Главная » Своими руками » Раздел III. Интегральное исчисление

Раздел III. Интегральное исчисление

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, в котором изучаются интегралы различного вида, такие, как определенный интеграл, неопределенный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл и т.д., их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания.

Центральной формулой И. и. является формула Ньютона-Лейбница (см. Ньютона-Лейбница формула), связывающая определенный и неопределенный интегралы (см. Определенный интеграл , Неопределенный интеграл) функции - величины, определяемые в совершенно непохожих друг на друга терминах.

Именно эта формула утверждает, что

при следующих условиях и обозначениях:

Отрезок числовой оси, - непрерывная на функция, - разбиение отрезка точками , - отрезок , - точка отрезка , , т. е. максимальная из длин отрезков , - первообразная функция для , т. е. такая, что . Предел в левой части существует в случае непрерывной функции , любого способа измельчения разбиения , при котором , и любого выбора точек .

Пределы вида возникают при вычислении многих величин, связанных с физическими, геометрическими и т. п. понятиями. В то же время вычисление первообразной для простых функций достаточно эффективно выполняется по правилам И. и. В основе этих правил лежат свойства дифференцируемых функций, изучаемых в дифференциальном исчислении, так что И. и. и дифференциальное исчисление составляют неразрывное целее.

При переходе от функций одного переменного к функциям нескольких переменных содержание И. и. становится значительно богаче. Возникают понятия двойного, тройного (и вообще-n-кратного), поверхностного и криволинейного интегралов. И. и. устанавливает правила вычисления этих интегралов путем сведения их к несколько раз повторяемым вычислениям определенных интегралов.

Отдельным разделом И. и. функций нескольких переменных является теория поля (см. Поля теория), существенную часть которой составляют теоремы, устанавливающие связь между интегралами по области и интегралами по границе области (см. Остроградского формула , Грина формулы , Стокса формула).

В дальнейшем своем развитии И. и. привело к изучению интегралов Стилтьеса, Лебега, Данжуа, основанных на более общих идеях, чем рассмотренные выше интегралы.

Возникновение И. и. связано с задачами вычисления площадей и объемов различных тел. Некоторые достижения в этом направлении имели место еще в Древней Греции (Евдокс Киндский, Архимед и др.). Возрождение интереса к задачам подобного рода имело место в Европе в XVI-XVII вв. К этому времени европейские математики имели возможность ознакомиться с трудами Архимеда, переведенными на латинский язык. Но основной причиной такого внимания к И. и. явилось промышленное развитие ряда стран Европы, поставившее перед математикой новые задачи. В это время большой вклад в И. и. внесли И. Кеплер, Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлис, Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс.

Качественным сдвигом в И. и. явились труды И. Ньютона и Г. Лейбница, создавших ряд общих методов нахождения пределов интегральных сумм. Важное значение имела удобная символика И. и. (применяемая до сих пор), введенная Г. Лейбницем. После трудов И. Ньютона и Г. Лейбница многие задачи И. и., ранее требовавшие значительного искусства для своего решения, были сведены до уровня чисто технического. При этом особенно большое значение имели формулы дифференцирования сложной функции, правило замены переменной в определенном и неопределенном интегралах и (более всего) формула Ньютона-Лейбница, упомянутая выше.

Дальнейшее историческое развитие И. и. связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера, О. Коши и русских математиков М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского, П. Л. Чебышева.

И. и. вместе с дифференциальным исчислением до настоящего времени является одним из основных математических инструментов многих физических и технических наук.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

Н. И. Николаева

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Конспект лекций

Омск Издательство ОмГТУ

Рецензенты:

Ю. Ф. Стругов , д-р физ.-мат. наук;С. Е. Макаров , канд. физ.-мат. наук, доцент

Николаева, Н. И.

Н63 Интегральное исчисление : конспект лекций / Н. И. Николаева. – Омск:

Изд-во ОмГТУ, 2010. – Ч. 4. – 120 с.

ISBN 978-5-8149-0934-3

В конспекте лекций подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики, читаемого автором на первом и втором курсах технического университета.

Часть 4 включает в себя три главы: «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл» и «Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.

Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения ОмГТУ.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

УДК 517.3(075) ББК 22.161.1я73


Глава 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.............................................................
7.1. Определение и свойства неопределенного интеграла................................
7.2. Основные формулы и методы интегрирования. Таблица
основных интегралов......................................................................................
7.3. Замена переменой в неопределенном интеграле.........................................
7.4. Интегрирование по частям...........................................................................
7.5. Интегрирование рациональных дробей......................................................
7.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций....................
7.7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.......................
Глава 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................................................
8.1. Определенный интеграл по фигуре............................................................
8.2. Определенный интеграл на отрезке............................................................
8.3. Связь неопределенного интеграла с определенным.
Формула Ньютона-Лейбница......................................................................
8.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле............................
8.5. Замена переменной в определенном интеграле.........................................
8.6. Геометрические приложения определенного интеграла на отрезке.......
8.7. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами
интегрирования.............................................................................................
8.8. Исследование сходимости несобственных интегралов с помощью
признаков сравнения....................................................................................
8.9. Интегралы от неограниченных функций...................................................
8.10. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах................
8.11. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах...................
8.12. Интеграл Пуассона.....................................................................................
8.13. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
(по площади поверхности) ...........................................................................
8.14. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах................
8.15. Замена переменных в тройном интеграле................................................
8.16. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
(по длине дуги) ..............................................................................................

Глава 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА.......................................................................................................
9.1. Криволинейный интеграл второго рода (от вектор-функции) ................
9.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.............................
9.3. Формула Остроградского-Грина.................................................................
9.4. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода
от пути интегрирования.............................................................................
9.5. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции) ...............
9.6. Формула Гаусса-Остроградского..............................................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................

Глава 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Определение и свойства неопределенного интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F (x )

называется первообразной

f (x ) , заданной на интервале(a ,b ) ,

если она дифференцируема x (a ,b ) и

для любого x из этого интервалаF ′(x ) =f (x ) .

ПРИМЕР . Для функцииf (x ) = 3x 2

очевидно F (x ) =x 3

– первообразная

x R ,

F1 ¢ (x) = (x3 ) ¢ = 3 x2 .

(x 3 +2 ) ¢ =(x 3 -7 ) ¢ =3 x 2 ,

F 2 (x ) =x 3 + 2,F 3 (x ) =x 3 − 7

F (x) = x3 + C, где C= const–

также первообразные этой функции.

ПРИМЕР. Так

" x > 0(lnx ) ¢ =

то F (x ) = lnx

– первообразная

f (x )=

(0, + ∞) .

(ln (- x ) ) ¢ =

"x Î(-¥,0 ) ,

F (x ) = ln (- x ) – первообразнаяf (x ) =

на (-¥ ,0) ,

или, можно заключить,

F (x )= ln

является первообразной функции f (x ) =

"x ÎR , x ¹0

"C ÎR .

как и функции вида ln

Таким образом,

если функция

f (x)

имеет первообразную

F (x) ,

F (x) + C , где C – произвольная постоянная, также является первообразной этой функции.

ТЕОРЕМА (о связи двух первообразных одной и той же функции). Пусть

	(x ) ,F 2 (x ) – две первообразные функции	f (x ) на интервале(a ,b ) . Тогда
	(x) = F2 (x) + C, C= const.
	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
	По определению первообразной F ¢ (x ) = F ¢ (x ) = f (x ) " x Î (a ,b ) .

Обозначим F (x )- F (x )= F (x ). Тогда F¢ (x )= F ¢ (x )- F ¢ (x )= 0 " x Î (a , b ).

Покажем, что F (x ) = const . Выберем произвольныеx 1 ,x 2 Î (a ,b ) . По теореме
Лагранжа (см. гл. 5) F (x		) - F (x )= F ′ (c )(x	X ) , где значениех = c находит-

ся между x и	x , поэтомуF ′(c ) = 0 . Отсюда следует, чтоF (x ) = F (x			) , то

есть F (x ) = const в силу произвольности выбораx 1 ,x 2 .

Таким образом, F 1 (x ) −F 2 (x ) =C ,C =const , что и требовалось доказать.

	Из теоремы следует, что множество всех первообразных функции f (x )
состоит из функций вида F (x ) +C ,						C = const, где F(x)			– одна (любая) из ее
первообразных.
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Совокупность всех первообразныхфункции									f (x )на
интервале (a ,b ) называетсянеопределенным интегралом от функции										f (x )и
обозначается ∫ f (x ) dx .
	f (x)		называется подынтегральной функцией,					f (x ) dx – подынтеграль-
ным выражением,				x –	переменной интегрирования.
			F (x)		одна из первообразных, то				доказанной
∫ f(x) dx= F(x) + C,					C = const.
	ПРИМЕР . Легко проверить, что∫ 3x 2 dx =x 3 +C ,∫ sinx dx = − cosx +C ,
		= − ctg x+ C.

∫ sin2
∫ sin2
			СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
	Пусть ∫ f (x ) dx =F (x ) +C ,F (x ) –						одна из первообразных функций f (x ) .
	1. d(∫ f(x) dx) = f(x) dx.
Действительно, d (∫ f (x ) dx ) =d (F (x ) +C ) =F ′(x ) dx =f (x ) dx .
	2. ∫ dF(x) = F(x) + C.
По определению				дифференциала			первообразной		∫ dF(x) = ∫ F′ (x) dx=
= ∫ f(x) dx.

3. ∫ (a f(x) + b g(x) ) dx= a∫ f(x) dx+ b∫ g(x) dx a, b R.

Свойство 3 называется свойством линейности неопределенного интеграла.

ПРИМЕР . По свойству 2

∫ dx =x +C ,∫ d cosx = cosx +C ,∫ d tg 2x = tg 2x +C ,C =const .

ПРИМЕР . По свойству 3∫ 2cosx dx = 2∫ cosx dx = 2∫ d sinx = 2sinx +C ,

∫ (3 x2 + 1 ) dx= 3 ∫ x2 dx+ ∫ dx= x3 + x+ C, C= const.

Отыскание первообразной от данной функции – задача значительно более трудная, чем нахождение производной. Правила дифференцирования сложной функции, а также суммы, разности, произведения и частного позволяли нам найти производную любой элементарной функции. Для отыскания интегралов таких простых и универсальных правил нет. Например, нет никаких определенных правил для нахождения первообразной произведения или частного двух функций, даже если первообразная каждой их них известна.

Кроме того, если производная элементарной функции также является элементарной функцией, то с операцией интегрирования дело обстоит иначе: существуют элементарные функции, интегралы от которых элементарными не явля-

7.2. Основные формулы и методы интегрирования. Таблица основных интегралов

Методы интегрирования сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во многих случаях приводит к нахождению первообразной. Из формул вычисления производных можно составить таблицу основных интегралов.

∫ 0 ×du =C ,

C = const

2. ∫ du= u+ C

3. ∫ uα du=

u α +1

C , α ¹ -1

4. ∫

α + 1

6. ∫ eu du= eu + C

∫a

du =

ln a

∫ sin u du= - cos u + C

8. ∫ cosu du = sinu + C

Tg u +C

Ctg u +C

cos2 u

sin2 u

11. ∫ tgu du = - ln

cos u

∫ ctgu du = ln

sin u

13. ∫

∫ cosu

sin u

15. ∫

16. ∫

a + u

a 2+ u 2

a 2- u 2

a - u

17. ∫

18. ∫

Arcsin

u + u2 ± a2

a 2- u 2

2 ± a 2

19. ∫ shu du = chu +C

20. ∫ chu du = shu +C

21. ∫

Th u +C

22. ∫

= −cth u +C

ch2 u

sh2 u

Во всех табличных формулах в качестве u может фигурировать как неза-

висимая переменная,

некоторая функция,

например,

формуле 6

∫ ex dx= ex + C

и ∫ e sin x d sinx =e sin x +C . В первом случаеu =x , а во втором –

u = sinx .

Формулы 19 – 22

функций : функция

e x− e − x

Sh x по определению называетсягиперболиче-

e x+ e − x

ским синусом,

Ch x–

гиперболическим косинусом,

Th x–

гиперболическим тангенсом,

Cth x–

гиперболическим котангенсом.

Для гиперболических функций справедливы многие формулы, похожие на три-

гонометрические,	например:	ch2 x - sh2 x = 1,	ch2 x + sh2 x = ch 2x ,
2ch x × shx = sh 2x ,	sh x × chy - shy × chx = sh(x - y ) и т.д.

Формулы 11–14, 16, 18, приведенные в таблице, не имеют аналогов среди формул табличных производных. Однако для проверки каждой из них достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с подынтегральными функциями. Проверим, к примеру, справедливость формулы 18:

)′

(u+ u2 ± a2

± a 2

± a

u 2± a 2

u + u2

± a 2

u + u2 ± a2

(u + u 2± a 2) u 2± a 2

± a 2

Зная таблицу основных интегралов и применяя свойства неопределенного интеграла, можно найти первообразные для более сложных функций.

ПРИМЕР . Найти∫

tg x

dx .

cos2 x

Заметим, что

x , поэтому∫

tg x

= ∫ tgx d tgx =

tg 2 x

c o s 2 x

cos2 x

по формуле 3: здесь u = tgx , α = 1.

Можно было сделать по-другому: так как tgx =

sin x

а sin x dx = −d cosx ,

cos x

tg x

dx =

sin x

dx = −

d cosx

cos−2 x

C по формуле

∫ cos2 x

∫ cos3 x

2cos2 x

∫ u−3 du= −

u −2

C , в которойu = cosx , α = −3 .

На первый взгляд полученные результаты совсем не похожи друг на друга, хотя являются неопределенными интегралами одной функции. Но на самом

деле при C =C +	tg2 x	tg2 x		C , то есть найденные

			2cos2

первообразные отличаются постоянным слагаемым, как и утверждается в теореме о связи двух первообразных.

ПРИМЕР . Найти∫ x e − x 2

dx .

d (−x 2 ) , поэтому по формуле 6, в

Заметим, что x dx =d

d (−x 2 ) = −

которой u = −x 2 , получим∫ x e − x

dx = −

∫ e −x

e −x

Этот интеграл похож на интеграл Пуассона, который, как отмечалось ранее, не выражается через элементарные функции. Но появление множителя x в подынтегральной функции позволило свести его к табличному.

7.3. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти неопределенный интеграл ∫ f (x ) dx , но непосредственно подобрать первообразную дляf (x ) не удается, хотя известно, что она

существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования x некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом.

Такой метод называется методом замены переменной , или методом подстановки.

Итак, введем новую переменную t по формулеx =x (t ) . Считаем, что функцияx (t ) – дифференцируема на некотором интервале, при этом функцияf (x ) непрерывна на соответствующем интервале измененияx . Тогда

∫ f(x) dx= ∫ f(x(t) ) d x(t) = ∫ f(x(t) ) x′ (t) dt,

(7.1) – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

ПРИМЕР . Найти

x 2 + 1

Сделаем замену переменной по формуле: x =tg t

x 2 + 1

2 t + 13 =

cos3 t

cos2 t

= ∫ cost dt =sint +C = sin arctgx +C =

x 2 + 1

1+x 2

метрических функций в прямоугольном треугольнике: tg t – отношение

противолежащего катета x к прилежащему 1, sint – отношение противолежащего катетаx к гипотенузе

x 2 + 1 (рис. 1).

ПРИМЕР . Найти∫ dx . 1 + x


Пусть x =t 2				= t, dx= 2 t dt
	= ∫		2t		dt = 2 ∫	(t + 1) −1	dt =
						t + 1
		1 + t

2 ∫ dt −∫ t dt + 1 = 2(t − lnt + 1) +C = 2( x − ln( x + 1) ) +C .

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ò f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894-1959).

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Даты возникновения некоторых математических знаков

	Значение		Когда знак введен, год
Знаки объектов
	бесконечность	Дж. Валлис
	отношение длины окружности к диаметру
	корень квадратный из
	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт

Знаки операций
	сложение	немецкие математики	конец XV в.
	вычитание
	умножение	У. Оутред
	умножение	Г. Лейбниц
		Г. Лейбниц
		Р. Декарт
		X. Рудольф
	логарифм	И. Кеплер
		Б. Кавальери


	арксинус	Ж. Лагранж
	дифференциал	Г. Лейбниц
	интеграл	Г. Лейбниц
	производная	Г. Лейбниц
	определенный интеграл

	факториал
		У. Гамильтон многие математики
		И. Бернулли
Знаки отношений
	равенство	Р. Рекорд
		Т. Гарриот
	сравнимость
	параллельность	У. Оутред
	перпендикулярность	П. Эригон

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет также любая функция , отличающаяся от постоянным слагаемым : ведь .

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если на каком-то промежутке , то функция постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции обозначают символом

где знак читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

, (1)

где - какая-то первообразная функции на данном промежутке, а - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

; ; .

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: , чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции , , соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

, , , .

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

(вынесение постоянного множителя);

(интегрирование суммы); если

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть - координата нашего тела в момент . Нам известно, таким образом, что и - постоянная. Требуется найти функцию - закон движения.

Поскольку , где , то, последовательно интегрируя, находим

Итак, мы нашли, что

, (3)

где и - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных и . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при , то выяснится, что , а из (3) при получается, что . Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

вполне определится, если указать начальное положение и начальную скорость тела. В частности, если и , получаем .

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

элементарной функции (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом ), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как или , хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент из промежутка времени скорости тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью . Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную функции на промежутке , то, поскольку , где - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью . Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток отдельными моментами , такими, что , разбить на очень мелкие временные промежутки , , то на каждом из этих коротких промежутков скорость тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью . В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

(5)

сумм вида (4), когда величина стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции на промежутке . Интеграл обозначается символом

в котором числа называются пределами интегрирования, причем - нижним, a - верхним пределом интегрирования; функция , стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией; - подынтегральным выражением; - переменной интегрирования.

Итак, по определению,

. (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости движения выражается интегралом (6) от функции по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

, (7)

если . Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах и промежутка интегрирования) функции , первообразной подынтегральной функции . Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с ), то, найдя первообразную функции по формуле (7), получаем величину

перемещения за время, прошедшее от момента до момента .

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке задана функция , то, разбивая промежуток точками , составляя интегральные суммы

где , , и переходя к пределу при , где , мы получаем по определению интеграл

(6")

от функции по промежутку . Если при этом на , т.е. - первообразная функции на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (7)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: .

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь изображенной на рис. 1 фигуры (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» которой есть график заданной на отрезке функции . Точками разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью соответствующего прямоугольника с основанием и высотой . В таком случае приближенное значение площади всей фигуры даст знакомая нам интегральная сумма , а точное значение искомой площади получится как предел таких сумм, когда длина наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь нижнего параболического треугольника. В нашем случае и . Нам известна первообразная функции , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что , , с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

. (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде (произведение площади основания на высоту ). Сумма дает приближенное значение объема рассматриваемого тела вращения. Точное значение получится как предел таких сумм при . Значит,

. (10)

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) , и , где - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную функции и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

где площадь круга, лежащего в основании конуса.

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж и ! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость , до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть - масса тела, - масса планеты. Кинетической энергии , которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна точками. Величины постоянны, а функция имеет первообразную , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801-1862)

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

Связывающий силу, при которой кинетическая энергия эта первообразная выделяется очевидным условием . Поскольку интеграл, согласно его определению (6"), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение первообразной (11) функции в любой точке можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью или вопросом о том, является ли элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением массы.

План

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы вычисления определенного интеграла (замена переменной, интегрирование по частям).

Геометрические приложения определенного интеграла. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике.

Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций).

Первообразная функции и неопределенный интеграл

В интегральном исчислении основной задачей является нахождение функции y = f (x ) по ее известной производной .

Определение 1. Функция F (x ) называется первообразной функции f (x ) на интервале (a, b ), если для любого выполняется равенство: или .

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a , b ] функция f (x ) имеет на этом отрезке первообразную F (x ).

В дальнейшем будем рассматривать непрерывные на отрезке функции.

Теорема 2. Если функция F (x ) является первообразной функции f (x ) на интервале (a, b ), то множество всех первообразных задается формулой F (x )+С , где С – постоянное число.

Доказательство .

Функция F (x )+С является первообразной функции f (x ), так как .

Пусть Ф (x ) – другая, отличная от F (x ) первообразной функции f (x ), т. е. . Тогда имеем

а это означает, что

где С – постоянное число. Следовательно,

Определение 2. Множество всех первообразных функций F (x )+С для функции f (x ) называется неопределенным интегралом от функции f (x ) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(1)

В формуле (1) f (x ) называется подынтегральной функцией , f (x )dx – подынтегральным выражением , x – переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой . Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оy .

Основные свойства неопределенного интеграла

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению :

Доказательство .

Пусть Тогда

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Доказательство .

Действительно, .

3. Постоянный множитель a () можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций :

5. Если F (x ) – первообразной функции f (x ), то

Доказательство .

Действительно,

6 (инвариантность формул интегрирования ). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной :

где u – дифференцируемая функция .

Таблица основных неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования. Другими словами, таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении (справа налево).

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может означать как независимую переменную (u =x ), так и функцию от независимой переменной (u =u (x )).)