Центростремительная скорость. Центростремительное ускорение (нормальное ускорение)

Объект, который движется по круговой орбите радиуса r с равномерной касательной скоростью u - это вектор скорости v , величина которого постоянна, но направление которого постоянно меняется. Отсюда следует, что объект должен иметь ускорение, так как (вектор) - это степень изменения (вектор) скорости, и (вектор) скорость действительно различны по времени.

Предположим, что объект движется от точки P к точке Q между временем t и, t + δ t как показано на рисунке выше. Предположим, далее, что объект поворачивается на δθ радианов в этот промежуток времени. Вектор , как показано на схеме, идентичен вектору . Кроме того, угол, между векторами и это δθ . Вектор представляет собой изменение в вектор скорости, δ v , между временем t и t + δ t . Отсюда понятно, что этот вектор направлен к центру круга. Из стандартной тригонометрии, длина вектора :

Тем не менее, при малых углах sin θ ≃ θ , при условии, что θ измеряется в радианах. Следовательно,

δv ≃ v δθ.

где - это угловая скорость объекта в радианах в секунду. Таким образом, объект, движущийся по круговой орбите, радиусом r , при равномерной тангенциальной скорости v , и равномерной угловой скорости , имеет ускорение, направленное к центру круга - то есть, центростремительное ускорение - величиной:

Предположим, что тело, массой m , прикреплен к концу кабеля, длиной r , и вращается таким образом, что тело описывает горизонтальный круг, радиуса r , с равномерной тангенциальной скоростью v . Как мы только что узнали, тело обладает центростремительным ускорением величины . Следовательно, тело испытывает центростремительную силу

Что дает эту силу? Хорошо, на данном примере, сила обеспечивается натяжением кабеля. Следовательно, .

Предположим, что кабель таков, что он рвется, когда напряжение в нем превышает некоторое критическое значение . Отсюда следует, что существует максимальная скорость, с которой тело может двигаться, а именно:

Если v превышает v max , то кабель будет рваться. Как только кабель порвется, тело перестанет испытывать центростремительную силу, так что оно будет двигаться со скоростью v max по прямой линии, которая является касательной к круговой орбите, ранее существовавшей.

Центростремительное ускорение - компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение ». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой .

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}\ } a n = ω 2 R , {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R\ ,}

  где a n {\displaystyle a_{n}\ } - нормальное (центростремительное) ускорение, v {\displaystyle v\ } - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ω {\displaystyle \omega \ } - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, R {\displaystyle R\ } - радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая v = ω R {\displaystyle v=\omega R\ } ).

  Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на e R {\displaystyle \mathbf {e} _{R}} - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R {\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{R}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} } a n = ω 2 R . {\displaystyle \mathbf {a} _{n}=\omega ^{2}\mathbf {R} .}

  Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение ) a τ = d v / d t {\displaystyle a_{\tau }=dv/dt\ } , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью) .

  Мотивация и вывод

  То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

  Формальный вывод

  Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ } .

  v 2 R e n {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

  Нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что e n {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } - действительно вектор нормали) - будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, - достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для d e τ d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

  Замечания

  Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой (поскольку в случае, когда кривая - окружность, R совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости e τ , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau },e_{n}\ } с центром в направлении e n {\displaystyle e_{n}\ } от данной точки на расстоянии R от неё - будет совпадать с данной кривой - траекторией - с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

  История

  Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс . Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач и т.д.

  Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

  К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

  Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение . Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение .

  • Роль перемещения во вращательном движении играет угол ;
  • Величина угла поворота за единицу времени - это угловая скорость ;
  • Изменение угловой скорости за единицу времени - это угловое ускорение .

  Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.

  Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м

  Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения - T .

  Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:

  V = C/T = 2πR/T

  Период вращения:

  T = 2πR/V

  Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
  V = 6,28/1 = 6,28 м/с

  2. Центробежное ускорение

  В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением .

  Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение = 0 . Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости - a ц .

  Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a ц = V 2 /R

  Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

  3. Центробежная сила

  Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.

  При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:

  F ц = ma ц = mV 2 /R

  Если наш шарик весит 1 кг , то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:

  F ц = 1·6,28 2 /1 = 39,4 Н

  С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

  Сила трения должна уравновесить центробежную силу:

  F ц = mV 2 /R; F тр = μmg

  F ц = F тр; mV 2 /R = μmg

  V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч

  Ответ : 58,5 км/ч

  Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

  Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты "легче" проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

  
  

  F ц = mV 2 /R или F ц = F н sinα

  В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F g = mg , которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F н cosα :

  F н cosα = mg , отсюда: F н = mg/cosα

  Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:

  F ц = F н sinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα

  Т.о., угол наклона дорожного полотна:

  α = arctg(F ц /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

  Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

  Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль "не вылетел" (трением пренебречь)?

  α = arctg(V 2 /gR) = arctg(30 2 /9,8·100) = 0,91 = 42° Ответ : 42° . Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

  4. Градусы и радианы

  Многие путаются в понимании угловых величин.

  При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан .

  • 2π радиан = 360° - полная окружность
  • π радиан = 180° - половина окружности
  • π/2 радиан = 90° - четверть окружности

  Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π . Например:

  • 45° = (45°/360°)·2π = π/4 радиан
  • 30° = (30°/360°)·2π = π/6 радиан

  Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.

  Два луча, исходящие из нее, формируют угол. Его значение может быть определено как в радианах, так и в градусах. Теперь на некотором расстоянии от точки-центра мысленно проведем окружность. Мера угла, выраженная в радианах, в таком случае представляет собой математическое отношение длины дуги L, отделенной двумя лучами, к значению расстояния между центральной точкой и линией окружности (R), то есть:

  Если теперь представить описанную систему материальной, то к ней можно применить не только понятие угла и радиуса, но также центростремительное ускорение, вращение и т.д. Большинство из них описывают поведение точки, находящейся на вращающейся окружности. Кстати, сплошной диск также может быть представлен набором окружностей, различие которых лишь в расстоянии от центра.

  Одна из характеристик подобной вращающейся системы - это период обращения. Он указывает на значение времени, за которое точка на произвольной окружности возвратится к начальному положению или, что также верно, обернется на 360 градусов. При неизменной скорости вращения выполняется соответствие T = (2*3.1416) / Ug (здесь и далее Ug - угол).

  Частота вращения указывает на количество полных оборотов, выполняемых за 1 секунду. При неизменной скорости получаем v = 1 / T.

  Зависит от времени и так называемого угла поворота. То есть, если взять за начало отсчета произвольную точку А на окружности, то при вращении системы эта точка сместится до А1 за время t, образовав угол между радиусами А-центр и А1-центр. Зная время и угол, можно вычислить угловую скорость.

  А раз есть окружность, движение и скорость, значит, присутствует и центростремительное ускорение. Оно представляет собой одну из составляющих, описывающих перемещение в случае криволинейного движения. Термины «нормальное» и «центростремительное ускорение» идентичны. Отличие в том, что второй применяют для описания перемещения по кругу, когда вектор ускорения направлен к центру системы. Поэтому всегда необходимо знать, как именно двигается тело (точка) и его центростремительное ускорение. Определение его следующее: оно является быстротой изменения скорости, вектор которого направлен перпендикулярно направлению вектору и изменяет направленность последнего. В энциклопедии указано, что изучением данного вопроса занимался Гюйгенс. Формула центростремительного ускорения, предложенная им, выглядит как:

  Acs = (v*v) / r,

  где r - радиус кривизны пройденного пути; v - скорость перемещения.

  Формула, по которой рассчитывают центростремительное ускорение, до сих пор вызывает жаркие споры среди энтузиастов. К примеру, недавно была озвучена любопытная теория.

  Гюйгенс, рассматривая систему, исходил из того, что тело перемещается по кругу радиуса R со скоростью v, замеренной в начальной точке А. Так как вектор инерции направлен по то получается траектория в виде прямой АБ. Однако центростремительная сила удерживает тело на кругу в точке С. Если обозначить центр за О и провести линии АБ, БО (сумма БС и СО), а также АО, то получается треугольник. В соответствии с законом Пифагора:

  БС=(a*(t*t)) / 2, где а - ускорение; t - время (a*t*t - это и есть скорость).

  Если теперь использовать формулу Пифагора, то:

  R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, где R - радиус, а буквено-цифровое написание без знака умножения - степень.

  Гюйгенс допустил, что, так как время t мало, то его можно в расчетах не учитывать. Преобразовав предыдущую формулу, она пришел к известной Acs = (v*v) / r.

  Однако так как время взято в квадрате, то возникает прогрессия: чем больше t, тем выше погрешность. Например, для 0.9 оказывается неучтенными почти итогового значения 20%.

  Понятие центростремительного ускорения важно для современной науки, но, очевидно, что в этом вопросе еще рано ставить точку.

  Напечатать