Сложение и вычитание одночленов. Сложение и вычитание одночленов: правило и примеры

Цели урока:

образовательные: формировать у учащихся умение решать типовые математические задачи на сложение и вычитание одночленов; применять теорию (знание правил действий со степенями, определения одночлена, приведение одночленов к стандартному виду) в конкретных ситуациях.

развивающие: развитие мыслительной деятельности учащихся; развитие устной и письменной речи; формирование навыков владения математическими терминами.

воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, доска, карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня на уроке мы продолжим работу с одночленами и рассмотрим некоторые арифметические действия с ними. Но сначала повторим основные понятия.

1. Устный опрос учащихся.

• Что называется одночленом? Приведите пример.
• Как привести одночлен к стандартному виду?
• Что называется коэффициентом одночлена?
• Какие одночлены называются подобными?

Теперь проверим как вы применяете свои знания на практике.

2. Учащиеся 2-го варианта выполняют тестовые задания на местах(им раздаются листки с заданиями). Приложение 1 . Затем на проекторе высвечиваются правильные ответы к тесту, учащиеся проверяют, оценивают и сдают работы учителю.

3. Учащиеся 1-го варианта выполняют задания на компьютере. (Презентация . Слайд3)

3. Объяснение нового материала.

Когда математики вводят новое понятие, то перед ними встает вопрос, как с ним работать. Сегодня нам предстоит подумать над тем, как работать с одночленами, как выполнять с ними такие действия как сложение и вычитание. При этом мы будем работать с одночленами, записанными только в стандартном виде. Итак, запишем тему урока: “Сложение и вычитание одночленов”. Рассмотрим сумму одночленов: 5a 2 b + 23a 2 b заметим, что оба одночлена стандартного вида, и они подобны. Заменим буквенную часть a 2 b через c. Тогда имеем: 5с + 23с = 28с. Но с = a 2 b, то получим 28a 2 b. Нам удалось сложить подобные одночлены. Оказалось, что для этого достаточно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. Запишем следующий пример: 7abc 3 + 11abc 3 =…(одночлены стандартного вида и подобны, значит, можно выполнять действия). Аналогично вычитаем одночлены: 4x 2 y 3 – 8,8x 2 y 3 = -…(-4,8x 2 y 3). А как сложить такие одночлены:

a) 7m 5 n + mm 4 8n =?

Ученик: Сначала нужно привести к стандартному виду, убедиться, что они подобны. (Выполняет у доски) = 7m 5 n+8m 5 n=15m 5 n.

b) 3,5c 3 cd 2 d 3 – 6,7c 2 c 2 d 2 d 2 = ученики работают самостоятельно, получают 3,5c 4 d 5 - 6,7c 4 d 4. . Получили одночлены, которые не являются подобными, поэтому складывать и вычитать их нельзя. Разумеется, между неподобными одночленами можно поставить знак “+” или “ - ”, например, 8ab + 9x или 12,5c – 45d, но дальше нам продвинуться не удастся. Итак, в процессе обсуждения мы установили определенный порядок действий сложения (вычитания) одночленов или, как говорят, алгоритм. (Презентация. Слайд 7).

4. Закрепление. Выполните следующие задания: 1) 2a 2 b-7a0,5ba+3b2a 2 ученик у доски 2) 3x 3 y-4x 2 y+2,7x 3 y ученик у доски Работаем по задачникам: выполняем № 282, № 297 (а, б). № 282 - а, б - ученик у доски с комментированием; в, г – учащиеся выполняют самостоятельно с последующей проверкой. № 297 (а, б) – у доски работает ученик без комментария, остальные учащиеся в тетрадях. Ребята, а теперь немного поиграем. Разделимся на 2 команды. Победит та команда, которая быстрее вместо ** впишет такой одночлен, чтобы получилось верное равенство. (Задания написаны на доске)

Команда 1 варианта

**+ 6xy 3 = -12xy 3

12a 3 b 2 + **= - 24a 3 b 2

3m 2 n 2 – 2m 2 3n 2 + **= 6m 2 n 2

Команда 2 варианта

8a 2 b + ** = 17a 2 b

** +(-13x 3 y 2)= - 26x 3 y 2

2m 2 n +** - 4m 2 3n = - 10 m 2 n

5. Теперь продолжим работу.

Учащиеся 1 варианта будут выполнять работу на местах. Вы выполняете тест и записываете ответы. Приложение 2 . Учащиеся самостоятельно проверяют свою работу, перевернув листок с заданиями(на обратной стороне ответы к тесту). Учащиеся 2 варианта выполняют работу на компьютере. (Презентация. Слайд 8).

6. Итог урока.

• Какие арифметические действия мы выполняли с одночленами сегодня на уроке?
• В каком виде должны быть записаны одночлены?
• Какие одночлены можно складывать и вычитать? Приведите примеры.
• Как сложить (вычесть) подобные одночлены?
• Упростите выражение: 3x 2 y+2,8yx 2 ; 8,1aa 3 -10,9a 4 ; 24c 2 d – 17cd 2 .
• Какие знания помогали на уроке?
• Кого из учащихся хотелось бы особо отметить и почему?
• Как оцениваете свою работу на уроке?

7. Домашнее задание.

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий - уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения - многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Определение 1

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

• записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
• если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
• раскрыть скобки;
• привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Заданы одночлены 8 · x и − 3 · x . Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

1. Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8 · x) + (− 3 · x) . Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8 · x − 3 · x , а затем приведем подобные слагаемые: 8 · x − 3 · x = (8 − 3) · x = 5 · x .

Кратко решение запишем так: (8 · x) + (− 3 · x) = 8 · x − 3 · x = 5 · x .

1. Аналогично произведем действие вычитания: (8 · x) − (− 3 · x) = 8 · x + 3 · x = 11 · x .

Ответ: (8 · x) + (− 3 · x) = 5 · x и (8 · x) − (− 3 · x) = 11 · x .

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Пример 2

Необходимо найти разность между одночленом - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 и одночленом x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y .

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y . Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z . Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z , оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 1 4 · x 2 · y 6 · z .

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = = 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Ответ: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Пример 3

Заданы одночлены − 9 · x · z 3 и − 13 · x · y · z . Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) . Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

Ответ: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Пример 4

Необходимо решить пример: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 .

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2

Ответ: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2 .

Пример 5

Заданы одночлены: 5 , − 3 · a , 15 · a , − 0 , 5 · x · z 4 , − 12 · a , − 2 и 0 , 5 · x · z 4 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) . В результате раскрытия скобок получим: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4 . Сгруппируем подобные слагаемые: (5 − 2) + (− 3 · a + 15 · a − 12 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4 + 0 , 5 · x · z 4) и приведем их: 3 + 0 + 0 = 3

Ответ: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) = 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы вспомним, что такое одночлен, стандартный вид одночлена, дадим определение подобным одночленам. Научимся отличать подобные одночлены от неподобных. Сформулируем правила сложения и вычитания подобных одночленов. Научимся решать типовые задачи с использованием сложения и вычитания.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Сложение и вычитание одночленов

Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен - это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:

Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:

Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Выясним, можно ли складывать наши два одночлена - нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены и являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -

Еще один пример. Запишем одночлен и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент и получим два подобных одночлена: и

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например, . Имеем два подобных одночлена: и .

Сделаем вывод : подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Теперь приведем примеры не подобных одночленов:

И ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная а в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными

Еще один пример: одночлены и также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной а.

Рассмотрим третью пару одночленов: и также не являются подобными.

Теперь разберем сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена:

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернемся к исходным переменным - заменим в ответе переменную t на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов :

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

2)

Комментарий к примеру №1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть

Комментарий к примеру №2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений - .

Перейдем к правилу вычитания одночленов . Рассмотри примеры:

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, при чем вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

Сделаем вывод : складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение:

Упростить выражение:

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведем к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трех одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Существует обратная задача . Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом - . Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму.

Слайд 2

Урок – путешествиепо вершинам знаний