Как записать выражение на математическом языке. Что такое математический язык? Математические знаки в текстовом редакторе

Что такое математический язык?

Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Классический трактат Ньютона "Математические начала натуральной философии", произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им "языка Природы", дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики.

История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была "невозможность жить по старому", т.е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика - это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В итоге первой революции, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.

Математики отличаются от "нематематиков" тем что, обсуждая научные проблемы или решая практические задачи, говорят между собой и пишут работы на особом "математическом языке" - языке специальных символов, формул и т.п.

Дело в том, что на математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется" - так звучит переместительный закон сложения чисел. Математик пишет (или говорит): a + b = b + a

А выражение: "Путь S, пройденный телом со скоростью V за период времени от начала движения t н до конечного момента t к " запишут так: S = V · (t к - t н )

Или такую фразу из физики: "Сила равна произведению массы на ускорение" запишут: F = m · a

Он переводит высказанное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий и иные символы. Все эти записи экономны, наглядны и удобны для применения.

Возьмем другой пример. На обычном языке говорят: "Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать в числителе дроби, а знаменатель оставить тот же без изменения и записать в знаменатель". Математик осуществляет "синхронный перевод" на свой язык:

А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон: a (b + c) = ab + ac

Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: "Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c , надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое: b , потом c , и полученные произведения сложить".

Во всяком языке есть своя письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математике. А устная речь - это употребление специальных терминов или словосочетаний, например: "слагаемое", "произведение", "уравнение", "неравенство", "функция", "график функции", "координата точки", "система координат" и т.п., а также различные математические утверждения, выраженные словами: "Число а делится на 2 тогда и только тогда, когда оканчивается на 0 или четную цифру".

Говорят, что культурный человек, кроме родного языка должен владеть ещё хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен ещё уметь говорить, писать и думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз уже убеждались, "говорит" окружающая действительность. Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить, как говорят, его алфавит, синтаксис и семантику, т.е. правила написания и смысл, заложенный в написанном. И, конечно же, в результате такого изучения представления о математическом языке и предмете будут постоянно расширяться.

Доклад на конференции в рамках «Дней науки»
(организатор — Фонд «Династия», СПб, 21−23 мая 2009 г.)

Вообразите Париж 20-х годов — столицу модернизма и мировой моды. Коко Шанель, вспоминая это время, рассказывает Полю Морану о Пикассо: «Я восхищалась его живописью, хотя не понимала ее. Но я находила ее убедительной, а это то, что я люблю. Для меня это как таблица логарифмов».

Вдумайтесь в эту удивительную параллель. Математика абстрактна, живопись Пикассо абстрактна; казалось бы, вот самое очевидное сходство между двумя непонятностями: «Девушка с обручем» (1919) и «Таблица логарифмов». Но Шанель выбирает другое слово: обе «убедительны», а убедительность — это то, что ее привлекает.

В рамках этого доклада, посвященного разным языковым аспектам содержания и формы математической деятельности, я постараюсь уделить специальное внимание этому качеству — «убедительности».

На личностном уровне убедительность доказательства, идеи, компьютерной симуляции зависит от предрасположенности математика к геометрическому или логическому мышлению, философских склонностей (возможно, неосознаваемых), наконец, ценностной установки.

В социальном плане в игру вступают крупномасштабные исторические обстоятельства, которые могут способствовать как поразительному расцвету математики, так и ее практическому исчезновению.

По понятным причинам историки математики обращаются к тем местам и временам, где математика создавалась или хотя бы принималась по наследству. Но очень интересно было бы пристально вглядеться в исторические обстоятельства ее неприятия, вплоть до (временного) ухода со сцены.

Развитие античной, главным образом греческой, математики в Европе прервалось по крайней мере на первую тысячу лет христианства. Ho еще до христианства практичные и воинственные римляне, создав высокую цивилизацию, интегрировали в нее греческую гуманитарную культуру, но не греческую науку. Даже очевидные военные приложения не смогли соблазнить их. Согласно Плутарху, при осаде Сиракуз римский генерал Марцелл тщетно призывал своих солдат не отступать перед «этим геометрическим Бриареем» (Архимедом), который со своими военными игрушками «превосходит сторуких гигантов мифологии!»

Впрочем, сам Архимед не считал свои инженерные свершения «приложением» своей математики: для его могучего ума они были отвлечением от математики, которого он предпочел бы избежать.

Скудное математическое наследие античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,…, L,…, C,…, D,…, M.

Поучительнее всего рассматривать ее как уникальную археологическую коллекцию следов архаического состояния математической мысли.

Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I — это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от тупой, но предельно систематической и потенциально бесконечно продолжимой системы обозначения чисел

I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII,. . .

к гораздо более непоследовательной (и не позволяющей уйти в бесконечность), но поначалу экономной и уютной системе скорее «имен», чем символов (так же в начальном отрезке прослеживаемой до зарубок):

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Короткие последовательности этих примарных символов интерпретируются с помощью сложения, иногда вычитания: 2009 = MMIX = M + M — I + X. Конечно, нуль не имеет имени. Ужас перед «отсутствием», «пустотой», глубоко укоренен в человеческой психологии. Еще Экклезиаст сказал: «Чего нет, того нельзя считать».

Невозможность обозначить нуль критически мешает развитию системы и превращению ее в позиционную.

Распространение позиционной системы записи чисел в Европе после выхода книги Леонардо Фибоначчи Liber Abaci (1202) было в сущности началом экспансии единственного действительно глобального мирового языка. Семантикой этого языка был счет чего угодно: зарубок, скота, кораблей, флоринов… Его ядерный синтаксис определялся универсальным правилом перевода абстрактного количества в позиционную (десятичную) запись и обратно. Наконец, его прагматика имела две стороны. Когда референтом текста, состоящего из чисел, был фрагмент внешнего мира, скажем торговля, важным связующим звеном между текстом и внешним миром становились синтаксические правила более высокого уровня. Знаменитый пример таких правил — система двойной бухгалтерии, кодифицированная Лукой Пачиоли в 1494 г.

Когда референтом числового текста служили данные научных, например астрономических, наблюдений, его прагматика могла быть связана с предсказанием, скажем, затмения или построением количественной модели Солнечной системы. В этом случае текст должен был подвергнуться алгоритмической переработке. Иными словами, он служит входом для некоторой программы, тогда как ее выходом становится новый числовой текст, опять имеющий референтом наблюдаемый мир.

Неоценимым достоинством позиционной системы была ее идеальная приспособленность к такой алгоритмической переработке, в частности простые и универсальные правила сложения и умножения, которым можно было научить школьников и клерков. Более сложные программы — инструкции клеркам — описывались на естественном языке как итерация элементарных алгоритмов с добавлением условных переходов («если дебит клиента NN превзойдет его кредит на ZZ флоринов, прекратить поставки»).

Язык программ очень долго существовал лишь как неформализованный поддиалект естественного языка с очень ограниченной (хотя критически важной) сферой применимости. Еще Алан Тьюринг, уже в XX в., мотивируя свою универсальную формализацию вычислимости, когда говорил «компьютер», подразумевал человека, механически следующего конечному списку лежащих перед ним инструкций.

Парадоксальный пример такой деятельности, ставший культурно-историческим памятником общецивилизационного масштаба, — 90 страниц таблиц натуральных логарифмов Джона Непера, опубликованные в его работе Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 (интуиция Коко Шанель и здесь не обманула ее). Логарифмы были вычислены знак за знаком, вручную. Конечно, Непер соединял в одном лице роль творца новой математики и клерка-компьютера, следующего собственным инструкциям.

Тем поразительнее философское прозрение Лейбница, его знаменитое Calculemus!, постулирующее, что не только манипуляции с числами, но любое строгое и логически последовательное рассуждение, выводящее умозаключение из принятых посылок, должно быть сводимо к вычислению.

Нанесение на карту точных границ лейбницевского идеального мира, в котором рассуждение эквивалентно вычислению, истинность может быть формализована, но не всегда может быть формально удостоверена, где с предельной ясностью можно увидеть, как даже самая малая канторовская бесконечность (натуральных чисел) ускользает из объятий конечно порожденного языка, и было высшим достижением великих логиков ХХ в. (Гильберт, Черч, Гедель, Тар-ский, Тьюринг, Марков, Колмогоров…).

Центральное понятие этой программы, формальный язык, унаследовало основные черты как естественных языков (фиксируемых посредством алфавитной письменности), так и позиционной системы записи чисел и арифметики. В частности, любой классический формальный язык одномерен/линеен, состоит из дискретных символов, эксплицитно выражает базисные логические средства.

Любой реальный математический текст состоит из слов с вкраплениями формул. Формулы можно считать выражениями формального языка (он может меняться от статьи к статье, но часто представляет собой просто версию языка теории множеств).

Вопрос о том, как слова и символы делят между собой функцию передачи содержания, заслуживает отдельного обсуждения. Важнее всего, что слова адресуют работу людям, а не читающим автоматам; они же занимаются такими тонкостями, как выражение системы ценностей автора.

Формулы не всегда и не везде являются носителем смысла в ядерных фрагментах математического текста. По крайней мере со времени Евклида и до наших дней в школьных учебниках геометрии роль формул играют чертежи. Многие помнят рисунок квадрата, разделенного двумя линиями на два меньших квадрата и два прямоугольника. Этот чертеж иллюстрирует/заменяет/доказывает формулу (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 .

Гораздо интереснее — и гораздо менее известен — чертеж, иллюстрирующий античную теорему Паппа Александрийского (около 300 г. н. э.).

Пользуясь им, удобно проиллюстрировать, как геометрическое мышление математиков взаимодействует с формульным и формальным, причем на протяжении многих поколений.

Прежде всего — о содержании теоремы.

Начнем с плоского шестиугольника, на чертеже его вершины BXbCYc. (Он не обязан быть выпуклым, как на картинке! Вот первая ловушка чертежей — они часто заставляют принимать неосознанные ограничения.)

Любая пара противоположных сторон шестиугольника, скажем Bc и bC, определяет также промежуточную между ними диагональ XY. Продолжим эти две стороны и диагональ; может оказаться, что три прямые пересекутся в одной точке.

ТЕОРЕМА ПАППА. Если это свойство выполняется для двух пар противоположных сторон шестиугольника, то оно выполняется и для третьей пары.

Это удивительный результат. Прежде всего, трудно вообразить себе, как к нему можно было прийти. Он не принадлежит евклидовой геометрии: расстояния, длины и углы не играют в его формулировке и доказательстве никакой роли; не играет роли также группа эвклидовых движений плоскости. Единственные структурные отношения примитивны: плоскость состоит из точек; прямые — это некоторые подмножества точек; две прямые пересекаются ровно в одной точке; через две точки проходит одна прямая.

Только в XIX в. было понято, что теорема Паппа — центральный результат плоской проективной геометрии. Сначала это была геометрия обычной плоскости над вещественными числами. Потом открылось, что-то же верно для проективной плоскости над любым абстрактным полем; это поле, его законы композиции и аксиомы — всё восстанавливается по конфигурациям Паппа.

Наконец, ближе к концу XX в. оказалось, что эквивалентность теоремы Паппа с теорией коммутативных полей объясняется и обобщается в широком контексте теории моделей. Модель формального языка есть, попросту говоря, отображение этого языка в язык теории множеств вместе со стандартной интерпретацией последнего. Так смысл изысканного чертежа проявляется в сложной метаязыковой конструкции.

Чертежи не поддаются объединению в язык по многим причинам. Синтаксис чертежей прихотлив и не систематичен, синтаксические связи между ними сопротивляются формализации, чертежи обладают целостностью, которая утрачивается при анализе. Их функция в разных процессах передачи и хранения информации отличается от функции даже «синонимичных» языковых конструкций, они взывают к другому типу воображения, к право-полушарной интуиции.

Когда с развитием гомологической алгебры и теории категории во второй половине ХХ в. в математику стали внедряться «чертежеподобные» языковые конструкции, коммутативные диаграммы, должен был пройти некоторый период привыкания к ним.

На рис. 2 изображена такая диаграмма (вполне реалистическая: из работы Д. Борисова и автора, 2007 г.). Элементарной составляющей диаграммы является коммутативный квадрат. До эры категорий линейная языковая запись утверждения, выражаемого этим квадратом, почти исчерпывалась бы равенством h ◦ f = k ◦ g. Но это верно лишь с существенной оговоркой: f, g, h, k здесь — морфизмы в категории, и необходимо знать, из какого объекта в какой каждый морфизм «бьет».

Более того, в большой диаграмме на рис. 2 можно увидеть косые стрелки, вроде а. Такая стрелка изображает морфизм не в исходной категории, скажем C, где живут объекты, имена которых отмечают начала и концы стрелок. Она изображает морфизмы в категории морфизмов Mor C:

а: Id ◦ F"- F" ◦ G.

Точное содержание диаграммы можно передать лишь подробно откомментировав ее обычным линейным текстом, перемежающим слова и формулы. Но делает ли такой текст излишней самое диаграмму? Нет! (Я переписывался с коллегой по электронной почте, обсуждая вполне конкретный математический сюжет. В тексте e-mail, конечно, приходится обходиться словесными экивоками. Вдруг я получаю от своего корреспондента вопль души: «Диаграмму! Полцарства за диаграмму!»)

Ниже я намерен аргументировать точку зрения, согласно которой, развитие теории категорий, и в особенности гомотопической топологии, в течение последних десятилетий не только было существенным прогрессом конкретной области математики, но также способствовало осознанию и вербализации происходящего на наших глазах эпистемологического сдвига в том, что принято было называть «основаниями» математики.

Я должен оговориться: для меня «основания» лишены прескриптивной или нормативной функции. Я понимаю под «основаниями» плод работы математиков, которые склонны вглядываться в практику выбора задач, оформления доказательств и экспериментов, в ценностные ориентации живущих и ушедших поколении математиков.

Важнейшая социальная функция исследований, посвященных основаниям, состоит в поддержании диалога между «двумя культурами» (Ч.П.Сноу). Диалог этот начинается потому, что математика постоянно вызывает естественное философское беспокойство. Если не принимать буквально существование объективного, независимого от нас платоновского мира идей (а философы иногда готовы не принимать даже существования мира вещей и явлений), то придется признать, что математика есть просто плод высокотренированного воображения нескольких тысяч человек в каждом поколении.

Тогда, даже оставив на время заботу о критериях «истинности» математических утверждений, нельзя не поразиться упрямой устойчивости математического знания, его межпоколенческой и межцивили-зационной воспроизводимости.

Больше того, это знание не просто воспроизводится, как воспроизводятся тексты «Одиссеи», «Гильгамеша» или Евангелия. Оно развивается и обогащается, в последние 200 лет — с неслыханной прежде скоростью.

Возвращаясь к проблеме математического содержания «оснований математики» и его исторической эволюции за последние полторы сотни лет, я представлю ее следующим образом.

Исходным ментальным образом, общим для огромного большинства работающих математиков после, скажем, Второй мировой войны, является образ множества с дополнительной структурой: топологического пространства, группы, кольца, пространства с мерой…

На первых ступеньках это множество является чисто канторовской абстракцией: природа его элементов не важна, важно лишь, что они попарно различимы и мыслятся как объединенные в единое целое. На следующих этапах элементы нового множества могут быть открытыми подмножествами предыдущего, локальными функциями на нем и т. п.

Сам Кантор в минималистком вдохновении задал самые базисные вопросы о таких множествах, продемонстрировал бесконечную шкалу бесконечностей и оставил нескольким поколениям логиков задачу разбираться с онтологией и гносеологией этой шкалы.

Более прагматичное поколение, пережившее первую войну, построило на этом потенциально метафизическом фундаменте архитектурно современное и функционально эффективное здание работающей математики из индустриально производимых элементов под названием «структуры» в смысле Бурбаки.

Вопросы о шкале бесконечностей ушли для работающих математиков на задний план, но дискретные множества как основной строительный материал остались. Непрерывное стало надстройкой над дискретным.

Между тем, еще до Кантора некоторые проблемы со строительством из множеств даже элементарной арифметики были совершенно ясны. Если натуральные числа именуют количества палочек или любых конечных дискретных множеств,

I, II, III,. . .

то уже нуль как мощность пустого множества создает психологические проблемы, а отрицательные числа требуют или искусственной алгебры, или интерпретации в совершенно другом универсуме, скажем экономических отношений («долг»).

Вместе с тем, если исходным элементом интуиции считать непрерывное, а дискретное вводить как производную структуру, то целые числа получают удивительно естественное воплощение. Вообразите точку, движущуюся по плоскости. Пусть она выходит из какой-то начальной позиции, блуждает некоторое время, а потом возвращается назад, ни на момент не попадая, скажем, в начало координат. Вопрос: сколько раз она обойдет вокруг начала? Нетрудно дать точное определение этому целому числу: оно может быть нулем, положительным или отрицательным (обходы бывают по часовой стрелке, а бывают — против).

Более того, нетрудно понять, как обходы сначала в одну сторону, а потом в другую сокращаются (1 — 1 = 0): путь, состоящий из двух таких обходов, можно стянуть в точку, не задевая начала координат.

Так что же было вначале, дискретное или непрерывное? Конечно, это архетипический вопрос философии: ijoyoq, вероятно, символизирует дискретное, а х ао? — непрерывное.

Пользуясь метафорой из смежной профессии, этнографии, я сравнил бы эту ситуацию с теорией мифа по Леви-Строссу. Не без влияния Бурбаки Леви-Стросс сконструировал интерпретацию мифа как медиации оппозиции. Обдумывая его концепцию четверть века назад, я предположил эволюцию в обратном направлении: согласно этому взгляду, миф отмечает эпоху, когда осознание оппозиции («дискретного») рождалось из ментального хаоса. Так музыкальная нотация рождалась из самой музыки.

Способ вводить целые числа, который я набросал выше — считать количество обходов с учетом ориентации, которые делает замкнутый путь на плоскости вокруг начала координат, — начал свое существование как одна из самых ранних теорем гомотопической топологии.

Геометр, занимающийся гомотопической топологией, видит умственным взором бесконечномерные пространства, которые могут деформироваться и должны деформироваться вплоть до стягивания в одну точку. В конечном счете дискретность, которую тополог вычисляет и передает дискретным языком, сводится к «связным компонентам» этих пространств и производных от них пространств отображений.

В популярных изложениях математики, а теперь и в видеофильмах «узлы» в R 3 , или «выворачивание сферы наизнанку», используются, чтобы экстериоризировать такие приватные ментальные образы. Возможности этой экстериоризации как учебного средства ограничены, так же как ограничена возможность вообразить себя Святославом Рихтером, исполняющим Шуберта, посмотрев его интервью с Бруно Монсенжоном.

Поэтому я смогу лишь вкратце изложить свои впечатления об эпистемологическом сдвиге, динамику которого я различаю в основаниях математики.

Суть его состоит в том, что отношения между дискретным и непрерывным, между языком и воображением, между алгеброй и топологией инвертируются. Непрерывность, геометрическое воображение, топология медленно завоевывают место первичного математического материала.

Язык становится вторичным, подчиненным, его «внутренняя письменность» возвращается к архаичной иероглифической форме, и его материей делается комбинаторика геометрических образов. Сама эта комбинаторика нелинейна, многомерна, и уже на уровне своего зарождения новый язык смешивает синтаксис, семантику и прагматику способами, которые мы еще не начали философски осмыслять.

Коммутативные диаграммы категорного языка были предвестием такой эволюции. С проникновением в обиход поликатегорий, обогащенных категорий, А∞-алгебр и подобных структур мы начинаем говорить на языке, который в гораздо меньшей степени поддается экстериоризации, чем мы привыкли.

Очень убедительным для меня аргументом в пользу того, что эта перцепция — больше, чем моя частная иллюзия, было осознание параллельных процессов, происходящих на границе математики с теоретической физикой. Я имею в виду Фейнмановские интегралы, методы ренормализации и такие их приложения, как интеграл Виттена, вычисляющий инварианты узлов.

В заключение я хочу вернуться к теме, с которой начал, — проблеме убедительности математики и, более общо, современной науки.

Убедительность личного опыта, свидетельств очевидцев, отсылка к авторитетам и авторитетным текстам часто воспринимаются как полный список средств убеждения. Конечно, физики, химики, биологи добавляют к этому списку направленный эксперимент.

Но я бы хотел рассмотреть здесь то, что я назову «цивилизационным» аргументом, интуитивно угаданным Коко Шанель. Цивилизация предоставляет в наше распоряжение способы проверки истинности, которые не сводятся ни к апелляции к авторитетам, ни к личному опыту разбора длинных математических доказательств, ни к свидетельствам.

Готовясь к этому докладу, я вел обильную переписку по электронной почте. Возможность ее воспринимается почти всеми сейчас как нечто, само собой разумеющееся. Но ее сделал возможной такой уровень математики, выстроенной за 2 тыс. лет, полномасштабную убедительность которого ни мы сами, ни авторитетные для нас люди проверить не в состоянии. Математика верна кроме всего прочего и потому, что открытие уравнений Максвелла привело к технике передачи информации электромагнитными волнами, а Булева алгебра стала работать в вашем и моем ноутбуке.

Культура математического рассуждения в цивилизационном аспекте есть важнейшая форма объективации абстрактного математического знания, способ его передачи от поколения к поколению.

В личностном плане математическую культуру, культуру доказательства я сравнил бы с тренировкой музыканта — отработка точности мелких движений, пока они не станут автоматическими и смогут быть синтезированными, скажем, в «Сонату для скрипки соло» Баха. Кодификация формального языка с его компонентами логики и теории множеств была идеальным средством такой «отработки точных движений». Но если она сопровождается идеологической пропагандой вроде интуиционизма или конструктивизма, она становится философски зашоренной и цивилизационную ценность теряет.

Математический язык является формальным языком людей изучающих точные науки. Считается, что он более краток и ясен, чем обычный, потому что оперирует точными понятиями, конкретен и состоит из логических высказываний с универсальными логическими символами.

История

Буквенные обозначения, которые применяются в алгебре, не использовались в древности, уравнения записывали в письменной форме. Первые сокращенные обозначения известных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта во II веке нашей эры. В XII веке стала известна в Европе «Алгебра» арабского астронома и математика Аль-Хорезми , переведенная на латинский язык. С этого времени появляются сокращенные обозначения для неизвестных. Когда в XVI веке Дель Ферро и Тарталья - итальянские математики - открыли правила для решения кубических уравнений, сложность этих правил потребовала усовершенствования существующих обозначений. Усовершенствование происходило в течение целого столетия. Французский математик Виета в конце XVI века ввел буквенные обозначения и для известных величин. Были введены сокращенные обозначения действий. Правда, обозначение действий еще долго выглядело у разных авторов согласно их представлению. И только в XVII веке благодаря французскому ученому Декарту алгебраическая символика приобрела вид очень близкий известному сейчас.

Знаки математического языка

Основными типами математического языка являются знаки объектов – это числа, множества, вектора и так далее, знаки отношений между объектами - «›», «=» и так далее. А также операторы или знаки операций , например, знаки «-», «+» , «F», «sin» и так далее. Сюда же необходимо отнести несобственные или вспомогательные знаки : скобки, кавычки и так далее.

Современная математика имеет в своем арсенале очень развитые знаковые системы, позволяющие отразить тончайшие оттенки мыслительного процесса. Культурный человек должен уметь говорить, писать, думать на математическом языке, поскольку это тот язык на котором «говорит» окружающая действительность. Знание математического языка дает богатейшие возможности для анализа научного мышления и всего процесса познания.

Пример

1. На обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Математическим языком это будет написанно как:

a + b = b + a .

Запись a + b = b + a экономна и удобна для применения.

2. Пример обратного перевода, на математическом языке записан распределительный закон:

a (b + c) = ab + ac .

Перевод на обычный язык: «Чтобы умножить число a на сумму чисел b и c , надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».

Математика - это язык.

Давид Гилберт

Математика - это язык. Язык нужен для коммуникации, чтобы передать смысл, возникший у одного человека к другому человеку. Для этого служат предложения этого языка, составленные по определенным правилам.Почему люди учат разные языки, что это им дает кроме возможности общаться в других странах? Ответ - каждый язык имеет слова, не существующие в других языках, поэтому позволяет описывать (и видеть) такие явления, которые никогда человек бы не увидел, если бы не знал этого языка. Знание еще одного языка позволяет получить еще одно, отличное от других, видение мира. (У эскимосов в языке существует 20 разных слов для обозначения снега, в отличие от русского, где всего одно. Хотя, например, в русском есть такое слово «наст» для обозначения корки, образующейся на снегу после оттепели, за которой сразу наступили заморозки. Есть, вероятно, и другие слова, описывающие особые состояния снега).

Математика как язык науки

Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить физические характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Скажем, каким образом в физических терминах описать тяготение, эффекты электромагнетизма и т.п.? Их можно представить только математически как определенные числовые соотношения в законах, фиксируемых количественными показателями. Современная наука в лице квантовой механики и чуть ранее теория относительности лишь прибавили абстрактности теоретическим объектам, вполне лишая их наглядности. Только и остается апеллировать к математике. Заявил же однажды Л. Ландау, что современному физику вовсе не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику.

Рассмотренное обстоятельство и выдвигает математику на роль языка науки. Пожалуй, впервые отчетливо это прозвучало у Г. Галилея, одного из решающих персонажей в создании математического естествознания, господствующего вот уже более трехсот лет. Галилей писал: "Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, который сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики".

По мере роста абстрактности естествознания эта идея находила все более широкую реализацию, а на склоне XIX в. столетия уже вошла в практику научного исследования в качестве своего рода методологической максимы. Именно так прозвучали слова известного американского физика-теоретика Д. Гиббса, когда однажды при обсуждении вопроса о преподавании английского языка в школе, он, по обыкновению молчавший на подобных совещаниях, неожиданно произнес: "Математика - тоже язык". Дескать, что вы тут все об английском да об английском, математика - также язык. Выражение стало крылатым. И вот уже вослед тому английский физикохимик, лауреат Нобелевской премии (полученной, кстати сказать, вместе с нашим Н. Семеновым) Ханшельвуд объявляет, что ученые должны знать математику как родной язык.

Характерно рассуждение замечательного отечественного исследователя В. Налимова, работавшего в области наукометрии, теории математического эксперимента, предложившего вероятностные модели языка. Хорошая наука, пишет он, говорит на языке математики. Мы, люди, почему-то устроены так, что воспринимаем Мироздание через пространство, время и число. Это значит, что мы подготовлены к тому, чтобы обращаться к математике, подготовлены эволюцией живого, то есть априорно. Пытаясь приоткрыть тайную подоплеку математической власти над ученым, Налимов замечает далее: "Меня часто обвиняют, что я применяю математику в исследовании сознания, языковедения, биологической эволюции. Но разве там есть математика как таковая? Вряд ли. Математикой я пользуюсь как Наблюдатель. Так мне удобнее мыслить, иначе я не могу. Пространство, время, число и логика - это прерогатива Наблюдателя".

Ситуация порой складывается в науке так, что без применения соответствующего математического языка понять характер физического, химического и т.п. процесса невозможно. Не случайно признание П. Дирака, что каждый новый шаг в развитии физики требует все более высокой математики. Такой факт. Создавая планетарную модель атома, известный английский физик XX в. Э. Резерфорд испытал математические трудности. Вначале его теорию не приняли: она не звучала доказательно, и виной тому явилось незнание Резерфордом теории вероятности, на основе механизма которой только и возможно было понять модельное представление атомных взаимодействий. Осознав это, выдающийся уже к тому времени ученый, обладатель Нобелевской премии, записался в семинар математика профессора Лэмба и в течение двух лет вместе со студентами прослушал курс и отработал практикум по теории вероятности. На ее основе Резерфорд смог описать поведение электрона, придав своей структурной модели убедительную точность и получив признание.

Напрашивается вопрос, что же содержится в объективных явлениях такое математическое, благодаря чему они и поддаются описанию на языке математики, на языке количественных характеристик? Это однородные единицы вещества, распределяемые в пространстве и времени. Те науки, которые дальше других прошли путь к выделению однородности, и оказываются лучше приспособленными для использования в них математики. В частности, более всего - физика. В. Ленин, отмечая серьезные успехи естествознания и прежде всего физического знания на рубеже XIX-XX столетий, видел одну из причин именно в том, что природу удалось приблизить "к таким однородным элементам материи, законы движения которых допускали математическую обработку".

Вслед за физикой идут химические дисциплины, где также оперируют атомами и молекулами, и куда методом "парадигмальной прививки" перетекают из физики многие однородные единицы вещества и поля вместе с соответствующими приемами исследований. Все более утверждается математическая химия. Много слабее математический язык вошел пока в биологию, поскольку единицы субстрата здесь еще не выделены, кроме генетики. Еще менее подготовлены к этому гуманитарные разделы научного знания. Прорыв наблюдается только в языкознании с созданием и успешным развитием математической лингвистики, а также в логике (математическая логика). Науки об обществе, конечно, трудно подвержены количественному анализу в силу специфики явлений и процессов, здесь протекающих, поскольку отмечены неповторимостью и уникальностью. Интересную попытку выявить однородные элементы в исторических процессах предпринял Л. Толстой. В романе "Война и мир" писатель вводит понятие "дифференциал исторического действия" и поясняет, что лишь допустив бесконечно малую единицу - дифференциал истории, то есть "однородные влечения людей", а затем научившись их интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), можно надеяться на постижение истории.

Однако подобная однородность оказывается весьма условной, поскольку "влечения людей" всегда окрашены индивидуальной уникальностью, психологически вариативны, что будет накладывать трудно учитываемые возмущения на постулируемую однородность. Вообще каждое событие в истории общества достаточно своеобразно и не поддается нивелированию в однородные единицы. Хорошая тому иллюстрация - одно рассуждение А. Пуанкаре. Как-то он прочитал у известного английского историка XIX в. Т. Карлейля констатацию: "Здесь прошел Иоанн Безземелный, и этот факт мне дороже, чем все исторические теории". Пуанкаре по сему поводу заметил: "Это язык историка. Физик бы так не сказал. Физик сказал бы: "Здесь прошел Иоанн Безземельный, и мне это совершенно безразлично, потому что больше он здесь не пройдет". Возражение математика Пуанкаре понятно: физику нужна повторяемость, лишь тогда он сможет выводить законы. Наоборот, неповторимость события - тот материал, который питает историческое описание.

Отметим, что понимание однородности как условия применимости математического описания явлений пришло в науку довольно поздно. До известного времени считали невозможным отвлечься от предметных значений, чтобы перейти к числовым характеристикам. Так, еще Г. Галилей, один из основателей математического естествознания, не хотел принимать скорость равномерного прямолинейного движения в форме. Он полагал, что действие деления пути на время физически некорректно, поскольку необходимо было делить километры, метры, и т.п. на часы, минуты, и т.п. То есть считал, недопустимым проводить операцию деления с качественно неоднородными величинами. Для Галилея уравнение скорости имело чисто содержательное значение, но отнюдь не математическое отношение величин. И лишь столетия спустя академик Петербургской академии наук Л. Эйлер, вводя в научный обиход формулу, разъяснил, что мы делим этим не путь на время и, следовательно, не километры или метры на часы, либо минуты, а одну количественную размерность на другую, одно отвлеченное числовое значение на другое. Как замечает М. Розов, Эйлер указанным актом совершил знаково-предметную инверсию, переведя содержательное описание в алгебраически-отвлеченное 63 . То есть Эйлер принимает качественно данные километры, метры, часы, минуты и т.п. в качестве абстрактной меры за единицы измерения и тогда имеем уже, скажем, не 10 метров, а 10 отвлеченных единиц, которые делим, положим, не на 2 секунды, а на две столь же абстрактные единицы. Таким приемом нам удается качественно разнородные предметы, имеющие пространственную и временную определенность инвертировать в однородность, что и позволяет применить математический количественный язык описания.

Секция Математика

«Язык математики»

Выполнила Шаповалова Анна

Научный руководитель

учитель математики высшей квалификационной категории.

Введение.

Увидев в кабинете высказывание Г. Галилея «Книга природы написана языком математики» я заинтересовалась: а что же это за язык?

Оказывается, Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.

И вот, что бы найти ответ на вопрос о математическом языке, я изучила много литературы, материалов из интернета.

В, частности, нашла в Интернете «Историю математики» , где узнала этапы развития математики и математического языка.

Я постаралась ответить на вопросы:

· как возник математический язык;

· что собой представляет математический язык;

· где он распространен;

· действительно ли он универсален.

Я думаю, это будет интересно не только мне, т. к. все мы пользуемся языком математики.

Поэтому целью моей работы стало изучение такого явления как «математический язык» и его распространение.

Естественно, что объектом исследования будет математический язык.

Я сделаю анализ применения математического языка в различных областях науки (естествознании, литературе, музыке); в повседневной жизни. Докажу, что этот язык действительно универсален.

Краткая история развития математического языка.

Математика удобна для описа­ния самых разнообразных явлений реального мира и тем самым может выполнять функцию языка.

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии , сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т. п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции , исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Язык современной математики - результат ее длительного развития. В период своего за­рождения (до VI в. до н. э.) математика не имела собственного языка. В процессе формирования письменности появились математические знаки для обозначения некоторых натуральных чисел и дробей. Математический язык античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел был скуден:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,..., L,..., C,..., D,..., M.

Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I - это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от просто системы обозначения чисел

I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, . . .

к более сложной, экономной системе скорее «имен», чем символов:

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

2. Перловский Л. Сознание, язык и математика. "Русский журнал" *****@***ru

3. Грин Ф. Математическая гармония природы. Журнал « Новые Грани» №2 2005 года

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, М.: ИЛ, 1963.

5. Стройк Д. Я «История математики» - М.: Наука, 1984.

6. Эвфоника «Незнакомки» А. М.ФИНКЕЛЬ Публикация, подготовка текста и комментарии Сергея ГИНДИНА

7. Эвфоника «Зимней дороги» . Научный руководитель – учитель русского языка