Уравнение лапласа для потенциала. Уравнение Пуассона – Лапласа

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 - электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z - дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку (2) в (1) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 - это оператор Лапласа, равенство (3) принимает вид:

Выражение (4) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя (2) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

• значение потенциала как непрерывная функция;
• потенциал должен быть конечной функцией;
• производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения (4) будет выражаться для потенциала вида:

Определение 1

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n - E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n - ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

E 1 τ = E 2 τ .

где σ - это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ - единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = - 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = - 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = - 1 ε 0 ρ .

Пример 1

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 - φ 2 .

Рисунок 1

Решение

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = - A ln (r) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ (r 2) = 0 = - A ln r 2 + B , следовательно

φ (r 1) = ∆ U = - A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

После преобразования:

φ (r) = - ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ (r) = - ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Пример 2

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Решение

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ (r) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C " 2 .

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 - это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 (0) = 0 . Получим C " 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C " 2:

C 2 ln R + C " 2 = - 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = - 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

.

Заменим div иgrad на:

.

– уравнение Пуассона;

– уравнение Лапласа;

– Лапласан.

В декартовой системе координат:

– уравнение Лапласа;

– уравнение Пуассона.

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

(Диэлектрик - Проводник)

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие
). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

;

;

;
.

для точки
:
.

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

.

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

(Диэлектрик - Диэлектрик)

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда . Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

.

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

.

.

Решая совместно, получаем:

;

;
.

Знак будет совпадать сесли
.

Знак будет всегда как.

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть
.

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительногои зеркально отраженного фиктивного заряда. Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

;

;

;
.

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

.

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда, расположенного в той же точке, где находился реальный заряд.

;

.

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы

Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

Уравнение (10.2) устанавливает связь между потенциалом электростатического поля и напряженностью этого поля. Из этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом и плотностью заряда. Для этого нужно образовать дивергенцию обеих частей этого уравнения и воспользоваться затем формулой (6.5):

Согласно правилам векторного анализа [см. уравнение (40]

так что уравнение (11.1) может быть записано так:

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. В тех участках поля, где нет электрических зарядов

Уравнение это обращается в следующее:

Этот частный вид уравнения Пуассона носит название уравнения Лапласа.

Уравнение Пуассона дает возможность определить потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих зарядов. Решение (интеграл) этого дифференциального уравнения (при определенных граничных условиях) должно, очевидно, совпадать с выведенной нами ранее формулой (8.8):

В дальнейшем мы докажем это непосредственным вычислением. Пока же отметим, что для решения некоторых задач удобнее исходить не из интеграла (8.8), а непосредственно из дифференциального уравнения (11.3).

Пример. Определить плотность термоионного тока между двумя бесконечными плоскими электродами в вакууме. Пример этот на применение уравнения Пуассона взят не из электростатики, а из учения о токе и имеет большое значение для теории катодных (усилительных) ламп.

Известно, что накаленные металлы испускают со своей поверхности в окружающее пространство поток свободных электронов. Если к двум металлическим электродам приложить определенную разность потенциалов и раскалить отрицательный электрод (катод), то непрерывно испускаемые накаленным катодом электроны будут притягиваться к поверхности положительного электрода (анода). Поток электронов, движущихся от катода к аноду, эквивалентен электрическому току. Ток этот называется термоионным.

Выберем оси декартовых координат так, чтобы начало их находилось на катоде, а ось х была перпендикулярна плоскости электродов и направлена к аноду. Примем потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным Из соображений симметрии явствует, что эквипотенциальные поверхности параллельны электродам, поэтому и уравнение Пуассона в пространстве между электродами принимает вид

Если обозначить через число электронов, приходящихся на единицу объема в пространстве между электродами на расстоянии х от катода, а через абсолютную величину заряда электрона, то плотность заряда на

этом расстоянии будет:

Предположим для простоты, что испускаемые катодом электроны при выходе из его поверхности не обладают никакой начальной скоростью. На пути от катода к аноду силы электрического поля будут совершать над электронами заряда работу - которая будет, очевидно, переходить в кинетическую энергию движения электронов. Обозначая через скорость электрона на расстоянии х от катода, а через потенциал на том же расстоянии, получим

где 771 - масса электрона. Наконец, плотность электрического тока, т. е. заряд, протекающий за единицу времени через перпендикулярную току (т. е. перпендикулярную оси площадку в равна, очевидно:

ибо есть число электронов, проходящих за единицу времени через эту площадку. В отличие от плотность тока есть величина постоянная, не зависящая от х, ибо по достижении стационарного состояния через любую параллельную электродам плоскость проходит, очевидно, одинаковое число электронов.

Исключим из уравнения (11.5) все неизвестные функции х, кроме Прежде всего

Но из (11.6) следует, что

стало быть,

Вводя обозначение А - получим

Как легко убедиться подстановкой, из решений этого дифференциального уравнения, которое, согласно условию задачи, обращается на катоде в нуль и, кроме того, удовлетворяет условию

Если обозначить расстояние от анода до катода через I, то при потенциал должен обращаться в Стало быть,

Таким образом, плотность термоионного тока не подчиняется закону Ома, а растет пропорционально степени 3/2 приложенного к электродам напряжения и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Это отличие законов термоионного тока от законов тока в металлах обусловливается двоякого рода причинами. Во-первых, электроны в металлах соударяются с положительными ионами, образующими твердый скелет металла, и испытывают благодаря этому сопротивление своему движению, отсутствующее при движении в вакууме 1). Во-вторых, при термоионном токе в пространстве между электродами находятся лишь свободные электроны, заряд которых не компенсируется зарядом положительных ионов, как это имеет место в металлах, вследствие чего поле этого так называемого «пространственного заряда» искажает поле электродов.

Отметим, что формула (11.9) перестает быть справедливой при больших плотностях тока 2). При повышении потенциала анода наступает момент, когда все выделяемые катодом электроны немедленно же увлекаются к аноду. Дальнейшее повышение потенциала анода не может, очевидно, повести к увеличению плотности тока, которая, таким образом, достигает постоянного значения (ток насыщения).

Задача 10. Пусть означает расстояние данной точки пространства от некоторой произвольно выбранной начальной точки Показать, что скаляр

удовлетворяет уравнению Лапласа

Точка не рассматривается.

Задача 11. Бесконечная плоская пластина толщиной 2а равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью Ось х перпендикулярна пластине, начало координат расположено в срединной плоскости, равноотстоящей от обеих поверхностей пластины. Показать, что потенциал поля внутри и вне пластины равен соответственно:

а вектор направлен вдоль оси х от срединной плоскости и численно равен:

Сравнить этот случай с предельным случаем бесконечной заряженной плоскости (§ 4).

Задача 12. Найти потенциал поля шара, равномерно заряженного по своему объему [формула (8.12)], исходя из уравнения Пуассона в сферических координатах.

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия - это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия - это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид - заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий - порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией, характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени.

Функция удовлетворяет уравнению

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

Будем говорить о трех типах граничных условий:

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II - в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III - в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) - однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу - з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при, удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I - III при.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией. Рассмотреть случаи:

• а) концы струны закреплены;
• б) концы струны свободны;

в) к концам струны и, начиная с момента, приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

Здесь, натяжение, линейная плотность, т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом, т.е.

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию, определенную при и, являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

и начальным условиям

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = - grad j . В то же время согласно теореме Гаусса

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

.

Вынесем минус за знак дивергенции

.

Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ свб =0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде

Произведем почленное умножение и получим

.

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

. (11.29)

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

. (11.30)

Приведем без вывода выражения Ñ 2 j в цилиндрической системе координат

, (11.31)

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV - элемент объема, ds -элемент заряженной поверхности, dl - элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R , в соответствии с формулой (11.20) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

. (11.33)

В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R . Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R .

Граничные условия

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе - в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.