Образуются основания. Влияние растворителя. Влияние строения основания

Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

1. Метод замены переменной и подстановки

Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаем два уравнения

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Делим на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

x 2 = arctg 3 + k

4. Решение уравнений, через переход к половинному углу

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Пререносим все влево:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :



Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) k * arcsin С - + k, где



Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Теория Брёнстеда - Лоури даёт возможность количественно оценить силу оснований, то есть их способность отщеплять протон от кислот. Это принято делать при помощи константы основности K b - константы равновесия реакции основания с кислотой сравнения, в качестве которой выбрана вода. Чем выше константа основности, тем выше сила основания и тем больше его способность отщеплять протон. Зачастую константу основности выражают в виде показателя константы основности pK b . К примеру, для аммиака как основания Брёнстеда можно записать:

Для многоосновных оснований используют несколько значений констант диссоциации K b1 , K b2 и т. д. Например, фосфат-ион может протонироваться трижды:

Силу основания можно также охарактеризовать константой кислотности его сопряжённой кислоты K a (BH +), причём произведение константы основности K b на константу K a (BH +) равно ионному произведению воды для водных растворов и константе автопротолиза растворителя в общем случае.

Из последнего уравнения также следует, что сила основания тем выше, чем ниже кислотность сопряжённой ему кислоты. Например, вода является слабой кислотой и при отщеплении протона превращается в сильное основание - гидроксид-ион OH - .

Значения pK b некоторых оснований и pK a их сопряжённых кислот в разбавленных водных растворах

Влияние растворителя

На кислотно-основное равновесие значительное влияние оказывает растворитель. В частности, для водных растворов было найдено, что все основания с константами основности pK b < 0 имеют одинаковые свойства (к примеру, pH растворов). Объясняется это тем, что такие основания в воде практически нацело превращаются в гидроксид-ион OH – , который является единственным основанием в растворе. Так, все основания с pK b < 0 (амид натрия NaNH 2 , гидрид натрия NaH и др.) дают эквивалентное количество гидроксид-ионов в водных растворах, выравниваясь между собой по силе. Данное явление получило название нивелирующего эффекта растворителя . Аналогичным образом, в водных растворах выравниваются по силе и очень слабые основания с pK b > 14.

Основания с pK b от 0 до 14 в воде частично протонированы и находятся в равновесии с сопряжённой кислотой, а их свойства в растворе зависят от значения pK b . В этом случае говорят о дифференцирующем эффекте растворителя . Интервал pK b , в котором основания дифференцированы по силе, равен показателю константы автопротолиза растворителя. Для разных растворителей этот интервал различен (14 для воды, 19 для этанола, 33 для аммиака и т. д.), следовательно, и набор дифференцированных и нивелированных оснований для них разный.

В растворителях, обладающих выраженными кислотными свойствами, все основания становятся более сильными и большее число оснований нивелируется по силе. Например, уксусная кислота уравнивает большая часть известных оснований по силе, со своим сопряжённым основанием - ацетат-ионом CH 3 COO – . Напротив, основные растворители (аммиак) служат дифференцирующими растворителями для оснований.

Влияние строения основания

Существует несколько факторов, которые определяют относительную силу органических и неорганических оснований и которые связаны с их строением. Часто несколько факторов действуют одновременно, поэтому трудно предсказать их суммарное влияние. Среди наиболее значимых можно выделить следующие факторы.

• Индуктивный эффект (эффект поля). При повышении доступности электронной пары основания его сила возрастает. По этой причине введение электронодонорных заместителей в основание способствует проявлению им основных свойств. Например, введение алкильных заместителей в молекулу аммиака приводит к более сильным основаниям, чем сам аммиак. Напротив, введение акцепторных заместителей в молекулу понижает силу основания.

• Мезомерный эффект (резонансный эффект). Электронодонорные и электроноакцепторные заместители оказывают положительное и отрицательное влияние на силу основания следовательно также через систему сопряжения. В таком случае говорят о мезомерном эффекте. Этот эффект приводит к тем же последствиям, что и индуктивный: различается лишь механизм их действия. Так, пара -нитроанилин является более слабым основанием, чем анилин (pK b равны 12,89 и 9,40 соответственно) из-за акцепторного влияния нитрогруппы, которая снижает доступность электронной пары азота аминогруппы.

Эффект сопряжения проявляется также в том случае, если электронная пара основания находится в системе сопряжения, к примеру, с ароматической системой или двойной связью. В таком случае основания имеют более низкую силу. Например, амиды и анилины являются гораздо более слабыми основаниями, чем амины.

• Корреляция с расположением атомов в периодической системе . Чем выше электроотрицательность основного элемента, тем ниже основная сила основания. Так, сила основания понижается при движении по периоду периодической системы слева направо. Также основность понижается при переходе по группе сверху вниз, что связано с увеличением радиуса основного атома и, следовательно, меньшей плотностью отрицательного заряда на нём, что в итоге снижает силу связывания положительно заряженного протона.

• Гибридизация . Сила органических оснований понижается, если основный атом связан с другим атомом кратными связями. Так, при переходе от аминов к иминам и нитрилам основность уменьшается. Это объясняется тем, что электронная пара в этих соединениях располагается на sp 3 -, sp 2 - и sp -гибридных орбиталях атома азота соответственно, то есть в данном ряду электронная пара приближается по характеру к s -электронам, приближаясь к атомному ядру и становясь менее доступной.

Взаимодействие молекул или ионов растворенного вещества с растворителем называется процессом сольватации. Стабильность аниона существенно зависит от его сольватации в растворе: чем больше ион сольватирован, тем он устойчивее, а сольватация тем больше, чем меньше размер иона и чем меньше делокализация в нем отрицательного заряда.

Основные свойства органических соединений. π-основания и n -основания.

Основность органических соединений.

Органические соединения, в состав молекулы которых входят атомы азота, кислорода, серы, могут выступать в роли оснований, присоединяя протон водорода за счет неподеленной пары электронов на внешнем энергетическом уровне. Гетероатом в молекуле органического вещества, присоединяющий протон, называется центром основности.

Основания по Бренстеду делятся на n– основания и π – основания.

n – Основания могут быть нейтральными или отрицательно заряженными частицами. К ним относятся:аммониевые (R 3 N,R=NH,RCN), оксониевые (RC(O)R 1 ,R-O-R 1), сульфониевые (R-S-R 1 ,RC(S)R 1)

. π -основания (алкины, алкены, диены, арены) в них центром основности являются электроны π-связи. Это очень слабые основания, так как протонируемые электронные пары несвободны.

Сила основания определяется стабильностью образующегося катиона (сопряженной кислоты). Чем стабильнее катион, тем сильнее основание.

Для количественной характеристики основности обычно используют величину pK BH + - показатель константы основности сопряженной кислоты. Чем большеpK BH +, тем сильнее основание.

Факторы, влияющие на основность

Природа гетероатома в основном центре

Н 3 С -NH 2 > Н 3 С -OHН 3 С -OH> Н 3 С –SH

Сила оснований зависит от электроотрицательности гетероатома в основном центре. Чем больше ЭО атома, тем слабее основные свойства, поэтому спирты и простые эфиры являются более слабыми основаниями по сравнению с аминами.

Строение радикала, связанного с основным центром.

анилин Н 3 С → СН 2 →NH 2 этиламин

Алифатические амины проявляют более выраженные основные свойства, чем ароматические, так как электронная плотность от углеводородного радикала смещается к NH 2 , а чем больше электронной плотности на основном центре, тем лучше присоединяется Н + . в ароматических аминахNH 2 входит в общее сопряжение с бензольным кольцом и отдает электронную плотность на кольцо, поэтому Н + присоединяется труднее, основные свойства слабее.

Влияние заместителей . Электронодонорые заместители усиливают основные свойства, а электроноакцепторные – уменьшают, например:

4-хлоранилинанилин4-нитроанилин

РК ВН + 5,1 4,6 1,0

уменьшение основности

Влияние растворителя

В водной среде важную роль играет уменьшение пространственных препятствий для гидратации, поэтому вторичные амины лучше гидратируются, чем третичные, которые пространственно труднодоступны.

Нерастворимое основание: гидроксид меди

Основания - называют электролиты, в растворах которых отсутствуют анионы, кроме гидроксид-ионов (анионы - это ионы, которые имеют отрицательный заряд, в данном случае - это ионы OH -). Названия оснований состоят из трёх частей: слова гидроксид , к которому добавляют название металла (в родительном падеже). Например, гидроксид меди (Cu(OH) 2). Для некоторых оснований могут используются старые названия, например гидроксид натрия (NaOH) - натриевая щелочь .

Едкий натр , гидроксид натрия , натриевая щелочь , каустическая сода - всё это одно и тоже вещество, химическая формула которого NaOH. Безводный гидроксид натрия - это белое кристаллическое вещество. Раствор - прозрачная жидкость, на вид ничем не отличимая от воды. При использовании будьте осторожны! Едкий натр сильно обжигает кожу!

В основу классификации оснований положена их способность растворяться в воде. От растворимости в воде зависят некоторые свойства оснований. Так, основания , растворимые в воде, называют щелочью . К ним относятся гидроксиды натрия (NaOH), гидроксид калия (KOH), лития (LiOH), иногда к их числу прибавляют и гидроксид кальция (Ca(OH) 2)), хотя на самом деле - это малорастворимое вещество белого цвета (гашенная известь).

Получение оснований

Получение оснований и щелочей может производиться различными способами. Для получения щелочи можно использовать химическое взаимодействие металла с водой. Такие реакции протекают с очень большим выделением тепла, вплоть до воспламенения (воспламенение происходит по причине выделения водорода в процессе реакции).

2Na + 2H 2 O → 2NaOH + H 2

Негашенная известь - CaO

CaO + H 2 O → Ca(OH) 2

Но в промышленности эти методы не нашли практического значения, конечно кроме получения гидроксида кальция Ca(OH) 2 . Получение гидроксида натрия и гидроксида калия связано с использованием электрического тока. При электролизе водного раствора хлорида натрия или калия на катоде выделяются водород, а на аноде - хлор , при этом в растворе, где происходит электролиз, накапливается щелочь !

KCl + 2H 2 O →2KOH + H 2 + Cl 2 (эта реакция проходит при пропускании электрического тока через раствор).

Нерастворимые основания осаждают щелочами из растворов соответствующих солей.

CuSO 4 + 2NaOH → Cu(OH) 2 + Na 2 SO 4

Свойства оснований

Щелочи устойчивы к нагреванию. Гидроксид натрия можно расплавить и расплав довести до кипения, при этом он разлагаться не будет. Щелочи легко вступают в реакцию с кислотами, в результате которого образуется соль и вода. Эта реакция ещё носит название - реакция нейтрализации

KOH + HCl → KCl + H 2 O

Щёлочи взаимодействуют с кислотными оксидами, в результате которой образуется соль и вода.

2NaOH + CO 2 → Na 2 CO 3 + H 2 O

Нерастворимые основания , в отличии от щелочей, термически не стойкие вещества. Некоторые из них, например, гидроксид меди , разлагаются при нагревании,

Cu(OH) 2 + CuO → H 2 O
другие - даже при комнатной температуре (например, гидроксид серебра - AgOH).

Нерастворимые основания взаимодействуют с кислотами, реакция происходит лишь в том случае, если соль, которая образуется при реакции, растворяется в воде.

Cu(OH) 2 + 2HCl → CuCl 2 + 2H 2 O

Растворение щелочного металла в воде с изменение цвета индикатора на ярко-красный

Щелочные металлы - такие металлы, которые при взаимодействии с водой образуют щелочь . К типичному представителю щелочных металлов относится натрий Na. Натрий легче воды, поэтому его химическая реакция с водой происходит на её поверхности. Активно растворяясь в воде, натрий вытесняет из неё водород, при этом образуя натриевую щелочь (или гидроксид натрия) - едкий натр NaOH. Реакция протекает следующим образом:

2Na + 2H 2 O → 2NaOH + H 2

Подобным образом ведут себя все щелочные металлы. Если перед началом реакцией в воду добавить индикатор фенолфталеин, а затем опустить в воду кусочек натрия, то натрий будет скользить по воде, оставляя за собой ярко розовый след образовавшейся щелочи (щелочь окрашивает фенолфталеин в розовый цвет)

Гидроксид железа

Гидроксид железа является основанием. Железо, в зависимости от степени его окисления, образует два разных основания: гидроксид железа, где железо может иметь валентности (II) - Fe(OH) 2 и (III) - Fe(OH) 3 . Как и основания, образованные большинством металлов, оба основания железа не растворимы в воде.

Гидроксид железа (II) - белое студенистое вещество (осадок в растворе), которое обладает сильными восстановительными свойствами. К тому же, гидроксид железа (II) очень не стойкий. Если к раствору гидроксида железа (II) добавить немного щёлочи, то выпадет зелёный осадок, который достаточно быстро темнеет о превращается в бурый осадок железа (III).

Гидроксид железа (III) имеет амфотерные свойства, но кислотные свойства у него выражены значительно слабее. Получить гидроксид железа (III) можно в результате химической реакции обмена между солью железа и щёлочью. Например

Fe 2 (SO 4) 3 + 6 NaOH → 3 Na 2 SO 4 +2 Fe(OH) 3