Доказать теорему 3 признак равенства треугольников. Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников. Евклид употребляет выражения

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол A равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 . Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол A совместился с углом A 1 . Так как АВ=А 1 В 1 , а АС=А 1 С 1 , то B совпадёт с В 1 , а C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А 1 В 1 С 1 - два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы AB совпало с A 1 B 1. Так как ∠ВАС =∠В 1 А 1 С 1 и ∠АВС=∠А 1 В 1 С 1 , то луч АС совпадёт с А 1 С 1 , а ВС совпадёт с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство :

Рассмотрим треугольники ABC и A l B l C 1, у которых АВ=А 1 В 1 , BC = B l C 1 СА=С 1 А 1. Докажем, что ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1 .

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , вершина В — с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 , оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 . Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С 1 С про-ходит внутри угла А 1 С 1 В 1 . Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и В 1 С 1 С — равнобедренные . По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедренный , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Луч C 1 C проходит вне угла А 1 С 1 В 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A n провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - A n -1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Согласно свойству параллелограмма : AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB 1 и DD 1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB 2 = CD 2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник - это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики - геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например : В треугольнике один из углов равен 70°, а другой - 85°, какова величина третьего угла?

180 - 85 - 70 = 25.

Ответ: 25°.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

• высота - перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
• все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
• медиана - линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
• пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
• биссектриса - линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

• против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы, пример тому - равнобедренный треугольник;
• сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
• при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
• любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.

Виды треугольников

Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

• Равнобедренный - с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
• Правильный, или равносторонний треугольник, - это тот, у которого все его стороны равны.
• Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие - катетами.
• Остроугольный треугольник - все углы меньше 90°.
• Тупоугольный - один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры - равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

• два угла одной фигуры равны двум углам другой;
• две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
• три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: "Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой".

Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

• Допустим, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 имеют одинаковые стороны АВ и А 1 В 1 и, соответственно, ВС и В 1 С 1 , а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А 1 В 1 С 1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

Теорема о втором признаке

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: "Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны".

Третий признак и доказательство

Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: "Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны".

Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

Прямоугольные треугольники

В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

• треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
• фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
• такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.

Этот признак относится к Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел со сторонами СА и СА 1 .

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA 1 B 1 C 1 у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Докажем, что ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместиласьA 1 , а вершины B и B 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Возможны три случая: 1) луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. а)); 2)луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Следовательно, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Доказать: ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A →A 1 , а B → B 1 , а С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Рассмотрим случай. луч С 1 С проходит внутри ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение : Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства :

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) (особое свойство)

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0)

признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3) если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства :

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1 ) Если ABСD – парал-м, и АС DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3) Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

В разделе на вопрос 3 признак равенства треугольников (3 случай) доказать заданный автором Котик лучший ответ это сли три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано:
2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Два треугольника с тремя равными сторонами
Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Доказательство
Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Наложение двух треугольников
Три возможных случая при наложении треугольников

Первый случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
Второй случай

Третий случай
Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
Первый случай
По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.
Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны.
Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать
Второй случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:
Рассмотрим треугольник САС1.
Второй случай
Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 - равнобедренный.
По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1. Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
Третий случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательство:
Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
Третий случай доказательство
По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.
Рассмотрим треугольник АСС1.
Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).
∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.
Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.
Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.