Названия свойств числовых неравенств. Основные свойства числовых неравенств
§ 1 Универсальный способ сравнения чисел
Познакомимся с основными свойствами числовых неравенств, а также рассмотрим универсальный способ сравнения чисел.
Результат сравнения чисел можно записать с помощью равенства или неравенства. Неравенство может быть строгим и нестрогим. Например, а>3 - это строгое неравенство; а≥3 - это нестрогое неравенство. Способ сравнения чисел зависит от вида сравниваемых чисел. Например, если надо сравнить десятичные дроби, то мы сравниваем их поразрядно; если необходимо сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, то надо привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Но существует универсальный способ сравнения чисел. Он состоит в следующем: находят разность чисел a и b; если a - b > 0, то есть положительное число, то a > b; если a - b < 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
Воспользуемся универсальным способом сравнения. Найдем разность выражений 2b2 - 6b + 1и 2b(b - 3);
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; приведем подобные слагаемые и получим 1. Так как 1 больше нуля, положительное число, то 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 Cвойства числовых неравенств
Свойство 1. Если a> b, b > c, то a> c.
Доказательство. Если a > b, то значит, разность a - b > 0, то есть положительное число. Если b >c, значит, разность b - c > 0, положительное число. Сложим положительные числа a - b и b - c, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a - b) +(b - c) = a- b +b - c= a - c. Так как сумма положительных чисел - число положительное, значит, a - c положительное число. Следовательно, a > c, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если a < b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Доказательство. Найдем разность выражений a + с и b+ с, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a + с) - (b+ с) = a + с - b - с = a - b. По условию a < b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Свойство 3. Если a < b, c - положительное число, то aс < bс.
Если a < b, c- отрицательное число, то aс > bс.
Доказательство. Найдем разность выражений aс и bс, вынесем за скобки с, тогда имеем aс-bс = с(a-b). Но так как a
Если отрицательное число a-b умножим на положительное число с, то произведение с(a-b) отрицательно, следовательно, разность aс-bс отрицательна, а значит, aс
Если же отрицательное число a-b умножить на отрицательное число с, то произведение с(a-b) будет положительно, следовательно, и разность aс-bс будет положительна, значит, aс>bс. Что и требовалось доказать.
Например, a
Так как деление можно заменить умножением на число обратное, = n∙, то доказанное свойство можно применить и для деления. Таким образом, смысл этого свойства в следующем: «Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Обе части неравенства можно умножить или разделить на отрицательное число, при этом необходимо поменять знак неравенства на противоположный знак».
Рассмотрим следствие к свойству 3.
Следствие. Если a
Доказательство. Разделим обе части неравенства a
сократим дроби и получим
Утверждение доказано.
Действительно, например, 2 < 3, но
Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d.
Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+(c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-(b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-(b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d.
Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d- положительные числа. Доказательство. Так как a>b и с - положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b- положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла» Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Свойство 6. Если a < b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Применение свойств
Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств. Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) Оценим разность a - b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a - b заменим суммой a +(-b). Сначала оценим (- b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получим -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число а
положительно, пользуются записью а > 0
, для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0
. Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а
отрицательно, то число -а
положительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r
, что r < а
. Эти факты и лежат в основе теории неравенств. По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно. Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0
. Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0
, т. е. -а > 0
или, иначе, что число -а
положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а
отрицательно. Итак, неравенство а < 0
означает, что число а отрицательно.
Часто используется также запись аb
(или, что то же самое, bа
). (a b) [(a > b) V (a = b)] Пример 1.
Верны ли неравенства 5 0, 0 0? Неравенство 5 0 - это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой "или" (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 - истинно, второе высказывание 5 = 0 - ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно. Аналогично обсуждается запись 00. Неравенства вида а > b, а < b
будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab
- нестрогими. Неравенства а > b
и с > d
(или а < b
и с < d
) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b
и c < d
- неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а < b
неравенство с < d
является неравенством того же смысла, а в записи d > c
(означающей то же самое) - неравенством противоположного смысла. Наряду с неравенствами вида a > b
, ab
употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < b
, ас < b
, a < cb
, а < с < b
(1) а < с
и с < b.
Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас < b, а < сb.
Двойное неравенство (1) можно записать так: (a < c < b) [(a < c) & (c < b)] а двойное неравенство a ≤ c ≤ b
можно записать в следующем виде: (a c b) [(a < c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с
обозначают действительные числа, а n
означает натуральное число. 1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как по условию а > b
и b > c
, то числа а - b
и b - с
положительны, и, следовательно, число а - с = (а - b) + (b - с)
, как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с
. 2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как а > b
, то число а - b
положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b
также является положительным, т. е. 3) Если a + b > c, то a > b - c ,
т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с
прибавить число - b.
4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d,
т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения неравенства достаточно показать, что разность Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d
, то a - d > b - с
(для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d
прибавить число - c - d
). 5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.
Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а > b
, то а - b
есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс
= с(а - b)
совпадает со знаком числа с
: если с
- положительное число, то и разность ас - bc
положительна и потому ас > bс
, а если с < 0
, то эта разность отрицательна и потому bc - ас
положительно, т. е. bc > ас
. 6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd,
т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d)
. Так как с > 0, b > 0,
a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.
Замечание.
Из доказательства видно, что условие d > 0
в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0
. Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d
) числа а, b, с
не будут все положительными, то неравенство ас > bd
может не выполняться. Например, при а
= 2, b
=1, c
= -2, d
= -3 имеем a > b, с
> d
, но неравенство ас > bd
(т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно. 7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).
Д о к а з а т е л ь с т в о. ИмеемЧислитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано. Замечание.
Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств). Д о к а з а т е л ь с т в о. то. Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака >
(больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака <
(меньше), так как неравенство b < а
означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b
. Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс
, то ас
. Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х)
монотонно возрастает на отрезке [а, b]
, то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x
2). Аналогично, если функция y = f{x)
монотонно убывает на отрезке [а, b]
, то при х 1 > х
2 (где х 1
и х
2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) < f(x 2
). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен. Так, например, для любого натурального n функция у = х n
является монотонно возрастающей на луче }
Запись аb
, по определению, означает, что либо а > b
, либо а = b
. Если рассматривать запись аb
как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать
a
cb
. По определению запись
означает, что имеют место оба неравенства:
a + с > b + с.
(а + с} - (b + c)
положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d)
.
Так как по условию числа а - b
и с - d
положительны, то (a + с) - (b + d)
также есть число положительное.