Теория нечетких множеств для. Раздел Fuzzy Logic Toolbox. С.Д.Штовба. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику
1.1 Основные термины и определения
Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа “такой-то элемент принадлежит данному множеству” теряют смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.
Определение 1. Нечетким множеством (fuzzy set) на универсальном множестве U называется совокупность пар (), где - степень принадлежности элемента к нечеткому множеству . Степень принадлежности - это число из диапазона . Чем выше степень принадлежности, тем в большей мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.
Определение 2. Функцией принадлежности (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.
Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов , тогда нечеткое множество записывается в виде . В случае непрерывного множества U используют такое обозначение
Примечание: знаки и в этих формулах означают совокупность пар и u.
Пример 1. Представить в виде нечеткого множества понятие “мужчина среднего роста”.
Решение: = 0/155+0.1/160 + 0.3/165 + 0.8/170 +1/175 +1/180 + 0.5/185 +0/180.
Определение 3. Лингвистической переменной (linguistic variable) называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.
Определение 4. Терм–множеством (term set) называется множество всех возможных значений лингвистической переменной.
Определение 5. Термом (term) называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.
Пример 2. Рассмотрим переменную “скорость автомобиля ”, которая оценивается по шкале “низкая ", "средняя ", "высокая ” и “очень высокая ".
В этом примере лингвистической переменной является “скорость автомобиля ”, термами - лингвистические оценки “низкая ", "средняя ", "высокая ” и “очень высокая ”, которые и составляют терм–множество.
Определение 6. Дефаззификацией (defuzzification) называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.
В теории нечетких множеств процедура дефаззификации аналогична нахождения характеристик положения (математического ожидания, моды, медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности. Однако пригодность этого способа ограничивается лишь одноэкстремальными функциями принадлежности. Для многоэкстремальных функций принадлежности в Fuzzy Logic Toolbox запрограммированы такие методы дефаззификации:
Centroid - центр тяжести;
Bisector - медиана;
LOM (Largest Of Maximums) - наибольший из максимумов;
SOM (Smallest Of Maximums) - наименьший из максимумов;
Mom (Mean Of Maximums) - центр максимумов.
Определение 7. Дефаззификация нечеткого множества по методу центра тяжести осуществляется по формуле .
Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества. В случае дискретного универсального множества дефаззификация нечеткого множества по методу центра тяжести осуществляется по формуле .
Определение 8. Дефаззификация нечеткого множества по методу медианы состоит в нахождении такого числа a, что .
Геометрической интерпретацией метода медианы является нахождения такой точки на оси абцисс, что перпендикуляр, восстановленный в этой точке, делит площадь под кривой функции принадлежности на две равные части. В случае дискретного универсального множества дефаззификация нечеткого множества по методу медианы осуществляется по формуле .
Определение 9. Дефаззификация нечеткого множества по методу центра максимумов осуществляется по формуле:
где G – множество всех элементов из интервала , имеющих максимальную степень принадлежности нечеткому множеству .
В методе центра максимумов находится среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей. Если множество таких элементов конечно, то формула из определения 9 упрощается к следующему виду:
где - мощность множества G.
В дискретном случае дефаззификация по методам наибольшего из максимумов и наименьшего из максимумов осуществляется по формулам и , соответственно. Из последних трех формулы видно, что если функция принадлежности имеет только один максимум, то его координата и является четким аналогом нечеткого множества.
Пример 3. Провести дефаззификацию нечеткого множества “мужчина среднего роста ” из примера 1 по методу центра тяжести.
Решение: Применяя формулу из определения 7, получаем:
Определение 10. Нечеткой базой знаний (fuzzy knowledge base) о влиянии факторов на значение параметра y называется совокупность логических высказываний типа:
ТО , для всех ,
где - нечеткий терм, которым оценивается переменная в строчке с номером jp ();
Количество строчек-конъюнкций, в которых выход y оценивается нечетким термом , ;
Количество термов, используемых для лингвистической оценки выходного параметра y.
С помощью операций (ИЛИ) и (И) нечеткую базу знаний из определения 10 перепишем в более компактном виде:
Определение 11. Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется апроксимация зависимости с помощью нечеткой базы знаний и операций над нечеткими множествами.
Пусть - функция принадлежности входа нечеткому терму , , , , т. е. ; - функция принадлежности выхода y нечеткому терму , , т. е. . Тогда степень принадлежности конкретного входного вектора нечетким термам из базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:
где - операция максимума (минимума).
Нечеткое множество , соответствующее входному вектору , определяется следующим образом:
где - операция объединения нечетких множеств.
Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору определяется в результате деффаззификации нечеткого .
1.2. Свойства нечетких множеств
Определение 12. Высотой нечеткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности: . Для дискретного универсального множества супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов
Определение 13. нормальным, если его высота равна единице. Нечеткие множества не являющиеся нормальными называются субнормальными . Нормализация ‑ преобразование субнормального нечеткого множества в нормальное определяется так: . В качестве примера на рис. 1 показана нормализация нечеткого множества с функцией принадлежности .
Рисунок 1 - Нормализация нечеткого множества
Определение 14. Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: .
Определение 15. Нечеткое множество называется пустым , если его носитель является пустым множеством.
Определение 16. Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.
Определение 17. - сечением (или множеством -уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные : , . Значение называют -уровнем . Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном) -уровне.
Рис. 2 иллюстрирует определения носителя, ядра, - сечения и - уровня нечеткого множества.
Рисунок 2 - Ядро, носитель и - сечение нечеткого множества
Определение 18. Нечеткое множество называется выпуклым если: , , . Альтернативное определение: нечеткое множество будет выпуклым , если все его - сечения - выпуклые множества. На рис. 3 приведены примеры выпуклого и невыпуклого нечетких множеств.
Рисунок 3 - К определению выпуклого нечеткого множества
Определение 19. Нечеткие множества и равны () если .
1.3. Операции над нечеткими множеств
Определения нечетких теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения могут быть обобщены из обычной теории множеств. В отличие от обычных множеств, в теории нечетких множеств степень принадлежности не ограничена лишь бинарной значениями 0 и 1 ‑ она может принимать значения из интервала . Поэтому, нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операций объединения, пересечения и дополнения над не нечеткими множествами должно дать такие же результаты, как и при использование обычных канторовских теоретико-множественных операций. Ниже приведены определения нечетких теоретико-множественных операций, предложенных Л. Заде.
Определение 20. Дополнением нечеткого множества заданного на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . На рис. 4 приведен пример выполнения операции нечеткого дополнения.
Рисунок 4 - Дополнение нечеткого множества
Определение 21. Пересечением нечетких множеств и заданных на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения минимума также обозначается знаком , т.е. .
Определение 22. Объединением нечетких множеств и заданных на называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения максимума также обозначается знаком , т.е. .
Обобщенные определения операций нечеткого пересечения и объединения - треугольной нормы (t-нормы) и треугольной конормы (t-конормы или s-нормы) приведены ниже.
Определение 23. Треугольной нормой (t-нормой)
Наиболее часто используются такие t-нормы: пересечение по Заде ‑ ; вероятностное пересечение ‑ ; пересечение по Лукасевичу ‑ . Примеры выполнения пересечения нечетких множеств с использованием этих t-норм показаны на рис. 5.
Рисунок 5 - Пересечение нечетких множеств с использованием различных t-норм
Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой) называется бинарная операция на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых :
Наиболее часто используются такие s-нормы: объединение по Заде ‑ ; вероятностное объединение ‑ ; объединение по Лукасевичу ‑ . Примеры выполнения объединения нечетких множеств с использованием этих s-норм показаны на рис. 6.
Наиболее известные треугольные нормы приведены в табл. 1.
Рисунок 6 - Объединение нечетких множеств с использованием различных s-норм
Таблица 1 - Примеры треугольных норм
| Параметр |
||
1.4. Нечеткая арифметика
В этом разделе рассматриваются способы расчета значений четких алгебраических функций от нечетких аргументов. Материал основывается на понятиях нечеткого числа и принципа нечеткого обобщения. В конце раздела приводятся правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами.
Определение 25. Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел. Например, нечеткое число "около 10" можно задать следующей функцией принадлежности: .
Определение 26. Нечеткое число называется положительным (отрицательным) если , ().
Определение 27. Принцип обобщения Заде. Если ‑ функция от n независимых переменных и аргументы заданы нечеткими числами , соответственно, то значением функции называется нечеткое число с функцией принадлежности:
Принцип обобщения позволяет найти функцию принадлежности нечеткого числа, соответствующего значения четкой функции от нечетких аргументов. Компьютерно-ориентированная реализация принципа нечеткого обобщения осуществляется по следующему алгоритму:
Шаг 1. Зафиксировать значение .
Шаг 2. Найти все n-ки , , удовлетворяющие условиям и , .
Шаг 3. Степень принадлежности элемента нечеткому числу вычислить по формуле: .
Шаг 4. Проверить условие "Взяты все элементы y?". Если "да", то перейти к шагу 5. Иначе зафиксировать новое значение и перейти к шагу 2.
Шаг 5. Конец.
Приведенный алгоритм основан на представлении нечеткого числа на дискретном универсальном множестве, т.е. . Обычно исходные данные , задаются кусочно-непрерывными функциями принадлежности: . Для вычисления значений функции аргументы , дискретизируют, т.е. представляют в виде . Число точек выбирают так, чтобы обеспечить требуемую точность вычислений. На выходе этого алгоритма получается нечеткое множество, также заданное на дискретном универсальном множестве. Результирующую кусочно-непрерывную функцию принадлежности нечеткого числа получают как верхнюю огибающую точек .
Пример 4. Нечеткие числа и заданы следующими трапециевидными функциями принадлежности:
Необходимо найти нечеткое число с использованием принципа обобщения из определения 27.
Зададим нечеткие аргументы на четырех точках (дискретах): {1, 2, 3 4} для и {2, 3, 4 8} для . Тогда: и . Процесс выполнения умножения над нечеткими числами сведен в табл. 2. Каждый столбец таблицы соответствует одной итерации алгоритма нечеткого обобщения. Результирующее нечеткое множество задано первой и последней строчками таблицы. В первой строке записаны элементы универсального множества, а в последней строке - степени их принадлежности к значению выражения . В результате получаем: . Предположим, что тип функция принадлежности будет таким же, как и аргументов и , т. е. трапециевидной. В этом случае функция принадлежности задается выражением: . На рис. 7 показаны результаты выполнения операции с представлением нечетких множителей на 4-х дискретах. Красными звездочками показаны элементы нечеткого множества из табл. 2, а тонкой красной линией - трапециевидная функция принадлежности.
Исследуем, как измениться результат нечеткого обобщения при увеличении числа дискрет, на которых задаются аргументы. Нечеткое число при задании аргументов и на 30 дискретах приведено на рис. 7. Синими точками показаны элементы нечеткого множества , найденные по принципу обобщения, а зеленой линией - верхняя огибающая этих точек ‑ функция принадлежности . Функция принадлежности результата имеет форму криволинейной трапеции, немного выгнутой влево.
Таблица 2 - К примеру 4
| 1 , где. По -сечения нечеткого множества, а жирной синей линией -кусочно-линейная аппроксимация функции принадлежности нечеткого числа |
||||||||||||||||
Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество - понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения 0 или 1.
Определение : нечеткое множество (a fuzzy set)
Пусть C есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество A в C определяется как упорядоченное множество пар
где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству A .
ФП приписывает каждому элементу из C значение из интервала , которое называется степенью принадлежности х к A или нечеткой мерой.
Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит A .
Определение : основа нечеткого множества (a support of a fuzzyset)
Основой нечеткого множества A является множество всех точек таких, что .
Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум C может быть дискретным или непрерывным множеством.
Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.
Типовые представления ФП
Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами {a, b, c }, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:
Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами {a,b,c,d }, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:
Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП
Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .
Рис. 2.3. Гауссовская ФП
Лингвистические переменные
Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.
Определение : лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где – имя переменной, – терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы , M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X .
Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:
(возраст) = {очень молодой , молодой , более или менее молодой , средних лет , старый , очень старый }.
Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.
Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:
x – расстояние между машинами;
y – скорость впереди едущей машины;
z – ускорение управляемого автомобиля.
ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.
Определим для нашего примера следующие универсумы:
[м], [км/час],
[км/час 2 ].
На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.
Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля
Различия между классическим и нечетким представлением множества
Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).
На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества A для данного примера.
Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A
Определим классическое представление множества A так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:
Нечеткое представление множества A показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:
Зададим теперь следующий вопрос : принадлежит ли точка м или точка м множествуA ?
С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».
Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.
С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.
Основные операции в теории нечетких множеств
Определим основные нечеткие операции следующим образом.
Определение : нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество A содержится в нечетком множестве B (или, эквивалентно, A является подмножеством B ) тогда и только тогда, когда для всех . В символьной форме:
Определение :эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств A и B определяется следующим образом:
Для каждого .
Определение :нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union).Объединение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме пишется как или A OR B или A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:
Определение :нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection).Пересечение двух нечетких множеств A и B (в символьной форме записывается как , или C = A AND B , или C = A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:
Определение :нечеткое дополнение. Дополнение A (в символьной форме пишется как или ) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:
На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.
Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами
Особенности нечетких множеств
Отметим важные особенности теории нечетких множеств.
1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции , где - пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются .
Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и .
2) В классической теории множеств точка из множества A может иметь одну из двух возможностей: or . В нечеткой теории точка может принадлежать множеству A и одновременно не принадлежать A (т.е. принадлежать множеству ) с различными значениями функций принадлежности и , как показано на рис. 2.7.
Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.
1. Нечеткие множества
2. Методы оптимизации
Нечеткие множества
Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.
Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.
Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).
Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.
Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.
Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удовлетворяет свойству R , и 0 - в противном случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М называют множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .
Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множество называется субнормальным.
Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле
В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить матрицей отношений , где (операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .
Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.
Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.
Нечеткое множество - это множество пар
Так, на пример, можно задать для числа 7 множество:
<0/1>,<0.4/3>,<1/7> Это множество говорит о том, что 7 - это на 0% единица, на 40% тройка и на 100% семерка.
Нечеткая переменная определяется как
A - наименование переменной,
X={x} - область определения переменной, набор возможных значений x,
Ca={
Пример: <"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>}>. Этой записью мы определили соответствия между словом и некоторыми цифрами. Причем, как в названии переменной, так и в значениях x можно было использовать любые записи, несущие какую-либо информацию.
Лингвистическая переменная определяется как
B - наименование переменной.T - множество её значений (базовое терм-множество), состоит из наименований нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.
G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности - генерировать новые осмысленные термы. T`=T U G(T) задает расширенное терм-множество (U - знак объединения).
M - семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению лингвистической переменной нечеткую семантику, путем формирования нового нечеткого множества.
Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как "пpимеpно pавно 5", "скоpость чyть больше 300 км/ч" и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.
Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.
Лингвистическая пеpеменная это множество нечетких пеpеменных, она использyется для того чтобы дать словесное описание некотоpомy нечеткомy числy, полyченномy в pезyльтате некотоpых опеpаций. Т. е. пyтем некотоpых опеpаций подбиpается ближайшее по значению из лингвистической пеpеменной.
Хочy дать несколько советов для твоей пpоги. Hечеткие числа лyчше хpанить как отсоpтиpованное множество паp (соpтиpyется по носителям), за счет этого можно yскоpить выполнения всех логических и математических опеpаций. Когда pеализyешь аpифметические опеpации, то нyжно yчитывать погpешность вычислений, т. е. 2/4 <> 1/2 для компьютеpа, когда я с этим столкнyлся, мне пpишлось несколько yсложнить сpавнение паp, а сpавнений пpиходится делать много. Hосители в нечетких числах должны быть кpатными какому-нибуть числy, иначе pезyльтаты аpиф. опеpаций бyдyт "некpасивыми", т. е. pезyльтат бyдет неточным, особенно это видно пpи yмножении.
За счет хpанения нечетких чисел в отсоpтиpованном виде, я добился того что аpифметические опеpации y меня выполняются по почти линейной зависимости (во вpемени), т. е. пpи yвеличении количества паpа, скоpость вычислений падала линейно. Я пpидyмал и pеализовал точные аpиф. опеpации пpи котоpых не имеет значение кол-во и кpатность носителей, pезyльтат всегда бyдет точным и "кpасивым", т. е. если пеpвоначальные числа были похожи на пеpевеpнyтyю параболу, то и pезyльтат бyдет похожим, а пpи обычных опеpациях он полyчается стyпенчатым. Я так же ввел понятие "обpатные нечеткие числа" (хотя не до конца pеализовал), для чего они нyжны? Как ты знаешь пpи вычитании или делении число из котоpого вычитается дpyгое должно быть шиpе, а это большая пpоблема пpи pешении сложных ypавнений, вот "обpатные нечеткие числа" позволяют это делать.
Базовые операции над нечеткими множествами.
ОБЪЕДИНЕНИЕ: создается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.
A U B = {
НОРМАЛИЗАЦИЯ: нечеткое множество нормально если супремум множества равен единице. Для нормализации перечитывают принадлежности элементов:
M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) АЛЬФА-СРЕЗ: множество альфа уровня - те элементы исходного множества, принадлежность которых выше или равна заданного порога. Порог, равный 1/2, называют точкой перехода. Aq = {x|x?X /\ Ma(x)>q} НЕЧЕТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ: степень включения нечеткого множества V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(x0))&(Ma1(x1)->Ma2(x1))&.. По Лукасевичу: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) По Заде: Ma1(x)->Ma2(x) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) НЕЧЕТКОЕ РАВЕНСТВО: степень нечеткого равенства R(A1,A2) = V(A1,A2) & V(A2,A1)
Словарь
АДАПТАЦИЯ - Любое изменение в структуре или функции организма, которое позволяет ему выживать во внешней среде.
АЛЛЕЛИ - Возможные значения генов.
ГА - Генетический алгоритм. Интеллектуальное исследование произвольного поиска. . Представлен Holland 1975.
ГА МОДЕЛЬ ОСТРОВА (IMGA) - Популяция ГА разделена в несколько подсовокупностей, каждая из которых беспорядочно инициализирована и выполняет независимый последовательный ГА на собственной подпопуляции. Иногда, пригодные ветви решений мигрируют между подсовокупностями. [Например. Levine 1994].
ГЕНЫ - Переменные в хромосоме.
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ ДРЕЙФ - Члены популяции сходятся к некоторой отметке пространства решения вне оптимума из-за накопления стохастических ошибок.
ГЕНОТИП - Фактическая структура. Кодированная хромосома.
ГП - Генетическое программирование. Прикладные программы использующие принципы эволюционной адаптации к конструкции процедурного кода.
ДИПЛОИД - В каждом участке хромосомы имеется пара генов. Это позволяет сохраняться долгосрочной памяти.
КГА - Компактный ГА (CGA). В CGA, две или больше совокупности ген постоянно взаимодействуют и взаимно развиваются.
КРОССИНГОВЕР - Обмен отрезками хромосом родителей. В диапазоне от 75 до 95% появляются самые лучшие особи.
ЛОКУС - Позиция гена в хромосоме.
МУТАЦИЯ - Произвольная модификация хромосомы.
СИНАПС - Вход нейрона.
СХЕМА (шемма) - Подмножество подобных хромосом, содержащих модель значений гена.
СХОДИМОСТЬ - Прогрессия к увеличивающейся однородности. Ген, как считают, сходится когда 95% популяции имеет то же самое значение .
УНС - Унифицированная нейронная сеть.
ФИТНЕС-ФУНКЦИЯ - Значение являющееся целевым функциональным значением решения. Оно также называется функцией оценки или функцией цели в проблемах оптимизации.
ФЕНОТИП - Физическое выражение структуры. Декодированный набор ген.
ХРОМОСОМА - Составляющий вектор, строка, или решение.
- Д. -Э. Бэстенс, В. .М. Ван Ден Берг, Д. Вуд. .Hейронные сети и финансовые рынки.., Москва, научное издательство.ТВП., 1997.
- Галушкин А. И. .Hейрокомпьютеры и их применение. Книга 1. Теория нейронных сетей.. Москва, Издательское предприятие редакции журнала.Радиотехника.,2000.
- Тейво Кохонен, Гвидо Дебок.Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт., Москва, издательский дом.Альпина., 2001.
- Ф. Уоссерман. .Hейрокомпьютерная техника., Москва, издательство.Мир., 1992.
- Шумский C. A. .Hейрокомпьютинг и его применение в экономике и бизнесе., Москва, издательство МИФИ, 1998.
- А. И. Змитрович Интеллектуальные информационные системы. - Минск.: HТООО "Тетра Системс", 1997. - 368с.
- В. В. Корнеев, А. Ф. Гарев, С. В. Васютин, В. В. Райх Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. - М.: "Hолидж", 2000. - 352с.
Нечеткое множество - ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ-сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар
А = { μ A (x ) / x },
где μ А (х) —характеристическая функция, принимающая значе-ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль-ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар
А = { μ A (x ) / x },
где μ А (х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) , принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ).
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы-вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.
Примеры записи нечеткого множества
Пусть Е = {x 1 , x 2 , х з, x 4 , x 5 }, М = ; А — нечеткое множество, для которого μ A (x 1 )= 0,3; μ A (х 2 )= 0; μ A (х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A (х 5 )= 0,9.
Тогда А можно представить в виде
А = {0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 },
или
А ={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },
или
Замечание . Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.
Основные характеристики нечетких множеств
Пусть М = и А — нечеткое множество с элементами из универсаль-ного множества Е и множеством принадлежностей М.
Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав-на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (= 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.
Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ A (x ) = 0. Непу-стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле
Нечеткое множество унимодально, если μ A (x ) = 1 только на одном х из Е.
. Носителем нечеткого множества А является обычное под-множество со свойством μ A (x )>0, т.е. носитель А = {x /x ϵ E, μ A (x )>0}.
Элементы x ϵ E , для которых μ A (x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.
Примеры нечетких множеств
1. Пусть Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М = . Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:
«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода — {3, 8}.
2. Пусть Е = {0, 1, 2, 3,…, n ,… }. Нечеткое множество «Малый» можно определить:
3. Пусть Е = {1, 2, 3, . . ., 100} и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью
Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е" = {ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ,...} задается с помощью функции при-надлежности μ Молодой (x ) на Е = {1, 2, 3, . . ., 100} (возраст), называемой по отношению к Е" функцией совместимости, при этом:
где х — возраст СИДОРОВА.
4. Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… } - множе-ство марок автомобилей, а Е" = — универсальное множество «Сто-имость», тогда на Е" мы можем определить нечеткие множества типа:
Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности
«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при-надлежности вида рис. 1.1.
Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е" нечеткие множества с этими же названиями.
Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни-версальном множестве Е = { ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...}, выглядит так, как показано на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества
Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.
5. Пусть Е — множество целых чисел:
Е = {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.
Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:
А = {0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.
О методах построения функций принадлежности нечет-ких множеств
В приведенных выше примерах использованы пря-мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μ А (х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис-пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.
Во многих задачах при характеристике объекта можно выде-лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.
Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц
|
x 1 |
высота лба |
||
|
x 2 |
профиль носа |
курносый |
горбатый |
|
длина носа |
короткий |
||
|
x 4 |
разрез глаз |
||
|
цвет глаз |
|||
|
форма подбородка |
остроконечный |
квадратный |
|
|
x 7 |
толщина губ |
||
|
цвет лица |
|||
|
очертание лица |
овальное |
квадратное |
Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка-лы, задает μ A (х) ϵ , формируя векторную функцию принад-лежности { μ A (х 1 ) , μ A (х 2 ),…, μ A (х 9) }.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет-ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че-ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μ лысый (данного лица). (В этом примере можно действо-вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)
Косвенные методы определения значений функции принад-лежности используются в случаях, когда нет элементарных из-меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне-ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из-вестны, например, μ A (х- i ) = ω i , i = 1, 2, ..., n ,то попарные срав-нения можно представить матрицей отношений А = { a ij }, где a ij = ω i / ω j (операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом пред-полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен-тов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по-следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw = λ max w , где λ max — наибольшее собствен-ное значение матрицы А . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло-жительным.
Можно отметить еще два подхода:
- использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа - см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
- использование относительных частот по данным экспе-римента в качестве значений принадлежности.
