При умножении чисел с разными знаками. Умножение чисел с разными знаками, правило, примеры. IV. Изложение материала

Которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.

Пример. Разложите на 5m³–10m²n²+5m². Вынесите за скобки m², т.к. переменная m в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен 5m². Отсюда: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Если выражение не имеет общего множителя, попробуйте разложить его способом группировки. Для этого объедините в группы те члены, у которых имеются общие множители. Вынесите общий множитель каждой группы за скобки. Вынесите за скобки общий множитель у всех образовавшихся групп.

Пример. Разложите на множители многочлен a³–3a²+4a–12. Произведите группировку следующим образом: (a³–3a²)+(4a–12). Вынесите за скобку общий множитель a² в первой группе и общий множитель 4 во второй группе. Отсюда: a²(a–3)+4(a–3). Вынесите за скобки многочлен a–3, получите: (a–3)(a²+4). Следовательно, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Некоторые многочлены раскладываются на множители при помощи формул сокращенного умножения. Для этого приведите многочлен к нужному виду способом группировки или при помощи вынесения за скобки общего множителя. Далее примените соответствующую формулу сокращенного умножения.

Пример. Разложите на множители многочлен 4x²–m²+2mn–n². Объедините в скобки последние три члена, при этом вынесите за скобки –1. Получите: 4x²–(m²–2mn+n²). Выражение в скобках можно представить в виде квадрата разности. Отсюда: (2x)²–(m–n)². Это есть разность квадратов, можно записать: (2x–m+n)(2x+m+n). Таким образом, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Некоторые многочлены можно разложить на множители методом неопределенных коэффициентов. Так, каждый многочлен можно представить в виде (y–t)(my²+ny+k), где t, m, n, k – числовые коэффициенты. Следовательно, задача сводится к определению значений этих коэффициентов. Это делается, исходя из данного равенства: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Пример. Разложите на множители многочлен 2a³–a²–7a+2. Из второй части для многочлена третьей степени составьте равенства: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Запишите их в виде системы . Решите ее. Вы найдете значения t=2; n=3; k=–1. Подставьте вычисленные коэффициенты в первую часть формулы, получите: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Источники:

• Разложение многочленов на множители
• как разложить на множители на многочлен

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.

Инструкция

Многочлен или (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения :
Каждое слагаемое полинома называется или мономом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
Если коэффициент равен 1, то называют унитарным (приведенным).
Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
Многочлен, все которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это для разложения полинома на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.

Обратите внимание

Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.

Совет 3: Как 90 разложить на два взаимно простых множителя

Взаимно простыми множителями называются числа, не имеющие общих делителей, кроме единицы. Алгоритм достаточно прост, попробуйте рассмотреть его на примере: разложите на два взаимно простых множителя число 90.

Согласно определению, многочлен это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.

Для примера: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлены, а выражение z/(x - x*y^2 + 4) не является многочленом потому, что оно не является суммой одночленов. Многочлен еще иногда называют полиномом, а одночлены которые входят в состав многочлена членами многочлена или мономами.

Комплексное понятие многочлена

Если многочлен состоит из двух слагаемых, то его называют двучлен, если из трех - трехчлен. Названия четырехчлен, пятичлен и другие не используются, а в таких случаях говорят просто, многочлен. Такие названия, в зависимости от количества слагаемых, ставят все на свои места.

И термин одночлен становится интуитивно понятным. С точки зрения математики, одночлен является частным случаем многочлена. Одночлен это многочлен, который состоит из одного слагаемого.

Так же как и у одночлена, у многочлена есть свой стандартный вид. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него в качестве слагаемых одночлены, записаны в стандартном виде и приведены подобные члены.

Стандартный вид многочлена

Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить. Сложение подобных членов многочлена называют приведением подобных.
Например, приведем подобные слагаемые в многочлене 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подобными здесь являются слагаемые 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3. Суммой этих слагаемых будет одночлен 10*a*b^2*c^3. Следовательно, исходный многочлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можно переписать в виде 10*a*b^2*c^3 - a*b. Эта запись и будет стандартным видом многочлена.

Из того, что любой одночлен можно привести к стандартному виду, следует также и тот факт, что любой многочлен можно привести к стандартному виду.

Когда многочлен приведен к стандартному виду, можно говорить о таком понятии как степень многочлена. Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен.
Так, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен (5*x^3*y^2) пятая.