Главная » Своими руками » Скольки равен 1 квадратный дециметр. Единица площади - квадратный дециметр. VIII. Домашнее задание

Скольки равен 1 квадратный дециметр. Единица площади - квадратный дециметр. VIII. Домашнее задание

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «дважды два - четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа лучше перемножать в столбик или на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

Разложите любое двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц - 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.

Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

Аналогично сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

Сложите результаты второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть результат возведения в квадрат числа 96. После некоторой тренировки сможете быстро делать шаги в уме, удивляя родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте результаты каждого шага, чтобы не запутаться.

Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

Запомните особый способ возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите количество десятков: в числе 75 их 7 штук.

Умножьте количество десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

Припишите справа число 25: 5625 - результат возведения в квадрат числа 75.

Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, поэтому последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 - результат.

Научитесь возводить в квадрат отрицательные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Аналогично -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число : -95 * -95 = 9025. Поэтому при возведении в квадрат можете просто не обращать внимания на знак «минус».

Полезный совет

Чтобы тренировка не была скучной, позовите на помощь друга. Пусть он пишет двузначное число, а вы - итог возведения этого числа в квадрат. Затем меняйтесь местами.

*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.
В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения:)
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 цифры)

Для цифр от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Для цифр от 50 до 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга .

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна - буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

Рассмотрим теперь возведение в квадрат двучлена и, применяясь к арифметической точке зрения, будем говорить о квадрате суммы, т. е. (a + b)² и о квадрате разности двух чисел, т. е. (a – b)².

Так как (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

то найдем: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², т. е.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Этот результат полезно запомнить и в виде вышеописанного равенства и словами: квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс произведение двойки на первое число и на второе число, плюс квадрат второго числа.

Зная этот результат, мы можем сразу написать, напр.:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Разберем второй из этих примеров. Нам требуется возвести в квадрат сумму двух чисел: первое число есть 3ab, второе 1. Должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (3ab)², что равно 9a²b²; 2) произведение двойки на первое число и на второе, т. е. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадрат 2-го числа, т. е. 1² = 1 – все эти три члена должно сложить между собою.

Совершенно также получим формулу для возведения в квадрат разности двух чисел, т. е. для (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b² ,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа .

Зная этот результат, мы можем сразу выполнять возведение в квадрат двучленов, представляющих с точки зрения арифметики разность двух чисел.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 и т. п.

Поясним 2-ой пример. Здесь мы имеем в скобках разность двух чисел: первое число 5ab 3 и второе число 3a 2 b. В результате должно получиться: 1) квадрат первого числа, т. е. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6 , 2) произведение двойки на 1-ое и на 2-ое число, т. е. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 и 3) квадрат второго числа, т. е. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; первый и третий члены надо взять с плюсом, а 2-ой с минусом, получим 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 . В пояснение 4-го примера заметим лишь, что 1) (a n-1)2 = a 2n-2 … надо показателя степени умножить на 2 и 2) произведение двойки на 1-ое число и на 2-ое = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Если встать на точку зрения алгебры, то оба равенства: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² и 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² выражают одно и тоже, а именно: квадрат двучлена равен квадрату первого члена, плюс произведение числа (+2) на первый член и на второй, плюс квадрат второго члена. Это ясно, потому что наши равенства можно переписать в виде:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

В некоторых случаях так именно и удобно толковать полученные равенства:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Здесь возводится в квадрат двучлен, первый член которого = –4a и второй = –3b. Далее мы получим (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² и окончательно:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Возможно было бы также получить и запомнить формулу для возведения в квадрат трехчлена, четырехчлена и вообще любого многочлена. Однако, мы этого делать не будем, ибо применять эти формулы приходится редко, а если понадобится какой-либо многочлен (кроме двучлена) возвести в квадрат, то станем сводить дело к умножению. Например:

31. Применим полученные 3 равенства, а именно:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

к арифметике.

Пусть надо 41 ∙ 39. Тогда мы можем это представить в виде (40 + 1) (40 – 1) и свести дело к первому равенству – получим 40² – 1 или 1600 – 1 = 1599. Благодаря этому, легко выполнять в уме умножения вроде 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 и т. д.

Пусть надо 41 ∙ 41; это все равно, что 41² или (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Также 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Если надо 37 ∙ 37, то это равно (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Подобные умножения (или возведение в квадрат двузначных чисел) легко выполнять, при некотором навыке, в уме.

Цель: способствовать развитию умения находить площадь геометрических фигур, используя квадратный дециметр

Задачи:

Образовательные:

определить наглядный образ новой единицы площади – квадратный дециметр;

Развивающие:

установить соотношение между квадратным санитиметром и квадратным дециметром как единицами площади

Воспитательные:

научиться вычислять площадь прямоугольных фигур с помощью квадратного дециметра

Планируемые результаты:

Здравствуйте ребята, меня зовут Кристина Евгеньевна, сегодня у нас с вами будет проходить урок математики.

И для начала давайте с Вами ответим на вопросы:

· Каким образом можно сравнить фигуры по площади?

(на «глаз» и наложив одну фигуру на другую)

· Что значит измерить площадь фигуры?

(измерить, сколько квадратов в ней помещается)

· Какую общепринятую единицу площади вы знаете?

· Площади, каких фигур вы умеете находить по значению длин?

(Квадрат, прямоугольник)

Вы очень хорошо ответили на все вопросы, - Мы не случайно вспомнили с вами про именованные числа, единицы измерения длины и площади, эти знания нам пригодятся на уроке.

а сейчас расскажу историю. Но сначала скажите, ребята, какой праздник у нас будет уже на этой неделе? А вы уже готовите подарки своим мама?

В школе все ученики готовились к предстоящему празднику, Дню Матери. Ученики 3 А класса решили изготовить для мам пригласительные билеты. Для этого им понадобился цветной картон со сторонами 6 и 9 сантиметров. Какова площадь пригласительного билета? (54 см)

А ученики 3 Б класса решили приготовить объявление прямоугольной формы со сторонами равными ширине и высоте парты, 30 сантиметров и 4 дециметра. Чему будет равна ее площадь? и какого размера им понадобится лист цветного картона?

Вы смогли выполнить задание?

Почему не получается? В чём затруднение? (не знаем, как сосчитать, долго).

Получается? В чём проблема?

Возникает проблемная ситуация – как умножить 30 см на 4 дм – дети не знают приемы внетабличного умножения (только выучили таблицу до 9).

Можем мы узнать площадь фигуры в см 2 ?

Что делать?

Нужна другая единица измерения площади.

Какая? Дети догадаются, что это будет дм 2 .

Ребята, также подготовили вам фигуру, достаньте под №1

Измерьте стороны этой фигуры (10 см)

Что можно сказать о ней? (это квадрат, со стороной 10 см)

10 см – это линейная единица, единица измерения длины.

Заменим ее наибольшей линейной единицей.

10 см = 1 дм запись в тетради

Значит у вас квадрат со стороной 1 дм.

Итак, на ваших столах квадрат со стороной 1 дм. Это новая единица измерения площади. Кто догадался, как она называется? (кв. дм)

Как найти площадь этого квадрата? (Длину умножить на ширину)

S =1 дм * 1 дм = 1 дм 2 запись в тетради

Чему равна его площадь?

Какое открытие мы сейчас сделали? (Мы нашли площадь квадрата в дециметрах)

Сформулируйте тему и задачи урока.

Вернёмся к искомой задаче, и решим ее. Сделаем вывод согласно поставленной задачи.

Для этого они могут предложить выразить 30 см как 3 дм. И найти площадь фигуры.

Возьмите второй квадрат №2. Что увидели? (разделен на см 2)

Сколько можно уложить квадратиков в 1 дм 2

А как найти площадь этого квадрата?

Как это записать?

S = 10 см · 10см = 100 см 2 запись в тетради

Какой путь короче?

В каких единицах измеряется площадь? (В дм 2)

Сколько в 1 дм 2 квадратных сантиметров? (щелчок)

В 1 дм 2 = 100 см 2

Закрасьте один квадратный сантиметр зеленым цветом.

- А зачем людям понадобилось применять новую единицу измерения в1 кв.дм, если у них уже была единица 1 кв.см?

Какие предметы можно измерять с помощью такой мерки? Посмотрите вокруг и назовите такие предметы (поверхность парты, стола, книги, тетради и др.)

Мы с вами сделали еще одно открытие.

А теперь откроем учебник на стр.144 и выполним задания № 351

У какого отрезка длину можно указать по-другому? Докажи свой ответ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Цель: способствовать развитию умения находить площадь геометрических фигур, используя квадратный дециметр

Задачи:

Образовательные:

определить наглядный образ новой единицы площади – квадратный дециметр;

Развивающие:

установить соотношение между квадратным санитиметром и квадратным дециметром как единицами площади

Воспитательные:

научиться вычислять площадь прямоугольных фигур с помощью квадратного дециметра

Планируемые результаты:

Здравствуйте ребята, меня зовут Кристина Евгеньевна, сегодня у нас с вами будет проходить урок математики.

Актуализация знаний учащихся. Мотивация к деятельности.

И для начала давайте с Вами ответим на вопросы:

Каким образом можно сравнить фигуры по площади?

(на «глаз» и наложив одну фигуру на другую)

Что значит измерить площадь фигуры?

(измерить, сколько квадратов в ней помещается)

Какую общепринятую единицу площади вы знаете?

(см 2 )

Площади, каких фигур вы умеете находить по значению длин?

(Квадрат, прямоугольник)

А ученики 3 Б класса решили приготовить объявление прямоугольной формы со сторонами равными ширине и высоте парты, 30 сантиметров и 4 дециметра . Чему будет равна ее площадь? и какого размера им понадобится лист цветного картона?

Вы смогли выполнить задание?

Почему не получается? В чём затруднение? (не знаем, как сосчитать, долго).

Вы хотели бы узнать, как выполнить это задание?

Получается? В чём проблема?

Можем мы узнать площадь фигуры в см 2 ?

Нет?

Что делать?

Нужна другая единица измерения площади.

Какая? Дети догадаются, что это будет дм 2 .

Ребята, также подготовили вам фигуру, достаньте под №1

Измерьте стороны этой фигуры (10 см)

Что можно сказать о ней? (это квадрат, со стороной 10 см)

10 см – это линейная единица, единица измерения длины.

Заменим ее наибольшей линейной единицей.

10 см = 1 дм запись в тетради

Значит у вас квадрат со стороной 1 дм.

Как найти площадь этого квадрата? (Длину умножить на ширину)

S=1 дм * 1 дм = 1 дм 2 запись в тетради

Чему равна его площадь?

Какое открытие мы сейчас сделали? (Мы нашли площадь квадрата в дециметрах)

Сформулируйте тему и задачи урока.

Вернёмся к искомой задаче, и решим ее. Сделаем вывод согласно поставленной задачи.

Для этого они могут предложить выразить 30 см как 3 дм. И найти площадь фигуры.

Возьмите второй квадрат №2. Что увидели? (разделен на см 2 )

Сколько можно уложить квадратиков в 1 дм 2

А как найти площадь этого квадрата?

Как это записать?

S = 10 см · 10см = 100 см 2 запись в тетради

Какой путь короче?

В каких единицах измеряется площадь? (В дм 2 )

Сколько в 1 дм 2 квадратных сантиметров? (щелчок)

В 1 дм 2 = 100 см 2

Закрасьте один квадратный сантиметр зеленым цветом.

Сравните мерки между собой. Что можете сказать?
- А зачем людям понадобилось применять новую единицу измерения в1 кв.дм, если у них уже была единица 1 кв.см?

Мы с вами сделали еще одно открытие.

А теперь откроем учебник на стр.144 и выполним задания № 351

У какого отрезка длину можно указать по-другому? Докажи свой ответ.

На данном уроке учащимся предоставляется возможность познакомиться с еще одной единицей измерения площади, квадратным дециметром, научиться переводить квадратные дециметры в квадратные сантиметры, а также потренироваться в выполнении различных заданий на сравнение величин и решении задач по теме урока.

Прочитайте тему урока: «Единица площади - квадратный дециметр». На уроке мы познакомимся ещё с одной единицей площади, квадратным дециметром, научимся переводить квадратные дециметры в квадратные сантиметры и сравнивать величины.

Начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см и обозначьте буквами его вершины (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Найдём площадь прямоугольника. Чтобы найти площадь, надо длину умножить на ширину прямоугольника.

Запишем решение.

5*3 = 15 (см 2)

Ответ: площадь прямоугольника - 15 см 2 .

Мы вычислили площадь данного прямоугольника в квадратных сантиметрах, но, иногда, в зависимости от решаемой задачи, единицы измерения площади могут быть другими: больше или меньше.

Площадь квадрата, сторона которого 1 дм, - это единица площади, квадратный дециметр (рис. 2).

Рис. 2. Квадратный дециметр

Слова «квадратный дециметр» при числах записывают так:

5 дм 2 , 17 дм 2

Установим соотношение между квадратным дециметром и квадратным сантиметром.

Поскольку квадрат со стороной 1 дм можно разбить на 10 полосок, в каждой из которых по 10 см 2 , то всего в квадратном дециметре десять десятков, или сто квадратных сантиметров (рис. 3).

Рис. 3. Сто квадратных сантиметров

Запомним.

1 дм 2 = 100 см 2

Выразите данные величины в квадратных сантиметрах.

5 дм 2 = … см 2

8 дм 2 = … см 2

3 дм 2 = … см 2

Рассуждаем так. Мы знаем, что в одном квадратном дециметре сто квадратных сантиметров, значит, в пяти квадратных дециметрах пятьсот квадратных сантиметров.

Проверьте себя.

5 дм 2 = 500 см 2

8 дм 2 = 800 см 2

3 дм 2 = 300 см 2

Выразите данные величины в квадратных дециметрах.

400 см 2 = … дм 2

200 см 2 = … дм 2

600 см 2 = … дм 2

Объясняем решение. В сто квадратных сантиметра составляют один квадратный дециметр, значит, в числе 400 см 2 четыре квадратных дециметра.

Проверьте себя.

400 см 2 = 4дм 2

200 см 2 = 2 дм 2

600 см 2 = 6 дм 2

Выполните действия.

23 см 2 + 14 см 2 = … см 2

84 дм 2 - 30 дм 2 =… дм 2

8 дм 2 + 42 дм 2 = … дм 2

36 см 2 - 6 см 2 = …см 2

Рассмотрим первое выражение.

23 см 2 + 14 см 2 = … см 2

Складываем числовые значения: 23 + 14 = 37 и приписываем наименование: см 2 . Продолжаем рассуждать аналогично.

Проверьте себя.

23 см 2 + 14 см 2 = 37 см 2

84дм 2 - 30 дм 2 = 54 дм 2

8дм 2 + 42 дм 2 = 50 дм 2

36 см 2 - 6 см 2 = 30 см 2

Прочитайте и решите задачу.

Высота зеркала прямоугольной формы - 10 дм, а ширина - 5 дм. Чему равна площадь зеркала (рис. 4)?

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Чтобы узнать площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину. Обратим внимание на то, что обе величины выражены в дециметрах, значит, наименование площади будет дм 2 .

Запишем решение.

5 * 10 = 50 (дм 2)

Ответ: площадь зеркала - 50 дм 2 .

Сравните величины.

20 см 2 … 1 дм 2

6 см 2 … 6 дм 2

95 см 2 …9 дм

Важно помнить: чтобы величины можно было сравнивать, у них должны быть одинаковые наименования.

Рассмотрим первую строку.

20 см 2 … 1 дм 2

Переведем квадратный дециметр в квадратный сантиметр. Помним, что в одном квадратном дециметре сто квадратных сантиметров.

20 см 2 … 1 дм 2

20 см 2 … 100 см 2

20 см 2 < 100 см 2

Рассмотрим вторую строку.

6 см 2 … 6 дм 2

Нам известно, что квадратные дециметры больше, чем квадратные сантиметры, а числа при данных наименованиях одинаковые, значит, ставим знак «<».

6 см 2 < 6 дм 2

Рассмотрим третью строку.

95см 2 …9 дм

Обратим внимание, что слева записаны единицы площади, а справа - линейные единицы. Такие величины сравнивать нельзя (рис. 5).

Рис. 5. Разные величины

Сегодня на уроке мы познакомились ещё с одной единицей площади, квадратным дециметром, научились переводить квадратные дециметры в квадратные сантиметры и сравнивать величины.

На этом урок наш закончен.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.