Главная » Современный дизайн частного дома » Решение квадратных логарифмических неравенств. Сложные логарифмические неравенства. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Решение квадратных логарифмических неравенств. Сложные логарифмические неравенства. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Начальный уровень

Пирамида. Визуальный гид (2019)

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании ») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина »).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани , боковые рёбра и рёбра основания . Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это - пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида .

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

При этом точка, куда oпустилась высота , называется основанием высоты . Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании - правильный » - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр - точка, являющаяся центром и , и .

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида .

Шестиугольная : в основании - правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.

Четырёхугольная : в основании - квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная : в основании - правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

все боковые рёбра равны.
все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у цилиндра - нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.

Это площадь правильного треугольника.

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

У нас « » - это, а « » - это тоже, а.

Теперь найдем.

По теореме Пифагора для

Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.

Так как - точка пересечения и медиан тоже.

(теорема Пифагора для)

Подставим в формулу для.

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.

Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.

Найдем. По теореме Пифагора для

Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:

(это мы увидели, рассмотрев).

Подставляем в формулу для:

А теперь и и подставляем в формулу объема.

Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.

Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем (это).

По теореме Пифагора для

Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.

Подставляем:

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра ).

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
Все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

С ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2$
$\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}$

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду $\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}$ (символ $˅$ означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду $f(x) ˅ g(x)$.

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
$-$ если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
$-$ если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

$\log_2⁡{(8-x)}<1$
ОДЗ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Решение:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2 \(x>6$
Ответ: $(6;8)$

$\log$$_{0,5⁡}$ $(2x-4)$≥$\log$$_{0,5}$ ⁡${(x+1)}$
ОДЗ: $\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}$
$\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Решение:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Ответ: $(2;5]$

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида $\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}$ к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: $\log$$≤-1$

Решение:

$\log$$_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}$ $≤-1$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $\frac{3x-2}{2x-3}$ $>0$
$⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}$ $≥$ $0$	Раскрываем скобки, приводим .
$⁡\frac{-3x+7}{2x-3}$ $≥$ $0$	Умножаем неравенство на $-1$, не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
$⁡\frac{3x-7}{2x-3}$ $≤$ $0$
$⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}$ $≤$ $0$	Построим числовую ось и отметим на ней точки $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$ . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
$x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

Ответ: $x∈($$\frac{3}{2}$ $;$$\frac{7}{3}]$

Пример . Решить неравенство: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Решение:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: $x>0$	Приступим к решению.
Решение: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Раскладываем левую часть неравенства на .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac{1+3}{2}=2$ $t_2=\frac{1-3}{2}=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
$\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Преобразовываем $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac{1}{3}$.
$\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше $1$, поэтому знак неравенств не меняется.
$\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.

Ответ: $(0; \frac{1}{3})∪(9;∞)$

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Решим неравенства:

1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$

$D(y): \ x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:

$x+3 \geq 2^{3},$

$x \in }

Напечатать

или

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)
\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Раскрываем скобки, приводим .
\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)	Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)	Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
\(x∈(\)\(\frac{3}{2}\) \(;\)\(\frac{7}{3}]\)	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступим к решению.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем .
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Раскладываем левую часть неравенства на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).
\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.