно с более простых задач 513, 514, 519, 520 .

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 820, 952.

Решения и комментарии

513. а) Разложите число 171 на два множителя, сумма которых была бы равна 28.

Решение. Пусть x - первый множитель, y - второй множитель. Составим систему уравнений:

Решив систему, получим два её решения: x 1 = 9, y 1 = 19 и x 2 = 19, y 2 = 9. Порядок множителей здесь не важен, поэтому искомые множители 9 и 19.

Ответ. 9 и 19.

519. а) Если к квадрату первого числа прибавить удвоенное второе число, то получится (–7), а если из первого числа вычесть второе, то получится 11. Найдите эти числа.

Решение. Пусть x - первое число, y - второе число. По условиям задачи составим два уравнения: x 2 + 2y = –7 и x – y = 11. Решив систему этих уравнений, получим два её решения: (–5; –16), (3; –8).x = 6 и y = 4, то есть искомое число 64.

Ответ. 64.

522. б) Двое рабочих, работая вместе, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй - в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы эту работу первый рабочий?

Решение. I способ. Пусть за x и y дней выполнят всю работу первый и второй рабочий соответственно. При совместной работе они выполнят работу за 5 дней. Составим первое уравнение:
.

Если бы первый работал в 2 раза быстрее, а второй ― в 2 раза медленнее, то в день они выполняли бы и всей работы соответственно и всю работу выполнили бы за 4 дня. Составим второе уравнение:

952. Если продать 20 коров, то заготовленного сена хватит на десять дней дольше, если же прикупить 30 коров, то запас сена исчерпается десятью днями раньше. Сколько было коров и на сколько дней заготовлено сена?

Решение. Пусть для x коров заготовлено сена на y дней. Запишем кратко условие задачи:

число коров число дней