Тест раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы. Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы, взяв его с противоположным знаком.

321.Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стерли знаки между слагаемыми. Восстановите запись: 7 a 5b Зa b 4 b 4а = 10 b; 7 a 5b Зa b 4 b 4а = 6а. 323.Расставьте скобки так, чтобы путем преобразования левой части равенства можно было получить правую часть: а)2k - а - k - а = k; в) ab аb + 1 = 0; 324.Раскройте скобки: б)а - (2х - (2а - х)); г) b - (2с - (3b + (4с - 5b))).

Задача-исследование 305 1)Выясните, делится ли сумма: а)любых трех последовательных натуральных чисел на 3; б)любых четырех последовательных натуральных чисел на 4; в) любых пяти последовательных натуральных чисел на 5 г) любых шести последовательных натуральных чисел на 6 2)Установите закономерность и сформулируйте правило.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Инструкция

Перед тем как привести подобные слагаемые в многочлене, часто возникает необходимость совершить промежуточные действия: раскрыть все скобки, возвести и привести в стандартный вид сами слагаемые. То есть записать их в виде произведения числового множителя и переменных. Например, выражение 3xy(–1,5)y², приведенное к стандартному виду, будет выглядеть так: –4,5xy³.

Раскройте все скобки. Опустите скобки в выражениях типа A+B+C. Если перед стоит знак «плюс», то всех слагаемых сохраняются. Если перед скобками стоит знак «минус», то знаки всех слагаемых поменяйте на противоположные. Например, (x³–2x)–(11x²–5ax)=x³–2x–11x²+5ax.

Если необходимо умножить многочлен на многочлен, перемножьте все слагаемые между собой и сложите полученные одночлены. При возведении многочлена A+B в степень примените сокращенного умножения. Например, (2ax–3y)(4y+5a)=2ax∙4y–3y∙4y+2ax∙5a–3y∙5a.

Приведите одночлены к стандартному виду. Для этого сгруппируйте числовые и степени с основаниями. Далее перемножьте их между собой. Если требуется, возведите одночлен в степень. Например, 2ax∙5a–3y∙5a+(2xa)³=10a²x–15ay+8a³x³.

Найдите в выражении слагаемые, которые имеют одну и ту же буквенную часть. Выделите их особым подчеркиванием для наглядности: одной прямой чертой, одной волнистой чертой, двумя простыми черточками и пр.

Сложите коэффициенты подобных слагаемых. Умножьте полученное число на буквенное выражение. Подобные слагаемые приведены. Например, x²–2x–3x+6+x²+6x–5x–30–2x²+14x–26=x²+x²–2x²–2x–3x+6x–5x+14x+6–30–26=10x–50.

Источники:

• Одночлен и многочлен
• Помоите плж: запиши: а) сумму, где первое слагаемое

Даже самое сложное уравнение перестает выглядеть пугающим, если привести его к виду, с которым вы уже сталкивались. Наиболее простым способом, который выручает в любой ситуации, является приведение многочленов к стандартному виду. Это исходная точка, из которой вы можете двигаться дальше к решению.

Вам понадобится

• лист бумаги
• цветные ручки

Инструкция

Запомните стандартную форму , чтобы знать, что вы должны получить в результате. Значимость имеет даже порядок записи: первыми должны стоять члены с большей . Кроме того, принято сперва записывать неизвестные, обозначенные буквами, стоящими в начале алфавита.

Запишите исходный многочлен и приступайте к поиску подобных слагаемых. Это члены данного вам уравнения, одинаковую буквенную часть или (и) цифровую. Для большей наглядности подчеркивайте найденные пары. Обратите внимание, что подобие не означает идентичность, - главное, чтобы один член пары содержал в себе второй. Так, будут члены ху, хy2z и хуz, - они имеют общую часть в виде произведения х и у. Это же и к степенным .

Обозначайте разные подобные члены по-разному. Для этого лучше подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.

Найдя все подобные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в найденных вынесите подобные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет подобных членов.

Проверьте, не осталось ли у вас одинаковых элементов в записи. В ряде случаев у вас могут вновь подобные члены. Повторите операцию с их комбинированием.

Проследите за выполнением второго условия, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: каждый его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная или переменны, следующие в уже обозначенном порядке. При этом имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не требованиям.

Видео по теме

Знаки зодиака - основной элемент астрологии. Это 12 секторов (по количеству месяцев в году), на которые разделен зодиакальный пояс, согласно астрологической традиции Европы. Каждый из них имеет название, в зависимости от зодиакального созвездия, расположенного на данном участке. Существует версия, согласно которой, названия знаков произошли по мотивам древнегреческих мифов.

Инструкция

Овен - это баран с золотистой шерстью. Название этого знака связано с мифом о золотом руне. Люди, родившиеся под знаком Овна, на вид кроткие, как это животное, но в решительный момент способны на смелые поступки.

Телец - доброе и в то же самое время неистовое животное. Происхождение названия этого знака связано с легендой о Юпитере и Европе. Любвеобильный бог влюбился в прекрасную девушку, чтобы завоевать ее он превратился в красивого белоснежного быка. Европа начала ласкать животное, забралась ему на спину. А коварный Юпитер унес ее на остров Крит.

Близнецы - это олицетворение мифа о братской любви Поллукса и Кастора, которые были готовы умереть друг за друга. Согласно легенде, во время боя Кастор был ранен и умер на руках брата, Поллукс был бессмертен и обратился к своему отцу Зевсу, чтобы тот позволил ему умереть вместе с братом.

Гигантский рак впился клешнями в ногу Геракла во время его сражения с Гидрой. Он раздавил рака и продолжил битву со змеей, однако Юнона (именно по ее распоряжению рак напал на Геракла) была ему благодарна и поместила изображение рака в ряду с другими героями.

Немейский лев - страшное и грозное животное, которое долгое время нападало на людей во имя хранения покоя власти. Победил его Геракл. С точки зрения мифологии, лев - это атрибут власти. Люди, родившиеся под этим знаком обладают чувством гордости и большого самоуважения.

Дева упоминается в древнегреческом мифе о сотворении мира. Легенда гласит, что Пандора (первая женщина) принесла на землю ящик, который ей было запрещено открывать, но она не устояла перед соблазном и приоткрыла крышку. Из ящика разлетелись все несчастья, невзгоды, горе и людские пороки. После этого Боги покинули землю, последней улетела богиня невинности и чистоты Астрея (Дева), в честь нее и было названо созвездие.

Название знака зодиака Весы связано с мифом о богине справедливости Фемиде, у которой была дочь Дика. Девушка взвешивала поступки людей, и символом знака стали ее весы.

Скорпион, согласно одной из легенд, ужалил Ориона, который пытался изнасиловать богиню Диану. После смерти Ориона Юпитер поместил и его, и среди звезд.

Стрелец - это кентавр. Согласно древнегреческим мифам это полуконь, получеловек. В мифе о кентавре Хироне главный герой знал все и обо всем, обучал богов спорту, искусству врачевания и другим знаниям и умениям, которыми они должны были обладать.

Козерог - животное с мощными копытами, которое способно забираться по горным кручам, цепляясь за выступы. В Древней Греции ассоциировался с Паном (богом природы), который был наполовину человеком, наполовину козлом.

Знак Водолей назван в честь юноши по имени Ганимед, который работал виночерпием и угощал земных людей на праздниках и торжествах. Молодой человек обладал прекрасными человеческими качествами, был отличным другом, собеседником и просто порядочным человеком. За это Зевс сделал его виночерпием богов.

Последний знак зодиакального круга - Рыбы. Появление его названия связано с мифом об Эроте и Афродите. Богиня прогуливалась со своим сыном вдоль берега и на них напало чудовище Тифон. Чтобы их спасти, Юпитер обратил Эрота и Афродиту в рыб, которые прыгнули в воду и скрылись в море.

Приведение дроби к наименьшему знаменателю называется по-другому сокращением дроби . Если в результате математических действий у вас получилась дробь с крупными числами в числителе и знаменателе, проверьте, можно ли ее сократить.

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.