Деление отрезка пополам с помощью циркуля. Деление отрезка

Зная; что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, мы можем помощью циркуля и линейки делить данный отрезок на две равные части.

Если, например, требуется разделить пополам отрезок А В (черт. 69), то помещают острие циркуля в точки А я В и описывают вокруг них, как около центров, одинаковым радиусом две пересекающиеся дуги (черт. 70). Точки их пересечения С и D соединяют прямою, которая и АВ пополам: АО = ОВ .

Чтобы убедиться, что отрезки АО и ОВ должны быть равны, соединим точки C и D с концами А и В отрезка (черт. 71). Получатся два треугольника ACD и BCD , у которых три стороны соответственно равны: АС = ВС; AD = BD; CD – общая, т. е. принадлежит обоим треугольникам. Отсюда вытекает полное равенство указанных треугольников, а следовательно и равенство всех углов. Значит, между прочим, равны углы ACD и BCD . Сравнивая теперь треугольники АСО и ВСО , видим, что у них сторона ОС – общая, AC = СB , а угол между ними АСО = уг. ВСО . По двум сторонам и углу между ними треугольники равны; следовательно, равны стороны АО и ОВ , т. е. точка О есть середина отрезка АВ .

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС ;

по двум сторонам и углу между ними: СУС ;

по стороне и двум углам: УСУ .

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.

От треугольников перейдем к четырехугольникам, т. е. к фигурам, ограниченным 4-мя сторонами. Примером четырехугольника может служить к в а д р а т – такой четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы-прямые (черт. 76). Другой вид четырехугольника, тоже часто встречающийся, – п р я м о у г о л ь н и к:

так называется всякий четырехугольник с 4-мя прямыми углами (черт. 77 и 78). Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами.

Особенность прямоугольника (и квадрата) та, что обе пары его противоположных сторон п а р а л л е л ь н ы. В прямоугольнике ABCD, например (черт. 78), АВ параллельно DC , a AD параллельно ВС. Это следует из того, что обе противолежащие стороны перпендикулярны к одной и той же прямой, а мы знаем, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собою (§ 16).

Другое свойство каждого прямоугольника то, что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CD по такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABC и ACD равны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD = стороне ВС.

Такие четыреугольники, у которых, как у прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы, называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример параллелограмма: АВ параллельно DС, а AD параллельно BС. Черт.80

Прямоугольник – один из параллелограммов, а именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый параллелограмм обладает следующими свойствами:

П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы

п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.

Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD (черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABD и ВDC. Эти треугольники равны (случай УСУ ): BD – общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.

Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.

Знание основных геометрических построений дает возможность правильно и быстро чертить, выбирая для каждого случая наиболее рациональные приемы.

2.1. Деление отрезка на равные части

Разделить отрезок пополам можно при помощи циркуля, построив срединный перпендикуляр (рис. 18, а ). Для этого берём радиус размером более половины длины отрезка и из его концов по обе стороны проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения. Через точки пересечения дуг проводим срединный перпендикуляр.

Для деления на любое число равных частей используем теорему Фа-

леса: если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки(рис. 18, б). Под про-

извольным углом к отрезку АВ проводим вспомогательный лучАС , на котором откладываем отрезок произвольной длины столько раз, на сколько частей нужно разделить данный отрезок. Конец последнего отрезка соединяем с точкойВ ичерезконцыостальныхотрезковпроводимпрямые, параллельныеВС .

2.2. Деление окружности на произвольное число равных частей

Умение делить окружность на равные части необходимо для построения правильных многоугольников. Рассмотрим сначала частные приёмы деления окружности.

Деление на три части (рис. 19)

Ставим ножку циркуля в один из концов взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки на ней по обе стороны от этого конца диаметра. Получаем две вершины правильного треугольника. Третьей вершиной является противоположный конец диаметра.

Деление на четыре части (рис. 20)

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Если через центр окружности провести прямые под углом 45ᵒ к осям, то они также разделят окружность на четыре равные части. Стороны вписанного квадрата будут параллельны осям окружности. Вместе эти два квадрата разделили окружность на восемь равных частей.

Деление на пять частей (рис. 21)

● 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку на окружности. Получаем точку2 .

● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 .

● Ставим ножку циркуля в точку 3 . Берём радиус, равный расстоянию от точки3 до конца вертикального диаметра (точка4 ), и проводим дугу до пересечения с горизонтальным диаметром. Получаем точку5 .

● Соединяем точки 4 и5 . Хорда 4 –5 будет составлять 1/5 часть окружности.

● Замеряем циркулем длину хорды 4 –5 и начинаем откладывать её от одного из концов диаметра (в зависимости от того, как должен быть ориентирован пятиугольник относительно осей). Тот диаметр, от конца которого начинаем откладывать отрезок, будет являться осью симметрии фигуры.

Отрезки рекомендуется откладывать сразу с двух сторон. Оставшийся отрезок должен оказаться перпендикулярным оси симметрии. Если его длина не будет равна длине остальных отрезков, то, значит, неточно выполнено построение или неточно замерена хорда 4 –5 . Следует внести корректировку длины отрезка и повторить деление окружности ещё раз.

Деление на шесть частей (рис. 22)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из обоих концов одного и того же диаметра в обе стороны от них. Получаем четыре вершины правильного шестиугольника. Двумя другими вершинами являются концы диаметра, из которых сделаны засечки.

Деление на семь частей (рис. 23)

● Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1 ). Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем на ней засечку. Получаем точку2 .

● Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3 . Отрезок 2 –3 составляет 1/7 часть окружности.

● Замеряемциркулемдлинуотрезка 2 –3 ипоследовательнооткладываем его от любого конца диаметра сразу с двух сторон. Последний отрезок должен быть перпендикулярен диаметру, от конца которого начали откладывать отрезки. Этотдиаметрбудетосьюсимметриивписанногосемиугольника.

Деление на десять частей (рис. 24)

● Делим окружность на 5 частей, как показано на рис. 21. Получаем правильный пятиугольник.

● Из каждой вершины пятиугольника опускаем перпендикуляры на противолежащие стороны. Все они пройдут через центр окружности и разделят сторону и стягивающую её дугу пополам. Получим ещё 5 вершин.

Деление на двенадцать частей (рис. 25)

Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из концов обоих диаметров по обе стороны от них.

Существует и общий приём деления окружности на любое число частей. Рассмотрим его на примере построения правильного девятиугольника (рис. 27).

● Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (горизонтальный и вертикальный).

● Тот диаметр, который хотим сделать осью симметрии фигуры, делим на столько частей, на сколько требуется разделить окружность. На рис. 27 диаметр АВ разделён на 9 частей. Полученные точки деления нумеруем.

● Ставим ножку циркуля в точку А и радиусом, равным диаметру окружности, проводим дугу до пересечения с продолжением вертикального диаметра. Получаем точкуС .

● Точку С соединяем через одну с точками деления диаметра и продолжаем до пересечения с противолежащей дугой окружности в точках I, II, III, IV. Если одной из вершин девятиугольника должна быть точкаА , то лучи проводим через все чётные деления диаметра (рис. 27,а ). Если же одной из вершин должна стать точкаВ , то лучи следует проводить через все нечётные деления диаметра (рис. 27,б ).

● Симметрично отображаем построенные точки относительно горизонтального диаметра. Получаем остальные вершины фигуры.

2.2.1. Задание № 4. Деление окружности

Цель: изучить приёмы деления окружности на равные части.

На формате А3 в первом ряду вычертить правильные многоугольники (трех-, четырех-, пяти-, шести-, семи- и девятиугольник), вписанные в окружности диаметром 60 мм. Окружности как вспомогательные линии должны быть тонкими. Многоугольники обвести толстыми линиями.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 28. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.

До сих пор при решении задач на построение мы пользовались циркулем, линейкой, чертёжным треугольником и транспортиром.

Решим теперь ряд задач на построение с помощью только двух инструментов - циркуля и линейки.

Задача 1. Разделить данный отрезок пополам.

Дан отрезок АВ, требуется разделить его пополам.

Решение. Радиусом, большим половины отрезка АВ, опишем из точек А и В, как из центров, пересекающиеся дуги (черт. 161). Через точки пересечения этих дуг проведём прямую СD, которая пересечёт отрезок АВ в некоторой точке К и разделит его этой точкой пополам: АК = КВ.

Докажем это. Соединим точки А и В c точками С и D. /\ САD = /\ СВD, так как по построению AС = СВ, АD = ВD, СD - общая сторона.

Из равенства этих треугольников следует, что / АСК = / ВСК, т. е. СК является биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника АСВ. А биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и его медианой, т. е. прямая СD pазделила отрезок АВ пополам.

Задача 2. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку О, находящуюся на этой прямой.

Дана прямая АВ и точка О, лежащая на этой прямой. Требуется провести перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О.

Решение. Отложим на прямой АВ от точки О два равных отрезка ОМ и ОN
(черт. 162). Из точек М и N, как из центров, одними тем же радиусом, большим ОМ, опишем две дуги. Точку их пересечения К соединим с точкой О. КО - медиана в равнобедренном треугольнике МКN, следовательно, КO_|_А В (§ 18).

Задача 3. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ через точку С, находящуюся вне этой прямой.

Даны прямая АВ и точка С вне этой прямой, требуется прости перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку С.

Решение. Из точки С, как из центра, опишем дугу таким диусом, чтобы она пересекла прямую АВ, например, в точках М и N (черт. 163). Из точек М и N. как из центров, одним и тем же радиусом, большим половины МN, опишем дуги. Toчку их пересечения Е соединим с точкой С и с точками М и N. Треугольники СМЕ и СNЕ равны по трём сторонам. Значит, / 1 = / 2 и СЕ является биссектрисой угла С в равнобедренном треугольнике МСN, а следовательно, и перпендикуляром к прямой АВ (§ 18).

Контуры всех изображений образованы различными линиями. Основными линиями служат прямая, окружность и ряд кривых. При вычерчивании контуров изображений применяют геометрические построения и сопряжения.

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений.

В этом отношении лучшим способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.

1. Деление отрезков и углов

1.1. Деление отрезка пополам

Разделить заданный отрезок АВ пополам.

Из концов отрезка АВ, как из центров, проведем дуги окружностей радиусом R, размер которого должен быть несколько больше, чем половина отрезка АВ (Рис. 1). Эти дуги пересекутся в точках M и N, найдем точку С, в которой пересекаются прямые АВ и MN. Точка С разделит отрезок АВ на две равные части.

Примечание . Все необходимые построения должны и могут выполняться только с помощью циркуля и линейки (без делений).

1.2. Деление отрезка на n равных частей

Разделить заданный отрезок на n равных частей.

Из конца отрезка – точки А проведем вспомогательный луч под произвольным углом α.(рис.2 а) На этом луче отложим 4 равных отрезка произвольной длины (рис.2б). Конец последнего, четвертого, отрезка (точку 4) соединим с точкой В. Далее из всех предыдущих точек 1…3 проведем отрезки, параллельные отрезку В4 до пересечения с отрезком АВ в точках1", 2", 3". Полученные таким образом точки разделили отрезок на равные четыре отрезка

1.3. Деление угла пополам

Разделить заданный угол ВАС пополам.

Из вершины угла А произвольным радиусом проводим дугу до пересечения со сторонами угла в точках В и С (рис.3 а). Затем из точек В и С проводим две дуги радиусом, большим половины расстояния ВС, до их пересечения в точке D (рис.3 б). Соединив точки А и D прямой, получаем биссектрису угла, которая делит заданный угол пополам (рис.3 в)

а) б) с)

2. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников

2.1. Деление окружности на три равные части

Из конца диаметра, например, точки А (рис.4) проводят дугу радиусом R, равным радиусу заданной окружности. Получают первое и второе деление – точки 1 и 2. Третье деление точка 3, находится на противоположном конце того же диаметра. Соединив точки 1,2,3 хордами, получают правильный вписанный треугольник.

2.2. Деление окружности на шесть равных частей

Из концов какого-либо диаметра, например АВ (рис.5), описывают дуги радиусом R окружности. Точки А, 1,3,В,4,2 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их хордами, получают правильный вписанный шестиугольник.

Примечание. Вспомогательные дуги проводить полностью не следует, достаточно сделать засечки на окружности.

2.3. Деление окружности на пять равных частей

1. Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.6). Радиус ОС в точке О 1 делят пополам.
2. Из точки О1, как из центра, проводят дугу радиусом О1А до пересечения ее с диаметром CD в точке Е.
3. Отрезок АЕ равен стороне правильного вписанного пятиугольника, а отрезок ОЕ – стороне правильного вписанного десятиугольника.
4. Приняв точку А за центр, дугой радиуса R1 = АЕ на окружности отмечают точки 1 и 4. Из точек 1 и 4, как из центров, дугами того же радиуса R1 отмечают точки 3 и 2. Точки А, 1, 2, 3, 4 делятокружность на пять равных частей.

2.4. Деление окружности на семь равных частей

Из конца диаметра, например, точки А проводят дугу радиуса R, равного радиусу окружности (рис.7). Хорда CD равна стороне правильного вписанного треугольника. Половина хорды CD с достаточным приближением равняется стороне правильного вписанного семиугольника, т.е. делит окружность на семь равных частей.

Литература

1. Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. - М.: Машиностроение, 2006. – с.392: ил.
2. Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
3. Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.

Деление отрезка пополам

Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т.д., т.е. на число кратное 2.

Доказательство:

Соединим точки Е и D с концами отрезка AB. По построению AD = AE = DB = EB. Поэтому равнобедренные треугольники DAE и DBE равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ADO и BDO. В равнобедренном треугольнике ABD, DO- биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Отсюда AO = OB, и точка O - середина отрезка AB.

Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: "если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки". Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление.

Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3:2 (отсчитывая от точки А), необходимо под произвольным углом из точки А провести вспомогательную прямую. Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Мы получим отношение AD:DB = 3:2

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АСВ и AEB. Данные треугольники подобны по двум углам (?A- общий, ?ACD=?AEB- соответственные). Следовательно, отношения сторон треугольников равны. По построению =, значит и =. Значит, отрезок АВ поделен в заданном отношении.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО (АО: АК=АК: КО). Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе.

Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N. Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении.