Исследование простейшей колебательной системы. Колебательное движение
колебательные системы
системы, в которых в результате нарушения состояния равновесия могут возбуждаться собственные колебания. Колебательные системы делятся на консервативные (без потерь энергии - идеализация), диссипативные (колебания затухают из-за энергетических потерь, напр. маятник, колебательный контур) и активные, в число которых входят автоколебательные (потери энергии пополняются за счет источника энергии, напр. генераторы электрических колебаний). Колебательные системы различают также по числу степеней свободы.
Колебательные системы
физические системы, в которых в результате нарушения состояния равновесия возникают собственные колебания , обусловленные свойствами самой системы.
С энергетической стороны К. с. делятся: на консервативные системы, в которых нет потерь энергии или, вернее, которые можно с достаточной точностью считать лишёнными таких потерь (механические системы без трения и без излучения упругих волн; электромагнитные системы без сопротивления и без излучения электромагнитных волн); диссипативные системы, в которых первоначально сообщенная энергия не остается в процессе колебаний постоянной, а расходуется на работу, в результате чего колебания затухают; автоколебательные системы, в которых происходят не только потери энергии, но и пополнение ее за счет имеющихся в системе постоянных источников энергии (см. Автоколебания).
В общем случае параметры К. с. (масса, ёмкость, упругость и т.п.) зависят от происходящих в них процессов. Такие К. с. описываются нелинейными уравнениями и относятся к классу нелинейных систем. К. с., параметры которых с достаточной точностью можно считать не зависящими от происходящих в них процессов и описывать линейными уравнениями, называются линейными. Основной чертой линейных К. с. является выполнение суперпозиции принципа. Это позволяет представлять колебания в системе в виде суммы колебаний определённого типа.
К. с. различаются ещё по числу степеней свободы, то есть по числу независимых параметров (обобщённых координат, определяющих состояние системы). Если число N таких параметров конечно, то К. с. называются дискретными с N степенями свободы. Предельный случай при N ╝ ¥ составляют так называемые распределённые К. с. (струна, мембрана, электрический кабель, сплошные объёмные системы и т.п.). Общие свойства К. с. и общие закономерности происходящих в них процессов составляют предмет теории колебаний.
Колебательные системы служат для создания электрических колебаний, их усиления, излучения электромагнитной энергии в пространство и выделения колебаний определенной частоты при приеме.
В радиотехнических устройствах в качестве такой системы используется колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L.
Рассмотрим работу идеального колебательного контура, т. е. контура, в котором отсутствуют потери энергии.
При подключении контура (рис. а) к источнику постоянного тока конденсатор С заряжается. Через некоторое время напряжение на его пластинах становится максимальным U мах, равным напряжению на зажимах источника тока. При этом вся энергия Е=С U 2 мах: 2, запасенная контуром, оказывается сосредоточенной в электрическом поле конденсатора.
При отключении колебательного контура от источника тока конденсатор разряжается. В контуре появляется разрядный ток i, а вокруг витков катушки индуктивности L возникает магнитное поле (рис. б). Процесс разряда конденсатора происходит не мгновенно благодаря возникновению ЭДС самоиндукции катушки. Чем больше индуктивность катушки и емкость конденсатора, тем дольше происходит разряд. Через некоторое время конденсатор полностью разряжается, и напряжение на нем становится равным нулю, а ток в катушке достигает максимального значения. В магнитном поле катушки запасается энергия Ем = L I 2 мах: 2.
Процесс генерирования электрических колебаний
Таким образом, энергия электрического поля конденсатора преобразовывается в энергию магнитного поля катушки индуктивности.
В дальнейшем, разрядный ток, достигнув максимального значения, начинает уменьшаться. При этом появляется ЭДС самоиндукции обратного направления, которая препятствует убыванию тока. Под действием этой ЭДС конденсатор заряжается. Через некоторое время ток заряда полностью прекратится, напряжение на конденсаторе становится максимальным, но с обратным знаком (рис. в). После этого конденсатор вновь начинает разряжаться, но ток через катушку пойдет в обратном направлении (рис. г).
Колебания, которые возникают в контуре без непрерывного воздействия источника переменной ЭДС, называются свободными или собственными колебаниями. Их период Т 0 (с) и частота f 0 (Гц) зависят от величины индуктивности L (Гц) катушки и емкости С (Ф) конденсатора:
Процессы протекающие в идеальном контуре показывают, что свободные электрические колебания являются гармоническими и имеют незатухающий характер. Так как реальный контур обладает активным сопротивлением потерь R, свободные колебания в нем затухают с течением времени. Качество контура характеризуется добротностью Q, которая показывает, во сколько раз волновое (характеристическое) сопротивление контура больше сопротивления потерь R.
Чем выше добротность, тем меньше затухают свободные колебания в контуре. Принято считать контуры хорошими, если добротность превышает 100. Добротность плохих контуров менее 20.
Для существования незатухающих колебаний в реальном контуре необходимо восполнять расход энергии на потери в контуре от внешнего источника переменной ЭДС. Колебания, которые совершаются в контуре при непрерывном воздействии на него источника переменной ЭДС, называются вынужденными. В том случае, если частота вынужденных колебаний совпадает с частотой свободных колебаний контура, в нем возникает явление электрического резонанса. Оно характеризуется возникновением незатухающих электрических колебаний в контуре при незначительном расходе энергии от источника тока, который необходим лишь для покрытия потерь на активном сопротивлении контура
Последовательный колебательный контур:
электрическая схема; б - векторная диаграмма напряжений; в - график изменения реактивных сопротивлений в функции частот колебаний
В зависимости от схемы подключения источника к колебательному контуру различают последовательное и параллельное подключение. Соответственно этому и контуры именуются последовательными или параллельными.
Радиоволны звуковых и инфразвуковых частот, которые по своей природе являются электромагнитными, не следует смешивать со звуковыми волнами, т. е. упругими механическими колебаниями.
Спектр электромагнитных волн охватывает частоты примерно от 10 -3 до 10 23 Гц. Радиоволны занимают частоты 3-3 10 12 Гц и разбиты на 12 диапазонов.
По способу распространения различают свободно распространяющиеся радиоволны, земные, тропосферные и ионосферные.
Практически используемый в авиации спектр частот радиоволн от 3 - 10 4 до 3 - 10 11 Гц в зависимости от особенностей их распространения разбит на ряд диапазонов.
Понятие об уравнении системы. Классификация колебательных систем связана со свойствами операторного уравнения, устанавливающего зависимость между вектором состояния системы и вектором воздействий на систему со стороны окружающей среды:
Здесь оператор системы, включающий в себя все уравнения и дополнительные условия, необходимые для однозначного описания поведения системы при внешнем воздействии
Для механических систем операторное уравнение (1), как правило, сводится к совокупности некоторых дифференциальных уравнений с граничными и начальными условиями, а также с дополнительными соотношениями типа уравнений связи.
Системы с конечным числом степеней свободы и распределенные системы. Классифицировать колебательные системы можно по различным признакам. Одним из важнейших признаков является число степеней свободы системы, т. е. количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой фиксированный момент времени Понятие конфигурации само по себе
нуждается в определении. Здесь ограничимся указанием на то, что для механических систем под конфигурацией понимается положение всех точек системы в пространстве.
Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае множество степеней свободы может быть либо счетным, либо континуальным. Системы, обладающие континуальным множеством степеней свободы, называют распределенными (континуальными). Число степеней свободы зависит от характера идеализации реальной системы. Упругие системы с распределенной массой являются распределенными системами; заменяя распределенную массу конечным числом сосредоточенных масс, получим систему с конечным числом степеней свободы. С математической точки зрения колебания систем с конечным числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями; колебания распределенных систем - дифференциальными уравнениями в частных производных. Математическое описание весьма широкого и наиболее важного для приложений класса распределенных систем может быть сведено к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот класс распределенных систем эквивалентен, таким образом, системам с бесконечным счетным числом степеней свободы. Приближенная трактовка последних приводит к системам с конечным числом степеней свободы.
Линейные и нелинейные системы. Принцип суперпозиции. Система называется линейной, если ее оператор является линейным, т. е. удовлетворяет условию
для любых допустимых законов изменения состояния и любых числовых множителей Если условие (2) не выполняется, система называется нелинейной. Соотношение (2) содержит в себе принцип суперпозиции для линейных систем. Пусть при внешнем воздействии поведение системы описывается вектором , а при внешнем воздействии описывается вектором Тогда при внешнем воздействии поведение системы будет описываться вектором Принцип суперпозиции - одно из важнейших свойств линейных систем - широко используется как при теоретическом исследовании, так и в технических приложениях.
Стационарные и нестационарные системы. Если свойства системы не изменяются на данном отрезке времени, то систему называют стационарной на этом отрезке. Отрезком времени, в частности, может быть вся числовая ось Если свойства системы изменяются во времени, то ее называют нестационарной. Процессы, происходящие в стационарных системах, описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами; процессы, происходящие в нестационарных системах, - дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. В литературе встречаются также термины система с постоянными параметрами и система с переменными параметрами.
Автономные и неавтономные системы. В операторном уравнении (1) для автономной системы следует положить Колебательные процессы в автономных системах могут происходить лишь за счет внутренних источников энергии либо энергии, сообщенной системе в виде начального возмущения. Остальные системы называются неавтономными. Различие между автономными и неавтономными системами условно, поскольку граница, отделяющая систему от окружающей среды, выбирается при формулировке математической модели.
Консервативные и неконсервативные системы. Система называется консервативной, если ее полная механическая энергия остается постоянной при колебаниях. В противном случае система называется неконсервативной. В свою очередь, среди неконсервативных систем могут быть выделены системы, обладающие определенными характерными свойствами. Так, система называется диссипативной, если полная механическая энергия при любом движении соответствующей автономной системы убывает. Систему называют автоколебательной, если она стационарна и автономна и если при определенных условиях в ней возможно самовозбуждение колебаний. Автоколебательные системы характеризуются наличием в них источиика энергии неколебательной природы, причем поступление энергии регулируется движением самой системы.
Колебательная система - это система, в которой в результате нарушения состояния равновесия могут возникнуть колебания.
Вид возникающих в системе колебаний зависит от различных физических величин, характеризующих систему - параметров системы, а также от вида внешних воздействий, выводящих систему из положения равновесия (например: математический маятник в поле земного тяготения).
Колебательные системы могут быть линейными и нелинейными. Физические системы, совершающие колебания, существенные черты которых передаются с достаточным приближением линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебательными системами, остальные - нелинейными.
Мы рассмотрим только простейшие колебательные системы - линейные системы, обладающие одной степенью свободы, и такие, что параметры системы, не зависят от ее состояния и являются постоянными. Такие колебательные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Примерами таких систем являются системы типа "электрический колебательный контур", "крутильный маятник", "шарик, подвешенный на пружине"и т.п.
Рассмотрим явления, происходящие в колебательных системах. Не имея возможности провести анализ в общем случае, ограничимся рассмотрением двух примеров: электрического колебательного контура и механического маятника.
Пусть колебательный контур (рис. 1) состоит из емкости С, индуктивности L и омического сопротивления R.
Контур может быть выведен иp положения равновесия с помощью источника переменного напряжения E(t) , включенного последовательно с элементами контура. Будем считать, что вид зависимости ЭДС источника от времени мы можем выбирать произвольно (в частности можем положить его равным нулю). ЭДС источника играет роль внешнего вынуждающего воздействия для контура.
Механический маятник (рис.2) представляет из себя шарик с массой m, скрепленный с пружиной К.
Система может быть приведена в движение с помощью движущегося тока Ш, к которому прикреплен второй конец a пружины. Составим дифференциальные уравнения для напряженияU C на ёмкости колебательного контура и для координатых смещения центра шарика от положения равновесия. Очевидно, что для замкнутой цепи колебательного контура имеет место равенство
E(t) = UL + UR + UC |
где U L , U R иU C - падения напряжения наL, R иC -элементах контура. Используя известные равенства
UR = JR,
UL = L
U = UC = | |||||||||||||
C ∫ | |||||||||||||
и учитывая, что | |||||||||||||
U ′= | U ′′= | d 2 U | 1 dJ |
||||||||||
dt 2 | dt , |
||||||||||||
приводим уравнение (1) к виду
LCU" + RCU" + U = E(t)
Введем обозначения
Для механической системы, согласно второму закону Ньютона
mx " = fmp + fg |
где fmp = -rx " - сила трения, fg = -k(x – x 1 ) - сила, обусловленная деформацией пружины,k - коэффициент жесткости пружины,x 1 = x 1 (t) - смещение концаa пружины от положения
mx" + rx" + k(x – x1 ) = 0
Вводя обозначения
Cравнивая уравнения (2) и (6), видим, что они отличаются только обозначениями переменной (U илиx ) и свободного членаE(t) илиx 1 (t). Т.е. и напряжение на емкости электрического контура, и смещение шарика механического маятника описываются одним и тем же уравнением и одинаковым образом зависят от вида вынуждающего воздействия. (В дальнейшем будем пользоваться уравнением (3), помня, что оно описывает равным образом и механическую и электрическую системы).
Обобщая полученный результат, можем сказать, что любая простейшая колебательная система может быть охарактеризована только двумя величинами α иω 0 , а характер ее движения зависит от этих величин и от вида функцииE(t), которая описывает внешнее воздействие на систему. Коэффициентыα иω 0 определяются параметрами конкретной колебательной системы. В частности, для рассмотренных нами систем имеют место соотношения (2) и (5). Величинаα называетсякоэффициентом затухания, аω 0 -собственной частотой системы.
Возбуждая колебательную систему каким-либо способом (т.е. задавая определенный вид функцийE(t) ) и исследуя возникшие колебания, можно определить коэффициентыα иω 0 . Существуют два наиболее употребительных способа определения коэффициентов - способ, основанный на возбуждении в системе свободных колебаний и способ, основанный не возбуждении в системе вынужденных колебаний. Рассмотрим эти два типа колебаний системы.
Свободные у колебания.
Свободные или собственные колебания системы возникают в том случае, если система была выведена из состояния равновесия достаточно резким начальным толчком, а затем предоставлена самой себе. Положив E(t)=0 в уравнении (3), получим для случая
удовлетворяет уравнению- (7). (В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если ω 0 2 ≠ α 2 , это решение единственно).
Формула (8) имеет непосредственный физический смысл только в том случае, если ω с - действительная величина, т.е.ω 0 2 > α 2 .
(Еcли ω 0 2 < α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).
Функция U изображаетзатухающие колебания. График ее показан на рис. 3.
Эта функция - непериодическая, но она обладает известного рода "повторяемостью", заключающейся в том, что максимумы функции, ее минимумы и нули наступают через одинаковые промежутки времени, равные периоду Т с гармонического множителяcos(ω с t- α ). Поэтому можно говорить о"периоде" затухающего колебания.
и о "частоте" затухающего колебания ω с .
Точно так же, так как функция U не является гармонической, то, строго говоря, к ней неприменим термин "амплитуда".
Однако, обычно говорят об "амплитуде" затухающего колебания, понимая под этимнаибольшее значение, которого достигает функция в течение одного периода. "Амплитуда" затухающего колебанияU 0 е α t убывает по показательному закону. Отношение двух последовательных "амплитуд"
U0 e− α t | αT c |
|||
− α (t+ T | ||||
если величина постоянная. Натуральный логарифм этого отношения
λ= α Tс
называется логарифмическим декрементом затухания колебаний.
(Часто его называют сокращенно: декремент затухания или просто: декремент). Поясним физический смысл величин α , λ иω 0.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается ве pas. Тогда е - ατ = е -1 , откудаα = τ 1 . Коэффициент затухания α есть
величина обратная промежутку времени τ , в течение которого, амплитуда убывает в е . раз. Логарифмический декремент затухания показывает, насколько убывает амплитуда колебания за период. ПустьN - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается ве раз. Тогда
Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная, числу колебаний, по
истечении которых амплитуда спадает в е раз. Если положитьα =0, то вместо (8) будем иметьU = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Таким образом,собственная частота - это частота
гармонических колебаний, которые совершала бы система в отсутствии трения. Произвольные постоянныеU 0 иϕ в функцииU определяются начальными
условиями, т.е. значениями функций U и ее производнойU " в начальный момент времени. Эти значения зависят от того, каким способом система была выведена из положения равновесия.
Вынужденные колебания.
Рассмотрим теперь процессы в колебательных системах в режиме вынужденных гармонических колебаний.
Пусть вынуждающее воздействие имеет вид гармонической функции
E(t) = Е0 cos ω t |
Следовательно, теперь наша колебательная система описывается уравнением
U" + 2α U" + ω0 2 U = Е0 ω0 2 cos ω t | ||
Решение уравнения (13) имеет вид | ||
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] | ||
Первый член суммы в выражении (14) -это собственные колебания системы, которые возникают, когда система выводится из положения равновесия в момент включения вынуждающего воздействия. Так как собственные колебаниязатухающие, то через некоторое время их амплитуда становится пренебрежимо малой, и система начинает колебаться с частотойω, навязанной ей внешним воздействием.
стационарным , а начальная стадия называетсяпереходным процессом. Мы будем, рассматривать только установившийся процесс. Следовательно
U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] |
т.е. колебания системы - гармонические, с амплитудой U(ω) и фазойϕ (ω) , зависящими от частоты.
В дальнейшем мы будем называть возбуждающее воздействие (12) и его амплитуду - входным колебанием (воздействием) и входной амплитудой, а колебание (15), описывающее реакцию системы, и амплитуду этого колебания - выходным колебанием и выходной амплитудой.
Подставляя (15) в уравнение (13), найдем
U (ω )= 2 | 4α 2 | ω ) 2 | |||||||
2 α ω | ||||||||
ϕ (ω ) = − arctg | ||||||||
1− ( | ||||||||
Из полученных выражений видно, что форма зависимости выходной амплитуды от частоты и фаза выходного колебания зависят только от двух параметров - собственной
частоты ω 0 и отношения2 α .
Введем понятие добротности колебательной системы Q
Q = ω 2 α 0
(Физический смысл добротности выясним позднее). Подставив
(18)/ в (16) и (17) получим
U (ω )= 2+ | ω ) 2 |
|||
ϕ (ω ) = − arctgω 0
Рассмотрим характер зависимости aмплитyды и фазы выходного колебания от частоты.
Семейство кривых U(ω) для различных значенийQ показано на рис.4.
Если частота входного колебания мала ω <<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте
при ω → ∞ . ВозрастаниеU(ω) вблизи максимума происходит тем более резко, чем больше
добротность, и, следовательно, чем меньше коэффициент затухания α системы. Резкое возрастание амплитуды выходного колебания вблизиω 0 для систем с малым затуханием называется явлениемрезонанса. Кривые зависимости амплитуды от частоты в этом случае называютсяамплитудными резонансными кривыми, а соответствующая максимуму амплитуды –резонансной частотой.
Определим ω р . Беря производную | и приравнивая ее нулю, получим |
|||||||
1− | = ω 2 | −2 α 2 |
||||||
2Q 2 | ||||||||
Выясним физический смысл добротности. Рассмотрим систему с малым затуханием. Такая система обладает резко выраженными резонансными свойствами. Для нее
выполняются условия
α2 <<ω0 2 , | Q2 >>1 |
Тогда можно считать
ωр ≈ ω0 |
Количественной характеристикой эффекта резонанса может служить отношение выходной амплитуды в максимуме к амплитуде вынужденных колебаний вдали от резонанса, в области настолько низких частот, что амплитуду можно считать независящей от частоты. Из (19), принимая во внимание условия (22) и (23), получим
U U (max 0)≈ Q
т.е. это отношение равно добротности системы. Так как U(0)= Е 0 , то добротность показывает также во сколько раз амплитуда на выходе системы при резонансе превышает входную амплитуду. Чем выше добротность системы, тем уже резонансный максимум. Ширина резонансной кривой на некоторой, paз и навсегда выбранной высоте также может служить количественной характеристикой эффекта резонанса. Ширину резонансной
пропорциональна квадрату амплитуды, то это соответствует уменьшению энергии колебаний вдвое по сравнению с максимальной).
Так измеренная ширина 2∆ ω называетсяшириной резонансной кривой по половине мощности. Найдем ширину 2∆ ω. Условие уменьшения квадрата амплитуды вдвое по сражению с максимальной будет иметь вид
Q2 E2 | |||||||||
} Похожие записи: | |||||||||
