Кудрявцев Л.Д. Математический анализ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Т. 2. Кудрявцев Л. Д. В учебнике излагаются основные сведения из математического тали за. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Глава пятая Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) Стр. § 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 3 39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 3 39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных 10 39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции 11 39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 14 39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 16 § 40. Экстремумы функций многих переменных 16 40.1. Необходимые условия экстремума 16 40.2. Достаточные условия строгого экстремума 19 40.3. Замечания об экстремумах на множествах 25 § 41. Неявные функции 25 41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 25 41.2. Произведения множеств 30 41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 31 41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений 37 41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области 42 41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых 45 41.7. Замена переменных 57 § 42. Зависимость функций 60 42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций 60 42.2. Достаточные условия зависимости 61 функций § 43. Условный экстремум 64 43.1. Понятие условного экстремума 64 43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 66 43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума 69 Глава шестая Интегральное исчисление функций многих переменных § 44. Кратные интегралы 73 44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль 73 44.2. Квадрируемые и кубируемые множества 80 44.3. Определение кратного интеграла 81 44.4. Существование кратного интеграла 84 44.5. Свойства кратного интеграла 89 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному 92 45.1. Основная теорема для двумерного случая 92 45.2. Обобщения на n-мерный случай 98 § 46. Замена переменных в кратном интеграле 100 46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае 100 46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле 109 46.3. Криволинейные координаты 116 46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле 118 § 47. Криволинейные интегралы 119 47.1. Криволинейные интегралы первого рода 119 47.2. Криволинейные интегралы второго рода 122 47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой 127 47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым 128 47.5. Формула Грина 129 47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 134 47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей 135 47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования 138 § 48. Несобственные кратные интегралы 148 48.1. Основные определения 148 48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 150 48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак 155 § 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов 159 49.1. Вычисление площадей и объемов 159 49.2. Физические приложения кратных интегралов 161 § 50. Элементы теории поверхностей 162 50.1. Общие понятия 165 50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 168 50.3. Первая квадратичная формула поверхности 173 50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними 174 50.5. Площадь поверхности 175 50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности 179 § 51. Поверхностные интегралы 187 51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов 187 51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм 192 51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочно-гладким поверхностям 193 § 52. Скалярные и векторные поля 196 52.1. Определения 197 52.2. Формула Остроградского - Гаусса. Инвариантное определение дивергенции. 201 52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря 206 52.4. Соленоидальные векторные поля 211 52.5. Потенциальные векторные поля 212 § 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра 215 53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру 215 53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра 218 § 54. Несобственные интегралы, зависящие 220 от параметра 54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра 220 54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра 224 54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов 230 54.4. Эйлеровы интегралы 235 54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра 241 Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье § 55. Классические ряды Фурье 244 55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач 244 55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 247 55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 252 55.4, Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций 255 55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 259 55.6. Приближение непрерывных функций многочленами 262 55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней x 264 55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 267 55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье........ 270 55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье. 276 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 278 56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 278 56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье 283 56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций 288 56.4. Преобразование Фурье производных 290 56.5. Свертка и преобразование Фурье 291 56.6. Производная преобразования Фурье функции 295 § 57. Функциональные пространства 296 57.1. Метрические пространства 296 57.2. Линейные пространства 304 57.3. Нормированные пространства 307 57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства 315 57.5. Пространство L 2 322 § 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним 331 58.1. Ортонормированные системы 331 58.2. Ортогонализация систем 335 58.3. Ряды Фурье 337 68.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств 344 68.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра 351 68.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля 355 § 59. Обобщенные функции 365 59.1. Общие соображения 365 59.2. Линейные пространства со 368 сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства 59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D" 370 59.4. Дифференцирование обобщенных функций 375 59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S’ 378 59.6. Преобразование Фурье в пространстве S 380 59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 383 Добавление 390 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений 390 60.1. Вычисление значений функций 390 60.2. Решение уравнений 392 60.3. Интерполяция функций 398 60.4. Квадратурные формулы 400 60.5. Погрешность квадратурных формул 404 Алфавитный указатель АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно сходящийся интеграл 155 Аддитивность интеграла 89 - - полная 91 - меры 74 Аксиомы расстояния 296 Базис пространства 306, 314 Банахово пространство 311 Бесконечномерное пространство 307 Бесселя неравенство 268, 340 Бета-функция 235 Вандермонда определитель 398 Вейерштрасса признак 223 - теорема 262 Вектор (точка) линейного пространства 305 Вектор-функция непрерывная 164 Верхняя мера (n-мерная) 75 - сумма Дарбу 84 Веса 405 Вихрь (ротор) 198, 210 Внутренняя точка поверхности 167, 181 Гамма функция 235 Гильбертово пространство 321 Главное значение интеграла 284 Градиент вектора 197 - функции 171, 196 Грамма определитель 332 Граничный контур 132 - - внешний 132 - - внутренний 133 Грина формула 130 Дарбу сумма 84 Двойная точка (точка самопересечения) 46, 55 Декартов лист 54 Диаметр множества 297 Дивергенция 198, 205 Дирака функция 366 Дирихле интеграл 252 - ядро 253 Допустимые преобразования параметров 127, 165 δ-функция 336, 373 Жордана верхняя мера 75 Зависимая система функций 60 Замкнутая система 344 Изометрическое соответствие 297 Изометричные пространства 296 Изоморфизм пространств 307, 321 Изоморфные пространства 307, 321 Интеграл Дирихле 252 - зависящий от параметров 215, 242 - криволинейный первого рода 120 - - второго рода 124, 128 - Лебега 324 - несобственный 149 - - расходящийся 149 - - сходящийся 149, 220, 242 - - - абсолютно 155 - - - равномерно 221, 242 - повторный 93 - Пуассона 152 - Римана 83, 84, 90, 91 - типа потенциала 243 - Фурье 279 - Эйлера первого рода (бета-функция) 235 - - второго рода (гамма-функция) 235 Интегральная сумма Римана 83 Интегрируемая функция 83, 149 Интерполяционный многочлен 398 - - Лагранжа 399 Касательная плоскость 169, 172 Квадратичная форма неопределенная 19 - - определенная 19 - - - отрицательно 19 - - - положительно 19 Квадратурная формула 401 - - точная для многочленов данного порядка 405 Квадрируемое множество 80 Квазинорма (полунорма) 308 - порожденная квазискалярным произведением 317 Квазинормированное пространство 308 Квазискалярное произведение 316 Классический ряд Фурье 247 Комплексная запись ряда Фурье 277 Комплексное линейное пространство 305 Коническая точка 182 Контур граничный 132 - - внешний 132 - - внутренний 132 -, ограничивающий поверхность 206 Координатная линия 116, 118, 168 Координатный параллелограмм 117 Координаты криволинейный 116, 117 - местные 165 Координаты (параметры) поверхности 163 - сферические 119, 153 - цилиндрические 119 - элемента 315 Коши - Буняковского неравенство 319 Коши критерий 15 Коши - Шварца неравенство 316 Коэффициенты Фурье 247, 338, 339 Краевая точка 167,181 Край поверхности 167, 181, 185 Кратная точка поверхности 163 Кратный интеграл Римана 83, 84 Кривая непрерывно дифференцируемая 127 - - - без особых точек 127 - Пеано 78 Криволинейный интеграл первого рода 120 - - второго рода 124, 128 Критерий Коши 15 - Сильвестра 22 Кубируемое множество 80, 81 Кубы ранга k 73 Кусочно дифференцируемая функция 255 Лагранжа интерполяционный многочлен 399 - форма остаточного члена формулы Тейлора 4, 9 - формула конечных приращений 11 - функция 67 Лебега интеграл 324 Лежандра полиномы 333 Лейбница правило 218 Линейная оболочка системы 306 Линейное пространство 304 - - комплексное 305 - - со сходимостью 368 Линейно зависимая система 306 - независимая система 306 Линейный функционал 368 Локально интегрируемая функция 371 Ломаная, вписанная в кривую 143 Масса фигуры 161 Матрица Якоби 31 Мёбиуса лист 183 Мелкость разбиения 82 Мера (n-мерная) 74 - верхняя 75 Местные координаты 165 Метод касательных 396 - хорд 394 Метрика (расстояния) 296 -, порожденная нормой 310 Метрическое пространство 296 - - полное 298 Многочлен интерполяционный 398 - Тейлора 8 - тригонометрический 262 Множество квадрируемое 80 - кубируемое 80, 81 - меры нуль 76 - ограниченное 297, 311 - плотное в пространстве 299 Моменты фигуры 162 Наилучшее приближение элемента 339 Независимая система функций 60 Неопределенная квадратичная форма 19 Неособая точка поверхности 168 Непрерывная функция 303 Непрерывное продолжение функции 12 Непрерывно дифференцируемая кривая 127 - - - без особых точек 127 - - функция 12 - продолжаемая функция 12 Непрерывный функционал 368 Неравенство Бесселя 268, 340 - Коши - Буняковского 319 - Коши - Шварца 316 Несобственный интеграл 149 Неявная функция 26 Нижняя сумма Дарбу 84 Норма 307 -, порождающая метрику 310 -, порожденная скалярным произведением 317 Нормаль к поверхности 170, 172 Нормальная прямая 170 Нормированное пространство 307 Носитель поверхности 163 - точки поверхности 163 - функции 370 Нулевой элемент 305 Ньютоновский потенциал 243 Область интегрирования 84 - объемно односвязная 211 - односвязная 141 - поверхностно односвязная 212 - элементарная относительно оси 92, 98 Обобщенная функция 371 - - медленного роста 379 Образ множества 37 Обратное преобразование Фурье 286 Обратный элемент 305 Ограниченное множество 297, 311 Определенная квадратичная форма 19 Определитель Вандермонда 398 - Грамма 332 - Якоби (якобиан) 31 Ориентация границы отрицательная 133 - - положительная 133 - контура 127 - - отрицательная 127 - - положительная 127 - поверхности 180, 181, 186 - - отрицательная 180, 182, 184 - - положительная 180, 182, 184 Ортогональная система 244 Ортогональность 244 Ортогональные элементы 331 Ортонормированная система 331 Основная метрическая форма 173 Основное пространство D 371 Особая точка 46 - - изолированная 46 - - поверхности 168 Остаточный член интерполяции 399 - - формулы Тейлора 4 - - - - в форме Лагранжа 4, 9 ----- Пеано 6, 9 Остроградского - Гаусса формула 202, 203 Отклонение среднее квадратичное 265 Отображение 37 - взаимно однозначное 40 - дифференцируемое 37 Отображение непрерывно дифференцируемое 37, 40 - непрерывное 37 - обратное 40 - равномерно непрерывное 39 - тождественное 40 Отрицательно определенная квадратичная форма 19 Параметры (координаты) поверхности 163 Парсеваля равенство 270, 343, 354 Пеано кривая 78 - форма остаточного члена формулы Тейлора 6, 9 Первая квадратичная форма поверхности 173 Планшереля теорема 362, 365 Плоскость касательная 169, 172 Площадь поверхности 176 Поверхностный интеграл второго рода 188, 193, 194 - - первого рода 187, 193, 194 Поверхность (без края) 165 - гладкая 172, 181 - двусторонняя 184 -, заданная неявно 167 -, - параметрически 162, 165 - кусочно-гладкая 185 -, натянутая на контур 206 - неориентируемая 183, 186 - непрерывно дифференцируемая 164 - ориентированная 184 - ориентируемая 183, 185 - с краем 167 - уровня 171 Повторный интеграл 93 Подпространство 296, 305 Поле векторное 196 - скалярное 196 Полиномы Лежандра 333 Полная система 265, 313 - - в смысле среднего квадратичного 265 Полное метрическое пространство 298 - нормированное пространство 311 Положительно определенная квадратичная форма 19 Полунорма (квазинорма) 308 Пополнение предгильбертова пространства 321 - метрического пространства 299 Последовательность множеств, монотонно исчерпывающих открытое множество 149 - сходящаяся 297, 310, 369 Последовательность, сходящаяся в смысле среднего квадратичного 251 - фундаментальная 297 Последовательности эквивалентные 299 Потенциал 196 - ньютоновский 243 Потенциальная функция 196 Потенциальное поле 199 Поток векторного поля через поверхность 200 Правило Лейбница 218 - штопора 185 Предел последовательности точек 297 Представление поверхности 162 - - векторное 163 - - координатное 163 - - явное 165 Представления эквивалентные 127 164 Преобразование параметров допустимое 127, 165 - Фурье 286, 288, 363, 364, 384 Признак Вейерштрасса 223 - сравнения 153 Принцип локализации 254 - сохранения области 44 - - открытого множества 44 Продолжение функции непрерывное 12 - функционала 370 Проекция множества 77 Произведение квазискалярное 316 - скалярное 315, 330, 358 - множеств 30 Произведение элемента на число 304, 305 Производная обобщенной функции 375 - по направлению 197 Прообраз множества 37 Пространства изометричные 296 - изоморфные 307 Пространство С[а,b] 308, 311 - D 371 - L 2 324, 356 - L 2 322 Пространство l 2 349 - 5 378, 379 - банахово 311 - бесконечномерное 307 - гильбертово 321 - квазинормированное 308 - линейное 304, 305 - метрическое 296 - n-мерное 306 - нормированное 307 - обобщенных функций D" 374 - - - S" 379 - предгильбертово 321 - сепарабельное 313 - сопряженное 370 - функциональное 331 Пуассона интеграл 152 Равенство обобщенных функций 375 - Парсеваля 270, 343, 354 Равномерная сходимость семейства функций 14 Равномерно сходящийся интеграл 221, 242 Разбиение множества 81 - ранга k 73 Разность элементов 305 Расстояние (метрика) 296 Регулярная обобщенная функция 374 Римана интеграл 83 - интегральная сумма 83 Ротор (вихрь) 198 Ряд в линейном пространстве 313 - обобщенных функций 377 - сходящийся 314, 377 - Тейлора 16 - тригонометрический 244 - Фурье 247, 276, 277, 339 - - классический 247 Свертка функций 291, 292 Сепарабельное пространство 313 Сильвестра критерий 22 Симпсона формула 401, 403 Сингулярная обобщенная функция 374 Система замкнутая 344 - линейно зависимая 306 - - независимая 306 - ортогональная 244 - ортонормированная 331 - полная 265, 313 - - в смысле среднего квадратичного 265 - тригонометрическая 244 - функций зависимая 60 Система функций независимая 60 Скалярное произведение 315, 330, 356 Соленоидальное поле 200, 211 Соответствие изометрическое 297 Сопряженное пространство 370 Сохоцкого формулы 375 Среднее квадратичное отклонение 265 Стационарная точка 20 Стокса формула 206 Ступенчатая функция 248, 356 Сумма Дарбу 84 - ряда 314, 377. - - частичная 314, 377 - Фейера 259 - Фурье 252 Сумма элементов 304 Суммирование ряда методом средних арифметических 262 Сходимость в L 2 330 - в S 378 - в смысле среднего квадратичного 330 - в среднем (в L 1) 330 Сходящаяся последовательность 297, 310 - - функций в D 370, 371 Сходящийся интеграл 220, 242 Тейлора многочлен 8 - ряд 16 - формула 4, 9 Теорема Вейерштрасса 262 - о среднем 92 - Планшереля 362, 365 - Фейера 260 Точка возврата 55 - двойная 46, 55 - касания 169 - коническая 182 - краевая 167, 181 - (вектор) линейного пространства 305 - максимума 17 - - строгого 17 - метрического пространства 296 - минимума 17 - - строгого 17 - особая 46 - поверхности 163 - - кратная 163 - самоприкосновения 55 - стационарная 20 - экстремума 17 Точка экстремума строгого 17 - - условного 64 Тригонометрическая система 244 Тригонометрический многочлен 262 - ряд 244 Угол между кривыми 175 Узлы 405 - интерполяции 398 Уравнение связи 64 Фейера сумма 259 - теорема 260 - ядро 259 Фигура 161 Финитная функция 370 Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора 4, 9 Формула Грина 130 - квадратурная 401 - конечных приращений Лагранжа 11 - обращения 287 - прямоугольников 401 - Симпсона 401, 403 - Сохоцкого 375 - Тейлора 4, 9 - трапеций 401, 402 Фундаментальная последовательность точек 297 Функционал 368 - линейный 368 - непрерывный 368 Функциональное пространство 331 Функция Дирака 366 -, зависимая от других функций 60 - из L 2 324 -, интегрируемая в несобственном смысле 149 -, - по Риману 83 - кусочно дифференцируемая 255 - Лагранжа 67 - локально интегрируемая 371 - непрерывная 303 - непрерывно дифференцируемая 12 - - продолжаемая 12 - неявная 26 - обобщенная 371, 379 - с интегрируемым квадратом 318 - ступенчатая 248, 356 - Хевисайда 376 Фурье интеграл 279 - коэффициенты 247, 338, 339 Фурье преобразование 286, 288, 363, 364, 384 - ряд 247, 276, 277, 339 - сумма 252 Хевисайда функция 376 Центр тяжести фигуры 162 Цилиндр 79 Циркуляция 199 Эйлера интеграл 235 - - второго рода (гамма-функция) 235 - - первого рода (бета-функция) 235 Эквивалентные последовательности 299 - представления кривой 127 - - поверхности 164 - элементы 309, 319 Элемент площади 178 Элементы ортогональные 331 Явное представление поверхности 165 Ядро Дирихле 253 - Фейера 259 Якобиан (определитель Якоби) 31 Якоби матрица 31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Т. 2.

Кудрявцев Л. Д.

В учебнике излагаются основные сведения из математического тали за. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы.

Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций.

Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютно сходящийся интеграл 155 Аддитивность интеграла 89

Полная 91

Меры 74

Аксиомы расстояния 296 Базис пространства 306, 314 Банахово пространство 311

Бесконечномерное пространство 307 Бесселя неравенство 268, 340 Бета-функция 235 Вандермонда определитель 398 Вейерштрасса признак 223

Теорема 262 Вектор (точка) линейного пространства 305

Вектор-функция непрерывная 164 Верхняя мера (n-мерная) 75

- сумма Дарбу 84 Веса 405 Вихрь (ротор) 198, 210

Внутренняя точка поверхности 167, 181 Гамма функция 235 Гильбертово пространство 321 Главное значение интеграла 284 Градиент вектора 197

Функции 171, 196

Грамма определитель 332 Граничный контур 132

Внешний 132

- - внутренний 133 Грина формула 130 Дарбу сумма 84

Двойная точка (точка самопересечения) 46, 55

Декартов лист 54 Диаметр множества 297 Дивергенция 198, 205 Дирака функция 366 Дирихле интеграл 252

Допустимые преобразования параметров 127,

165 δ -функция 336, 373

Жордана верхняя мера 75 Зависимая система функций 60 Замкнутая система 344 Изометрическое соответствие 297 Изометричные пространства 296 Изоморфизм пространств 307, 321 Изоморфные пространства 307, 321 Интеграл Дирихле 252

- зависящий от параметров 215, 242

- криволинейный первого рода 120

- - второго рода 124, 128

Лебега 324

- несобственный 149

- - расходящийся 149

- - сходящийся 149, 220, 242

Абсолютно 155

- - - равномерно 221, 242

Повторный 93

Пуассона 152

Римана 83, 84, 90, 91

- типа потенциала 243

Фурье 279

- Эйлера первого рода (бета-функция) 235

Второго рода (гамма-функция) 235

Интегральная сумма Римана 83 Интегрируемая функция 83, 149 Интерполяционный многочлен 398

- - Лагранжа 399 Касательная плоскость 169, 172

Квадратичная форма неопределенная 19

Определенная 19

- - - отрицательно 19

- - - положительно 19 Квадратурная формула 401

- - точная для многочленов данного порядка

Квадрируемое множество 80 Квазинорма (полунорма) 308

Порожденная квазискалярным произведением

Квазинормированное пространство 308 Квазискалярное произведение 316 Классический ряд Фурье 247 Комплексная запись ряда Фурье 277 Комплексное линейное пространство 305

Коническая точка 182 Контур граничный 132

Внешний 132

Внутренний 132

Ограничивающий поверхность 206 Координатная линия 116, 118, 168 Координатный параллелограмм 117 Координаты криволинейный 116, 117

Местные 165 Координаты (параметры) поверхности 163

- сферические 119, 153

- цилиндрические 119

Элемента 315

Коши - Буняковского неравенство 319 Коши критерий 15 Коши - Шварца неравенство 316

Коэффициенты Фурье 247, 338, 339 Краевая точка 167,181 Край поверхности 167, 181, 185

Кратная точка поверхности 163 Кратный интеграл Римана 83, 84

Кривая непрерывно дифференцируемая 127

- - - без особых точек 127

Пеано 78

Криволинейный интеграл первого рода 120

- - второго рода 124, 128 Критерий Коши 15

- Сильвестра 22 Кубируемое множество 80, 81 Кубы ранга k 73

Кусочно дифференцируемая функция 255 Лагранжа интерполяционный многочлен 399

- форма остаточного члена формулы Тейлора

- формула конечных приращений 11

- функция 67 Лебега интеграл 324

Лежандра полиномы 333 Лейбница правило 218 Линейная оболочка системы 306 Линейное пространство 304

Комплексное 305

- - со сходимостью 368 Линейно зависимая система 306

- независимая система 306 Линейный функционал 368 Локально интегрируемая функция 371 Ломаная, вписанная в кривую 143 Масса фигуры 161 Матрица Якоби 31 Мёбиуса лист 183 Мелкость разбиения 82

Мера (n-мерная) 74

Верхняя 75

Местные координаты 165 Метод касательных 396

Метрика (расстояния) 296 -, порожденная нормой 310

Метрическое пространство 296

Полное 298 Многочлен интерполяционный 398

Тейлора 8

- тригонометрический 262 Множество квадрируемое 80

Кубируемое 80, 81

Меры нуль 76

- ограниченное 297, 311

- плотное в пространстве 299 Моменты фигуры 162 Наилучшее приближение элемента 339 Независимая система функций 60

Неопределенная квадратичная форма 19 Неособая точка поверхности 168 Непрерывная функция 303 Непрерывное продолжение функции 12

Непрерывно дифференцируемая кривая 127

- - - без особых точек 127

Функция 12

- продолжаемая функция 12 Непрерывный функционал 368 Неравенство Бесселя 268, 340

- Коши - Буняковского 319

Коши - Шварца 316

Несобственный интеграл 149 Неявная функция 26 Нижняя сумма Дарбу 84 Норма 307

Порождающая метрику 310 -, порожденная скалярным произведением 317

Нормаль к поверхности 170, 172 Нормальная прямая 170 Нормированное пространство 307 Носитель поверхности 163

- точки поверхности 163

- функции 370 Нулевой элемент 305 Ньютоновский потенциал 243 Область интегрирования 84

- объемно односвязная 211

Односвязная 141

- поверхностно односвязная 212

- элементарная относительно оси 92, 98 Обобщенная функция 371

- - медленного роста 379

Образ множества 37 Обратное преобразование Фурье 286 Обратный элемент 305

Ограниченное множество 297, 311 Определенная квадратичная форма 19 Определитель Вандермонда 398

Грамма 332

- Якоби (якобиан) 31

Ориентация границы отрицательная 133

- - положительная 133

Контура 127

- - отрицательная 127

- - положительная 127

- поверхности 180, 181, 186

- - отрицательная 180, 182, 184

- - положительная 180, 182, 184 Ортогональная система 244 Ортогональность 244 Ортогональные элементы 331 Ортонормированная система 331 Основная метрическая форма 173 Основное пространство D 371 Особая точка 46

- - изолированная 46

Поверхности 168

Остаточный член интерполяции 399

- - формулы Тейлора 4

- - - - в форме Лагранжа 4, 9

Пеано 6, 9

Остроградского - Гаусса формула 202, 203 Отклонение среднее квадратичное 265 Отображение 37

- взаимно однозначное 40

- дифференцируемое 37

Отображение непрерывно дифференцируемое

Непрерывное 37

Обратное 40

- равномерно непрерывное 39

Тождественное 40

Отрицательно определенная квадратичная форма 19

Параметры (координаты) поверхности 163 Парсеваля равенство 270, 343, 354 Пеано кривая 78

Форма остаточного члена формулы Тейлора

Первая квадратичная форма поверхности 173 Планшереля теорема 362, 365 Плоскость касательная 169, 172 Площадь поверхности 176

Поверхностный интеграл второго рода 188, 193,

- - первого рода 187, 193, 194 Поверхность (без края) 165

Гладкая 172, 181

Двусторонняя 184

Заданная неявно 167 -, - параметрически 162, 165

Кусочно-гладкая 185 -, натянутая на контур 206

- неориентируемая 183, 186

- непрерывно дифференцируемая 164

- ориентированная 184

- ориентируемая 183, 185

С краем 167

Уровня 171

Повторный интеграл 93 Подпространство 296, 305 Поле векторное 196

- скалярное 196 Полиномы Лежандра 333 Полная система 265, 313

- - в смысле среднего квадратичного 265 Полное метрическое пространство 298

- нормированное пространство 311 Положительно определенная квадратичная

форма 19 Полунорма (квазинорма) 308

Пополнение предгильбертова пространства 321

- метрического пространства 299 Последовательность множеств, монотонно

исчерпывающих открытое множество 149

- сходящаяся 297, 310, 369 Последовательность, сходящаяся в смысле

среднего квадратичного 251

- фундаментальная 297

Последовательности эквивалентные 299 Потенциал 196

- ньютоновский 243 Потенциальная функция 196 Потенциальное поле 199

Поток векторного поля через поверхность 200 Правило Лейбница 218

Штопора 185

Предел последовательности точек 297 Представление поверхности 162

Векторное 163

- - координатное 163

Явное 165

Представления эквивалентные 127 164 Преобразование параметров допустимое 127,

- Фурье 286, 288, 363, 364, 384

Признак Вейерштрасса 223

Сравнения 153

Принцип локализации 254

- сохранения области 44

- - открытого множества 44 Продолжение функции непрерывное 12

Функционала 370

Проекция множества 77 Произведение квазискалярное 316

- скалярное 315, 330, 358

Множеств 30

Произведение элемента на число 304, 305 Производная обобщенной функции 375

- по направлению 197 Прообраз множества 37 Пространства изометричные 296

- изоморфные 307 Пространство С[а,b] 308, 311

D 371

L 2 324, 356

L 2 322

Пространство l2 349

5 378, 379

Банахово 311

- бесконечномерное 307

Гильбертово 321

- квазинормированное 308

Линейное 304, 305

Метрическое 296

N-мерное 306

- нормированное 307

- обобщенных функций D" 374

S" 379

- предгильбертово 321

- сепарабельное 313

Сопряженное 370

- функциональное 331 Пуассона интеграл 152

Равенство обобщенных функций 375

- Парсеваля 270, 343, 354

Равномерная сходимость семейства функций 14 Равномерно сходящийся интеграл 221, 242 Разбиение множества 81

Ранга k 73

Разность элементов 305 Расстояние (метрика) 296

Регулярная обобщенная функция 374 Римана интеграл 83

- интегральная сумма 83 Ротор (вихрь) 198

Ряд в линейном пространстве 313

- обобщенных функций 377

Сходящийся 314, 377

Тейлора 16

- тригонометрический 244

Фурье 247, 276, 277, 339

- - классический 247

Свертка функций 291, 292 Сепарабельное пространство 313 Сильвестра критерий 22 Симпсона формула 401, 403

Сингулярная обобщенная функция 374 Система замкнутая 344

- линейно зависимая 306

Независимая 306

- ортогональная 244

- ортонормированная 331

Полная 265, 313

- - в смысле среднего квадратичного 265

- тригонометрическая 244

- функций зависимая 60

Система функций независимая 60 Скалярное произведение 315, 330, 356 Соленоидальное поле 200, 211 Соответствие изометрическое 297 Сопряженное пространство 370 Сохоцкого формулы 375 Среднее квадратичное отклонение 265 Стационарная точка 20 Стокса формула 206 Ступенчатая функция 248, 356 Сумма Дарбу 84

Ряда 314, 377.

Частичная 314, 377

Фейера 259

Фурье 252

Сумма элементов 304 Суммирование ряда методом средних

арифметических 262 Сходимость в L2 330

В S 378

- в смысле среднего квадратичного 330

В среднем (в L 1 ) 330

Сходящаяся последовательность 297, 310

- - функций в D 370, 371 Сходящийся интеграл 220, 242 Тейлора многочлен 8

Ряд 16

Формула 4, 9

Теорема Вейерштрасса 262

О среднем 92

Во втором томе излагаются теория рядов, дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных.
В главе 3 изучаются числовые и функциональные ряды. Большое внимание уделяется степенным рядам и методам разложения в них функций. Даются начальные сведения из теории асимптотических рядов по отрицательным степеням аргумента. Изучаются также бесконечные произведения и некоторые их приложения. Кратко излагается теория кратных рядов.

Определение ряда и его сходимость.

Оглавление
Предисловие 3
Глава 3
Ряды
§ 30. Числовые ряды 5
30.1. Определение ряда и его сходимость 5
30.2. Свойства сходящихся рядов 9
30.3. Критерий Коши сходимости ряда 11
30.4. Ряды с неотрицательными членами 13
30.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда 16
30.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами 20
30.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами 23
30.8*. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм 25
30.9. Знакопеременные ряды 27
30.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости
30.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов 38
30.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана 39
30.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости Дирихле и Абеля 43
30.14*. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и частичных сумм расходящихся рядов 48
30.15. О суммируемости рядов методом средних арифметических 52
§ 31. Бесконечные произведения 53
31.1. Основные определения. Простейшие свойства бесконечных произведений 53
31.2. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений 57
31.3. Бесконечные произведения с действительными
31.4. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения 62
31.5*. Дзета-функция Римана и простые числа 65
§ 32. Функциональные последовательности и ряды 67
32.1. Сходимость функциональных последовательностей
32.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей 71
32.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды 79
32.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 90
§ 33. Степенные ряды 100
33.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда 100
33.2*. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости
33.3. Аналитические функции 110
33.4. Аналитические функции в действительной области 112
33.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора 116
33.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора 121
33.7. Методы разложения функций в степенные ряды 131
33.8. Формула Стерлинга 138
33.9*. Формула и ряд Тейлора для векторных функций 141
33.10*. Асимптотические степенные ряды 143
33.11*. Свойства асимптотических степенных рядов 149
§ 34. Кратные ряды 153
34.1. Кратные числовые ряды 153
34.2. Кратные функциональные ряды 162
Глава 4
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 35. Многомерные пространства 165
35.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей
35.2. Различные типы множеств 178
35.4. Многомерные векторные пространства 203
§ 36. Предел и непрерывность функций многих переменных
36.1. Функции многих переменных 210
36.2. Отображения. Предел отображений 212
36.3. Непрерывность отображений в точке 218
36.4. Свойства пределов отображений 220
36.5. Повторные пределы 221
36.6. Предел и непрерывность композиции отображений 223
36.7. Непрерывные отображения компактов 226
36.8. Равномерная непрерывность 229
36.9. Непрерывные отображения линейно-связных множеств 233
36.10. Свойства непрерывных отображений 235
§ 37. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных 240
37.1. Частные производные и частные дифференциалы 240
37.2. Дифференцируемость функций в точке 244
37.3. Дифференцирование сложной функции 253
37.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов 256
37.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала 262
37.6. Градиент функции 265
37.7. Производная по направлению 265
37.8. Пример исследования функций двух переменных 271
§ 38. Частные производные и дифференциалы высших порядков 273
38.1. Частные производные высших порядков 273
38.2. Дифференциалы высших порядков 277
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 281
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 281
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных 291
39.3. Оценка остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции 292
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 295
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 298
§ 40. Экстремумы функций многих переменных 299
40.1. Необходимые условия экстремума 299
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 302
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 308
§ 41. Неявные функции. Отображения 309
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 309
41.2. Произведения множеств 316
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 317
41.4. Векторные отображения 328
41.5. Линейные отображения 329
41.6. Дифференцируемые отображения 335
41.7. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области 344
41.8. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых 349
41.9. Замена переменных 360
§ 42. Зависимость функций 363
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций 363
42.2. Достаточные условия зависимости функций 365
§ 43. Условный экстремум 371
43.1. Понятие условного экстремума 371
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 376
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 379
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 381
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 388
Глава 5
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы 393
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества 393
44.2. Множества меры нуль 414
44.3. Определение кратного интеграла 417
44.4. Существование интеграла 424
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 431
44.6. Свойства кратного интеграла 434
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному 451
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 451
45.2. Обобщение на и-мерный случай 459
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 462
45.4. Объем и-мерного шара 464
45.5. Независимость меры от выбора системы координат 465
45.6*. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора 466
§ 46. Замена переменных в кратных интегралах 469
46.1. Линейные отображения измеримых множеств 469
46.2. Метрические свойства дифференцируемых
46.3. Формула замены переменных в кратном интеграле 482
46.4. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана отображения 490
46.5. Криволинейные координаты 491
§ 47. Криволинейные интегралы 494
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 494
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 498
47.3. Расширение класса допустимых преобразований
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким
47.5. Определение ряда и его сходимость.
В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на некоторые случаи бесконечного множества слагаемых и изучаются свойства таких обобщенных сумм. Многие из рассматриваемых ниже вопросов справедливы не только для действительных чисел, но и для комплексных. Поэтому, в отличие от предыдущего, в настоящей главе будем вести рассмотрение в комплексной области.

Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы, содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконечным рядом или, короче, рядом. Дадим строгое определение ряда и его суммы.

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Л.Д. Кудрявцев, Математический анализ (Том 2)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

Глава пятая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)

§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
39.5. Замечания о рядах Тейлорадля функций многих переменных

§ 40. Экстремумы функций многих переменных
40.1. Необходимые условия экстремума
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
40.3. Замечания об экстремумах на множествах

§ 41. Неявные функции
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
41.2. Произведения множеств
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений
41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области
41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых
41.7. Замена переменных

§ 42. Зависимость функций
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций
42.2. Достаточные условия зависимости функций

§ 43. Условный экстремум
43.1. Понятие условного экстремума
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума

Глава шестая Интегральное исчисление функций многих переменных

§ 44. Кратные интегралы
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества
44.3. Определение кратного интеграла
44.4. Существование кратного интеграла
44.5. Свойства кратного интеграла

§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
45.1. Основная теорема для двумерного случая
45.2. Обобщения на n-мерный случай

§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае
46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле
46.3. Криволинейные координаты
46.4. Замена переменных в п-кратном интеграле

§ 47. Криволинейные интегралы
47.1. Криволинейные интегралы первого рода
47.2. Криволинейные интегралы второго рода
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой
47.4. Криволинейные интегралы по кусочио-гладким кривым
47.1.
47.5. Формула Грнна
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей
47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования

§ 48. Несобственные кратные интегралы
48.1. Основные определения
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов
49.1. Вычисление площадей и объемов
49.2. Физические приложения кратных интегралов

§ 50. Элементы теории поверхностей
50.1. Общиепонятия
50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
50.3. Первая квадратичная формула поверхности
50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними
50.5. Площадь поверхности
50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности

§ 51. Поверхностные интегралы
51.1. Определенней свойства поверхностных интегралов
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм
51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочио-гладким поверхностям

§ 52. Скалярные и векторные поля
52.1. Определения
52.2. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.
52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря
52.4. Соленоидальные векторные поля
52.5. Потенциальные векторные поля

§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов
54.4. Эйлеровы интегралы
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра

Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье

§ 55. Классические ряды Фурье
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.

§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье
56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
56.4. Преобразование Фурье производных
56.5. Свертка и преобразование Фурье
56.6. Производная преобразования Фурье

§ 57. Функциональные пространства
57.1. Метрические пространства
57.2. Линейные пространства
57.3. Нормированные пространства
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства
57.5. Пространство

§ 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним
58.1. Ортонормированные системы
58.2. Ортогонализация систем
58.3. Ряды Фурье
68.1. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
68.2. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра
68.3. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля

§ 59. Обобщенные функции
59.1. Общие соображения
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D"
59.4. Дифференцирование обобщенных функций
59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S"
59.6. Преобразование Фурье в пространстве
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций Добавление

§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
60.1. Вычисление значений функций
60.2. Решение уравнений
60.3. Интерполяция функций
60.4. Квадратурные формулы
60.5. Погрешность квадратурных формул

Краткая аннотация книги

Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

В учебнике излагаются основные сведения из математического анализа. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой-ее сила, универсализм и общность.

В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин.

Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода-залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться "умнее" применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков.

Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики.

Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках.

При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входнт в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому остались им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдьшает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать.