Геометрия. Преобразование фигур на плоскости. Виды движения. Движения. Преобразования фигур

Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение".

1. Отображения, образы, композиции отображений.

Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.

Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек.

О точке X", соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X" = f(X) . Множество точек X", соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M" = f(M) .

Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.

Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.

Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X" множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X" (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X". Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.

Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A.

Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.

Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X" = f(X) (N, а затем X" при отображении g перешла в точку X"" (P, то тем самым в результате X перешла в X"".

В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.

Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.

2. Определение движения.

Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A" и B", что |A"B"| = |AB|.

Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F" называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

3. Общие свойства движения.

Свойство 1 (сохранение прямолинейности) .

При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .

Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.

При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A", B", C": |A"B"| + |B"C"| = |A"C"|.

Таким образом, точки A", B", C" лежат на одной прямой, и именно точка B" лежит между A" и C".

Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:

Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.

4. Параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY".

Основное свойство переноса:

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY.

Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.

Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х.

5. Центральная симметрия.

Определение

1. Точки A и A" называются симметричными относительно точки О, если точки A, A", O лежат на одной прямой и OX = OX". Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) .

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.

Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной.

Определение

2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY.

Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY.

Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX".

Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY.

Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA".

6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости) .

Определение

1. Точки A и A" называются симметричными относительно плоскости (, если отрезок AA" перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

Две фигуры F и F" называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (, а плоскость (плоскостью симметрии.

Определение

2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .

Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

См. Доказательство 1.

Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.

Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

7. Поворот вокруг прямой.

Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве.

Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол (- углом поворота.

Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.

Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.

См. Доказательство 2.

Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.

7.1. Фигуры вращения.

Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

7.2. Осевая симметрия.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.

8.1. Неподвижные точки движений пространства.

Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос) .

Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия) .

Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой) .

Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия) .

Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение) .

Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.

8.2. Основные теоремы о задании движений пространства.

Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A"B"C". Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A", B в B", C в C". Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A"B"C".

Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A"B"C"D". Тогда существует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A", ((B) = B", ((C) = C", ((D) = D".

9. Два рода движений.

Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.

9.1. Базисы и их ориентация.

Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.

Тройка базисных векторов называется правой (левой) , если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.

9.2. Два рода движения.

Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.

Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.

Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.

Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.

Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.

10. Некоторые распространенные композиции.

Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.

10.1. Композиции отражений в плоскости.

Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.

Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.

Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так: Композиция отражения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос.

Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.

Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.

10.2. Винтовые движения.

Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт.

Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос) .

10.3. Зеркальный поворот.

Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется композиция поворота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.

10.4. Скользящие отражения.

Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.

Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение.

Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.

Движение плоскости второго рода является скользящим отражением.

При создании реферата были использованы следующие книги:

1. "Геометрия для 9-10 классов". А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.

2. "Геометрия". Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

3. "Математика". В. А. Гусев, А. Г. Мордкович.

785 руб

Линейная алгебра в вопросах и задачах

Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры и должно помочь активному и неформальному усвоению материала. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.

Для студентов высших учебных заведений.

395 руб

Руководство к решению задач по математическому анализу

"Руководство" содержит задачи по темам: производная и дифференциал функции, исследование функций и построение их графиков, неопределенный интеграл, определенный интеграл, функции многих переменных, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы теории поля, ряды, дифференциальные уравнения.м Приведены подробные примерные решения типичных задач, а также необходимые теоретические сведения. Особенность данного задачника - изложение материала, позволяющее использовать его для самостоятельной работы.

Учебное пособие предназначено для студентов технических и технологических специальностей вузов.

1234 руб

Математические основы теории риска

В книге систематически излагаются теоретические основы математических методов, используемых при анализе рисковых ситуаций. Основное внимание уделено методам анализа страховых рисков. Наряду с материалом, традиционно излагаемым в рамках курсов лекций по теории риска и страховой математике, в книгу включены некоторые разделы, содержащие новейшие результаты.

Для студентов и аспирантов, обучающихся по математическим и экономико-математическим специальностям (математика, прикладная математика, актуарная математика, финансовая математика, страховое дело). Книга может использоваться актуариями и специалистами-аналитиками, работающими в страховых и финансовых компаниях, а также специалистами в области теории надежности и другими исследователями, чья деятельность связана с оцениванием риска и анализом разнообразных рисковых ситуаций.
Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200 "Прикладная математика и информатика" и по направлению 510200 "Прикладная математика и информатика".

1279 руб

Комбинаторика и теория вероятностей

Настоящая книга возникла как методическое пособие к курсам лекций, которые автор в разные годы читал и до сих пор читает на факультете биоинженерии и биоинформатики МГУ, на факультете инноваций и высоких технологий МФТИ, в совместном бакалавриате Российской экономической школы и Высшей школы экономики, в Школе анализа данных Яндекса. Все эти курсы объединены наличием в них базовой составляющей по комбинаторике и теории вероятностей. Иными словами, в основе каждого из них лежит некоторое количество простых понятий и фактов, которые возникают в указанных дисциплинах и без которых невозможно понимание более специфических - так сказать, "продвинутых" - результатов.
Многие из этих фактов и понятий есть в классических учебниках и монографиях. Однако, во-первых, они разбросаны по разным книгам, а во-вторых, помимо них, эти книги содержат и массу другой информации. Как следствие, оказывается, что нет удобного источника, где были бы собраны и надлежащим образом позиционированы эти и только эти факты и понятия. По сути предлагаемая книга заполняет этот пробел.
В книге сжато, лаконично и достаточно неформально вводятся все необходимые объекты и даются все необходимые утверждения о них. Если доказательство теоремы имеется в стандартном учебнике, то, как правило, оно не воспроизводится; на него лишь ставится удобная ссылка. Зато если доказательство мало доступно или нигде популярно не изложено, то ему уделяется значительное внимание. Например, так сделано в отношении формулы обращения Мёбиуса, которую мало где подробно обсуждают, или в отношении задач об оценках комбинаторных величин, которые крайне важны, но обычно возникают "сами собой" в чисто профессиональной литературе, и читатель вынужден догадываться, какие идеи за этим стоят.
Есть в книге и достаточно нетривиальные вещи, характерные для курсов автора. Например, в той части, которая посвящена теории вероятностей, обсуждаются формулы обращения, позволяющие выразить распределения дискретных величин через их моменты (это очень важно в приложениях: например, для случайных графов), а также мартингалы (в дискретном случае) и некоторые связанные с ними неравенства концентрации меры. Эти вещи описаны так же неформально и без чрезмерного углубления в детали, как и все остальное. Однако так и проще не потеряться в дебрях материала.
По аналогичному принципу устроены задачи, которые предлагаются в конце каждой темы.
Таким образом, книга позволит четко систематизировать информацию, разбросанную по разным учебникам и задачникам (а зачастую и просто недоступную), и даст тот ее минимум, который необходим для адекватного восприятия курсов по комбинаторике, информатике, теории графов, теории алгоритмов, теории вероятностей и др.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Классическая симметрия «левого-правого», когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, которая делит такие фигуры на две зеркально равные части называется плоскостью симметрии, и обозначается латинской литерой «м».

ЦЕНТРАЛЬНО-ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (осевая, симметрия вращения).

Симметрия относительно центральной (зачастую вертикальной) оси, образованной пересечением двух или более плоскостей симметрии. При полном обороте (360*) форма несколько раз совмещается сама с собой. Число таких совмещений определяет порядок оси симметрии (колличество трансформаций), которая обозначается латинской литерой «n» и числом. Квадрат имеет четверную ось («n4»), шестиугольник – шестерную, пентаграмма – пятерную.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ (трансляционная симметрия).

Простейшее преобразование, приводящее к «бесконечным» фигурам – перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины – «а». Направляющая называется осью переносов, а интервалы – периодами трансляции. Если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярной оси, это означает, что свойства линейной формы в одном направлении иные чем в обратном. Тем самым в архитектуре подчеркивается поступательное движение в одном направлении.

Кроме оси переносов в трансформации могут быть задействованы иные типы преобразований – отражение и поворот. Более сложные «рисунки» дает использование неполных интервалов (1/2, ¼, ¾, и т.д.). Подобным образом создаются линейные бесконечные орнаменты, именуемые «бордюры» (фр. Границы). Такой вид симметрических преобразований именуют – СИММЕТРИЕЙ БОРДЮРОВ, и в ней, как и в трансляционной симметрии различают полярные (направленные) формы и не полярные.

СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ И ПЛОТНЫХ УПАКОВОК. («ПАРКЕТЫ»).

Этот вид симметрии привлекается для описания и анализа однородных, состоящих из одинаковых элементов структур, как объемных так и плоскостных.

Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. Плоская сетка имеет две непараллельных оси переносов, или точнее «плоская» сетка представляет собой такое разбиение плана на конечные участки, которое кроме тождественного преобразования допускает еще два неколленеарных автоморфизма сдвига. Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от способов соединения узлов. У всех систем точек кроме осей переносов содержатся и другие элементы симметрии. Например, правильная треугольная сетка, в каждой вершине которой пересекаются три направляющие, и имеет шестерные вертикальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограммических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек:

Квадратная система узлов,

Правильная треугольная система узлов,

Ромбическая система узлов,

Прямоугольная система узлов,

Косая параллелограммическая система узлов.

На осонве непрямоугольных сеток получаются достаточно выразительные системы расчленения плоскостей.

В случае трехмерного пространства можно выделить уже не пять систем точек, а 14 бесконечных фигур, именуемых решетками Бравэ.

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (винтовая).

Эта группа симметрии образована последовательным преобразованием формы, с использованием двух типов – поворот и перенос. Фигура обладает «винтовой осью» симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произвенных последовательно двух операций: поворота на угол и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол равен 360*/ n, то винтовую ось называют ось порядка n/... . Так как закручивание можно проиводить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые. Спираль представляет собой геометрическое место точек, которое удовлетворяют единому правилу построения, как например архимедова спираль r = a

CИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ.

В соответствии с характером преобразований фигур различают ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (ортогональные) и НЕИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (аффинные, проективные и т.д.) группы симметрии.

Изометрические – группы вращений, отражений, переносов, сохраняют метрические свойства исходных элементов. К ним относятся все рассмотренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называют «ДВИЖЕНИЯМИ».

АФФИННЫЕ группы состоят из совокупностей ОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ – растяжение, сжатие, перспективные сокращения, допускаемые бесконечными фигурами.

Группы ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между собой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны величинами арифметической, геометрической или гармонической прогрессии.

Таким образом существует СЕМЬ основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородые элементы.

Малоязовская башкирская гимназия

Геометрия

Реферат

“Преобразования фигур”

Выполнил: ученик 10 Б класса

Халиуллин А.Н.

Проверила: Исрафилова Р.Х.

Малояз 2003 год

I . Преобразование.

II . Виды преобразований

1. Гомотетия

2. Подобие

3. Движение

III . Виды движения

1. Симметрия относительно точки

2. Симметрия относительно прямой

3. Симметрия относительно плоскости

4. Поворот

5. Параллельный перенос в пространстве

I . Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II . Виды преобразования в пространстве : подобие, гомотетия, движение.

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = XY

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой.

Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 .

Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 .

Так как из трех точек A 1 ,B 1 ,C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

4. Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть a - произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость a".

Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость a переходит в плоскость a".

Пусть X - произвольная точка плоскости a. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости a, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a". Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y" и Z", принадлежащие треугольнику A"B"C", а значит, плоскости a".

Итак прямая a" лежит в плоскости a". Точка X при движении переходит в точку X" прямой a", а значит, и плоскости a", что и требовалось доказать.

В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными , если они совмещаются движением.

III . Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение, параллельный перенос.

Симметрия относительно точки

Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX", равный OX. Точка X" называется симметричной точке Xотносительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной точке O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно точки O.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной , а точка O называется центром симметрии .

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство. Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X" и Y". Рассмотрим треугольники XOY и X"OY". Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX", OY=OY" по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X"Y". А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.

Симметрия относительно прямой

Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX", равный отрезку AX. Точка X" называется симметричной точке Xотносительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A" (x";y") фигуры F". Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A" равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x" = -x.

Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в точки A" (-x;y) и B" (-x;y).

AB 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

Отсюда видно, что AB=A"B". А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.

Симметрия относительно плоскости

Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку Aоткладываем отрезок AX", равный XA. Точка X" называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X", называется преобразованием симметрии относительно плоскости a.

Движением Преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками сохраняется, называется движением. Из определения следует, что при движении любой фигуры на плоскости, в результате получается, равная данной, фигура. O A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B p Рассмотрим виды движения подробнее.

Если при центральной симметрии фигура отображается сама в себя, то она является центрально-симметричной фигурой. A B C D O ABCDСDAB O Задание. Приведите еще примеры центрально-симметричных фигур. Назовите их центр симметрии. Существует ли геометрическая фигура, имеющая не один центр симметрии? Ответ(примерный): точка(сама точка), отрезок(середина отрезка), любой правильный многоугольник с четным числом сторон(середина большей диагонали), ромб(пересечение диагоналей), окружность(её центр), круг… Да, прямая.

Если при симметрии относительно прямой фигура отображается сама в себя, то она имеет ось симметрии. A B C D O ABCDDСBA m Задание. Приведите еще примеры фигур, имеющих ось симметрии. Назовите их ось симметрии. Существует ли геометрическая фигура, имеющая не одну ось симметрии? Ответ(примерный): точка(любая прямая, проходящая через эту точку), отрезок(две оси), любой правильный многоугольник с нечетным числом сторон(сколько сторон – столько осей), ромб(две прямые, содержащие диагонали), окружность(любая прямая, приходящая через ее центр), круг… m n ABCDBADС n

Параллельный перенос Х Х При этом преобразовании плоскости все точки фигуры перемещаются в одном направлении на одно и то же расстояние. Естественно задавать его с помощью вектора. Точка Х является образом точки Х при параллельном переносе на, если: Очевидно, что фигура отобразится сама в себя при параллельном переносе на (нулевой вектор). Поворот Х Х О Чтобы выполнить поворот фигуры необходимо задать: 1) центр поворота, 2) направление поворота и 3) величину угла поворота. Второе и третье условия можно объединить, оговорив, что отрицательные углы откладываются в направлении «по часовой стрелке», а положительные – против. О – центр поворота Точка Х является образом точки Х при повороте около точки О на угол, если: 1) ХО=ХO ; 2) XOX=.

A BC D EF ABCDEF D C B A F E 90 0 Пример поворота правильного шестиугольника ABCDEF вокруг точки D на прямой угол по часовой стрелке.

Cтраница 1

Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.  

Преобразование фигуры F в F2 есть преобразование подобия, так как при нем сохраняются отношения расстояний между соответствующими точками, однако это преобразование не является гомотетией.  

Преобразование фигуры F в фигуру F называется центрально-подобным преобразованием или гомотетией.  

Преобразование фигуры F в фигуру Р называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно - и то же число раз.  

Пусть преобразование фигуры F в фигуру FI переводит различные точки фигуры F в различные топки фигуры F. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку Х фигуры F. Преобразование фигуры FI в фигуру F, при котором точка Х перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.  

В геометрии преобразование фигур такого характера называется преобразованием подобия.  

При этом преобразование фигуры понимается как ее смещение. Среди преобразований выделяются движения и преобразование подобия. Рассматриваются частные виды движений: осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос. Частным видом преобразования подобия является гомотетия.  

Соответствующие при этом преобразовании фигуры наз. Фигура, совпадающая со своей взаимно полярной, наз.  

В геометрии такого рода преобразования фигур называются подобными.  

Под перемещением будем понимать такое преобразование фигур, когда все их точки, не меняя взаимного расположения, изменяют его относительно неподвижных плоскостей проекций. При плоскопараллельном перемещении все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. Обычно это плоскости уровня или проецирующие плоскости. Линии, по которым перемещаются точки, называются их траекториями, это плоские кривые.  

Однако во многих случаях бывает полезным использование преобразования фигуры в подобную ей фигуру. Такое подобие сохраняет углы, но может изменять расстояния. При этом все расстояния увеличиваются (или уменьшаются) в одном и том же отношении, называемом коэффициентом подобия.  

Часто удается притти к решению задачи с помощью метода преобразования фигур, и даже во многих случаях успех этого метода можно предвидеть с первого взгляда. Этот метод состоит в замене данной, или искомой фигуры, или какой-нибудь части их, новой фигурой, связанной с первоначальной определенным построением и позволяющей решить задачу или приблизиться к ее решению. Мы рассмотрим пока только такие преобразования, при которых новая фигура равна старой и отличается от нее только положением.  

Построение дезарговой конфигурации приводит к интересному следствию, относящемуся к преобразованиям фигур и построению перспективных проекций. При решении предыдущей задачи было дано пять точек - дезаргова прямая, определенная двумя точками М и Р, дезаргова точка S и две точки А и А, расположенные на одном ребре пирамиды в различных ее сечениях. Для двух других точек одного сечения пирамиды (ее основания) В и С были найдены соответственные им точки В и С в другом сечении. Соответственными точками называются точки, расположенные на одном и том же ребре.