Называется импульсом системы тел. Импульс тела. Импульс силы. Реактивное движение. Формула. Импульс системы тел. Закон изменения импульса

Изменяются, так как на каждое из тел действуют силы взаимодействия, однако сумма импульсов остается постоянной. Это и называется законом сохранения импульса .

Второй закон Ньютона выражается формулой . Ее можно записать иным способом, если вспомнить, что ускорение равно быстроте изменения скорости тела. Для равноускоренного движения формула будет иметь вид:

Если подставить это выражение в формулу, получим:

,

Эту формулу можно переписать в виде:

В правой части этого равенства записано изменение произведения массы тела на его скорость. Произведение массы тела на скорость является физической величиной, которая называется импульсом тела или количеством движения тела .

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость. Это векторная величина. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Другими словами, тело массой m , движущееся со скоростью обладает импульсом . За единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг , движущегося со скоростью 1 м/с (кг·м/с). При взаимодействии друг с другом двух тел если первое действует на второе тело силой , то, согласному третьему закону Ньютона , второе действует на первое силой . Обозначим массы этих двух тел через m 1 и m 2 , а их скорости относительно какой-либо системы отсчета через и . Через некоторое время t в результате взаимодействия тел их скорости изменятся и станут равными и . Подставив эти значения в формулу, получим:

,

,

Следовательно,

Изменим знаки обеих частей равенства на противоположные и запишем в виде

В левой части равенства - сумма начальных импульсов двух тел, в правой части - сумма импульсов тех же тел через время t . Суммы равны между собой. Таким образом, несмотря на то. что импульс каждого тела при взаимодействии изменяется, полный импульс (сумма импульсов обоих тел) остается неизменным.

Действителен и тогда, когда взаимодействуют несколько тел. Однако, важно, чтобы эти тела взаимодействовали только друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, не входящих в систему (либо чтоб внешние силы уравновешивались). Группа тел, не взаимодействущая с другими телами, называется замкнутой системой справедлив только для замкнутых систем.

Темы кодификатора ЕГЭ: импульс тела, импульс системы тел, закон сохранения импульса.

Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса - это просто произведение размерности массы на размерность скорости:

Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Пусть - равнодействующая сил, приложенных к телу массы . Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:

С учётом того, что ускорение тела равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:

Вносим константу под знак производной:

Как видим, в левой части получилась производная импульса:

. ( 1 )

Соотношение ( 1 ) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.

Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.

Производную в формуле ( 1 ) можно заменить на отношение конечных приращений:

. ( 2 )

В этом случае есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени . Чем меньше величина , тем ближе отношение к производной , и тем ближе средняя сила к своему мгновенному значению в данный момент времени.

В задачах, как правило, интервал времени достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда - средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.

Вектор в левой части соотношения ( 2 ) называется изменением импульса за время . Изменение импульса - это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если - импульс тела в некоторый начальный момент времени, - импульс тела спустя промежуток времени , то изменение импульса есть разность:

Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса - это разность векторов (рис. 1 ):

Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен ). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился (), изменение импульса имеется:

Геометрически эта ситуация показана на рис. 2 :

Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: .

Перепишем формулу ( 2 ) следующим образом:

, ( 3 )

или, расписывая изменение импульса, как и выше:

Величина называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

(Обратите внимание, что оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)

Словесная формулировка равенства ( 3 ) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.

Пример вычисления силы

В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рассмотрим следующую задачу.

Задача. Шарик массы г, летящий горизонтально со скоростью м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика (то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен . Удар длится с. Найти среднюю силу,
действующую на шарик во время удара.

Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик отскочит от стены под тем же углом (рис. 3 ).

Согласно ( 3 ) имеем: . Отсюда следует, что вектор изменения импульса сонаправлен с вектором , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика (рис. 5 ).

Рис. 5. К задаче

Векторы и
равны по модулю
(так как скорость шарика не изменилась). Поэтому треугольник, составленный из векторов , и , является равнобедренным. Значит, угол между векторами и равен , то есть угол отражения действительно равен углу падения.

Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол (это угол падения); стало быть, данный треугольник - равносторонний. Отсюда:

И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:

Импульс системы тел

Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами и соответственно. Импульс системы данных тел - это векторная сумма импульсов каждого тела:

Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1 ). Давайте выведем эту формулу.

Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть - результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично - результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6 ).

Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой . По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению: . Силы и - это внутренние силы, действующие в системе.

Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1 ):

, ( 4 )

. ( 5 )

Сложим равенства ( 4 ) и ( 5 ):

В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов и . В правой части имеем в силу третьего закона Ньютона:

Но - это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также - это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:

. ( 6 )

Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6 ), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.

Формула ( 6 ) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.

Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из тел, то импульс этой системы равен:

Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4 ) и ( 5 ), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6 ) останется справедливым и в общем случае.

Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: . В этом случае из ( 6 ) получаем:

Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача. Тело массы г движется со скоростью м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы г со скоростью м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение. Ситуация изображена на рис. 7 . Ось направим в сторону движения первого тела.

Рис. 7. К задаче

Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:

. ( 7 )

Импульс системы до удара - это сумма импульсов тел:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью :

Из закона сохранения импульса ( 7 ) имеем:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переходим к проекциям на ось :

По условию имеем: м/с, м/с, так что

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси . Искомая скорость: м/с.

Закон сохранения проекции импульса

Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось , сумма проекций внешних сил на ось равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось сохраняется.

Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6 ) на ось :

Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, , то

Следовательно, проекция есть константа:

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция импульса системы не меняется с течением времени.

Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.

Задача. Мальчик массы , стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость , с которой мальчик откатывается назад после броска.

Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8 . Мальчик изображён прямогольником.

Рис. 8. К задаче

Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.

Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил не равна нулю во время броска. Величина больше, чем сумма , и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.

Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось . До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим.

Его движения , т.е. величина .

Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .

Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:

Закон сохранения импульса

Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:

Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:

Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.

При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
Решение	Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса. Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия. При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда: Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим:
Ответ	После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с.

ПРИМЕР 2

Задание	Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда?
Решение	Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси . Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись : Подставив в формулу численные значения, получим:
Ответ	Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению.

ПРИМЕР 3

Задание

Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения.

Решение

Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется. Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»:

Импульс - это физическая величина, которая в определенных условиях остается постоянной для системы взаимодействующих тел. Модуль импульса равен произведению массы на скорость (p = mv). Закон сохранения импульса формулируется так:

В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел остается постоянной, т. е. не изменяется. Под замкнутой понимают систему, где тела взаимодействуют только друг с другом. Например, если трением и силой тяжести можно пренебречь. Трение может быть мало, а сила тяжести уравновешиваться силой нормальной реакции опоры.

Допустим, одно движущееся тело сталкивается с другим таким же по массе телом, но неподвижным. Что произойдет? Во-первых столкновение может быть упругим и неупругим. При неупругом столкновении тела сцепляются в одно целое. Рассмотрим именно такое столкновение.

Поскольку массы тел одинаковы, то обозначим их массы одинаковой буквой без индекса: m. Импульс первого тела до столкновения равен mv 1 , а второго равен mv 2 . Но так как второе тело не движется, то v 2 = 0, следовательно, импульс второго тела равен 0.

После неупругого столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось первое тело (вектор импульса совпадает с вектором скорости), а вот скорость станет в 2 раза меньшей. То есть масса увеличится в 2 раза, а скорость уменьшится в 2 раза. Таким образом, произведение массы на скорость останется прежним. Разница только в том, что до столкновения скорость была в 2 раза больше, но масса была равна m. После столкновения масса стала 2m, а скорость в 2 раза меньше.

Представим, что неупруго сталкиваются два тела, движущихся навстречу друг другу. Векторы их скоростей (также как и импульсов) направлены в противоположные стороны. Значит, модули импульсов надо вычитать. После столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось тело, обладающее большим импульсом до столкновения.

Например, если одно тело было массой 2 кг и двигалось со скоростью 3 м/с, а другое - массой 1 кг и скоростью 4 м/с, то импульс первого равен 6 кг · м/с, а импульс второго равен 4 кг · м/с. Значит, вектор скорости после столкновения будет сонаправлен с вектором скорости первого тела. А вот значение скорости можно вычислить так. Суммарный импульс до столкновения был равен 2 кг · м/с, так как векторы разнонаправлены, и мы должны вычитать значения. Таким же он должен остаться и после столкновения. Но после столкновения масса тела увеличилась до 3 кг (1 кг + 2 кг), значит из формулы p = mv следует, что v = p/m = 2/3 = 1,6(6) (м/с). Мы видим, что в результате столкновения скорость уменьшилась, что согласуется с нашим житейским опытом.

Если два тела движутся в одну сторону и одно из них нагоняет второе, толкает его, сцепляясь с ним, то как изменится скорость этой системы тел после столкновения? Допустим, тело массой 1 кг двигалось со скоростью 2 м/с. Его догнало и сцепилось с ним тело массой 0,5 кг, двигающееся со скоростью 3 м/с.

Так как тела двигаются в одну сторону, то импульс системы этих двух тел равен сумме импульсов каждого тела: 1 · 2 = 2 (кг · м/с) и 0,5 · 3 = 1,5 (кг · м/с). Суммарный импульс равен 3,5 кг · м/с. Он должен сохраниться и после столкновения, но масса тела здесь будет уже 1,5 кг (1 кг + 0,5 кг). Тогда скорость будет равна 3,5/1,5 = 2,3(3) (м/с). Эта скорость больше, чем скорость первого тела, и меньше, чем скорость второго. Это и понятно, первое тело подтолкнули, а второе, можно сказать, столкнулось с препятствием.

Теперь представим, что два тела изначально сцеплены. Некая равная сила расталкивает их в разные стороны. Каковы будут скорости тел? Поскольку для каждого тела применена равная сила, то модуль импульса одного должен быть равен модулю импульса другого. Однако векторы разнонаправлены, поэтому при их сумма будет равна нулю. Это и правильно, т. к. до разъезжания тел их импульс был равен нулю, ведь тела покоились. Так как импульс равен произведению массы на скорость, то в данном случае понятно, что чем массивнее тело, тем меньше будет его скорость. Чем легче тело, тем больше будет его скорость.

И́мпульс (Коли́честводвиже́ния ) - векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

Импульс системы частиц есть векторная сумма импульсов ее отдельных частиц: p=(сумм)p i , где p i – импульс i-й частицы.

Теорема об изменении импульса системы : полный импульс системы можно изменить только действием внешних сил: Fвнеш=dp/dt(1), т.е. производная импульса системы по времени равна векторной сумме всехвнешних сил, действующих на частицы системы. Как и в случае одной частицы, из выражения (1) следует, что приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени:

p2-p1= t & 0 F внешн dt.

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

,

где m i - масса i -й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Свойства импульса

· Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.

· Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета.

· Сохранение. Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математичекую формулу импульса.

Зако́нсохране́нияи́мпульса (Зако́нсохране́ния количества движения) - векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной изфундаментальных симметрий, - однородностью пространства

Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона