Что такое действительные корни квадратного уравнения. Связь между корнями и коэффициентами. Что такое квадратное уравнение? Их виды

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение .

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

$$ x_1 = \frac{8+\sqrt{145}}{81}, \quad x_2 = \frac{8-\sqrt{145}}{81} $$ а не в такой: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05 \)

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 \)
имеет вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями .

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём \(a \neq 0 \).

Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \(a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением . Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \(c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\(x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} \)

Так как \(c \neq 0 \), то \(-\frac{c}{a} \neq 0 \)

Если \(-\frac{c}{a}>0 \), то уравнение имеет два корня.

Если \(-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \Rightarrow \) \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \Rightarrow \) \(x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} + \frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \Rightarrow \) \(x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни - различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\(D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} \), где \(D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \(x=-\frac{b}{2a} \).
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\(\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. \)

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Формулы корней квадратного уравнения. Рассмотрены случаи действительных, кратных и комплексных корней. Разложение на множители квадратного трехчлена. Геометрическая интерпретация. Примеры определения корней и разложения на множители.

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Некоторые задачи в математике требуют умения вычислять значение корня квадратного. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В данной статье приведем эффективный метод вычисления квадратных корней и используем его при работе с формулами корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные говорят, что он начал использоваться впервые приблизительно в первой половине XVI века в Германии (первый немецкий труд по алгебре Кристофа Рудольфа). Ученые полагают, что указанный символ является трансформированной латинской буквой r (radix означает "корень" на латыни).

Корень из какого-либо числа равен такому значению, квадрат которого соответствует подкоренному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y 2 = x.

Корень из положительного числа (x > 0) является также числом положительным (y > 0), однако если берут корень из отрицательного числа (x < 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Приведем два простых примера:

√9 = 3, поскольку 3 2 = 9; √(-9) = 3i, поскольку i 2 = -1.

Итерационная формула Герона для нахождения значений корней квадратных

Приведенные выше примеры являются очень простыми, и вычисление корней в них не представляет никакого труда. Сложности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое не может быть представлено в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что на практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √(12,15), √(8,5) и так далее.

Во всех вышеназванных случаях следует применять специальный метод вычисления корня квадратного. В настоящее время таких методов известно несколько: например разложение в ряд Тейлора, деление столбиком и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, наиболее простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, которая также известна как вавилонский способ определения квадратных корней (существуют свидетельства, что древние вавилоняне применяли ее в своих практических вычислениях).

Пусть необходимо определить значение √x. Формула нахождения квадратного корня имеет следующий вид:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), где lim n->∞ (a n) => x.

Расшифруем эту математическую запись. Для вычисления √x следует взять некоторое число a 0 (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбирать его таким, чтобы (a 0) 2 было максимально близко к x. Затем подставить его в указанную формулу вычисления квадратного корня и получить новое число a 1 , которое уже будет ближе к искомому значению. После этого необходимо уже a 1 подставить в выражение и получить a 2 . Эту процедуру следует повторять до получения необходимой точности.

Пример применения итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения корня квадратного из некоторого заданного числа для многих может звучать достаточно сложно и запутанно, на деле же оказывается все гораздо проще, поскольку эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано удачное число a 0).

Приведем простой пример: необходимо вычислить √11. Выберем a 0 = 3, так как 3 2 = 9, что ближе к 11, чем 4 2 = 16. Подставляя в формулу, получим:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Дальше нет смысла продолжать вычисления, поскольку мы получили, что a 2 и a 3 начинают отличаться лишь в 5-м знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить всего 2 раза формулу, чтобы вычислить √11 с точностью до 0,0001.

В настоящее время широко используются калькуляторы и компьютеры для вычисления корней, тем не менее отмеченную формулу полезно запомнить, чтобы иметь возможность вручную вычислять их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое корень квадратный, и умение его вычислять используется при решении квадратных уравнений. Этими уравнениями называют равенства с одной неизвестной, общий вид которых приведен на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют собой некоторые числа, причем a не должно равняться нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, в том числе и равными нулю.

Любые значения икса, удовлетворяющие указанному на рисунке равенству, называются его корнями (следует не путать это понятие с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x 2), то корней для него не может быть больше, чем два числа. Рассмотрим далее в статье, как находить эти корни.

Нахождения корней квадратного уравнения (формула)

Этот способ решения рассматриваемого типа равенств также называется универсальным, или методом через дискриминант. Его можно применять для любых квадратных уравнений. Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

Из нее видно, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x 1 отличается от расчета x 2 только знаком перед корнем квадратным. Подкоренное выражение, которое равно b 2 - 4ac, является не чем иным, как дискриминантом рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку он определяет число и тип решений. Так, если он равен нулю, то решение будет всего одно, если он положительный, то уравнение обладает двумя действительными корнями, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x 1 и x 2 .

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце XVI века один из основоположников современной алгебры француз изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства его корней. Математически их можно записать так:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

Оба равенства легко может получить каждый, для этого необходимо лишь выполнить соответствующие математические операции с корнями, полученными через формулу с дискриминантом.

Совокупность этих двух выражений можно по праву назвать второй формулой корней квадратного уравнения, которая предоставляет возможность угадывать его решения, не используя при этом дискриминант. Здесь следует оговориться, что хотя оба выражения справедливы всегда, применять их для решения уравнения удобно только в том случае, если оно может быть разложено на множители.

Задача на закрепление полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, обсуждаемые в статье. Условия задачи следующие: необходимо найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма составляет 4.

Это условие сразу напоминает о теореме Виета, применяя формулы суммы квадратных корней и их произведения, записываем:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Если предположить, что a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Воспользуемся формулой с дискриминантом, получим следующие корни:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Заметим, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, получим: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a 0 = 4, тогда:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

В вычислении a 3 нет необходимости, поскольку найденные значения отличаются всего на 0,02. Таким образом, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x 1,2 , получим:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Как видим, сумма найденных чисел действительно равна 4, если же найти их произведение, то оно будет равно -12,999, что удовлетворяет условию задачи с точностью до 0,001.