Множество первообразных функций имеет вид онлайн. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Интегрирование по частям

Учебник:

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс

Цели:

I. Опрос учащихся

1. Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )

2. Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

3. Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

4. С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b ,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

5. Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х

Рисунок 1

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

Рисунок 2

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) =
5. Функция возрастает на промежутке

   Функция возрастает на промежутке

   Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

   Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

   Сбор и использование персональной информации

   Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

   От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

   Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

   Какую персональную информацию мы собираем:

   • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

   Как мы используем вашу персональную информацию:

   • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
   • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
   • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
   • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

   Раскрытие информации третьим лицам

   Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

   Исключения:

   • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
   • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

   Защита персональной информации

   Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

   Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

   Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

   На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x 2 . Давайте расширим знания по квадратичной функции .

   Задание 1.

   Построить график функции y = x 2 . Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F (0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1) . Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

   Результат: какую бы точку на параболе y = x 2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

   Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x 2 , а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

   Интересные свойства параболы:

   1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

   2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x 2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

   Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

   3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

   4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3) .

   5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

   6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

   7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

   Построение графика квадратичной функции

   На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x 2 графиков функций вида:

   1) y = ax 2 – растяжение графика y = x 2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| < 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4 ).

   2) y = x 2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем, если n > 0, то сдвиг вверх, а если n < 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

   3) y = (x + m) 2 – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m < 0, то вправо, а если m > 0, то влево, (рис. 5) .
   

   4) y = -x 2 – симметричное отображение относительно оси Ox графика y = x 2 .

   Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m) 2 + n .

   Квадратичную функцию вида y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду

   y = a(x – m) 2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

   Докажем это.

   Действительно,

   y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

   A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

   A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

   Введем новые обозначения.

   Пусть m = -b/(2a) , а n = -(b 2 – 4ac)/(4a) ,

   тогда получим y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2 .

   Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

   Тогда получим функцию Y = aX 2 , графиком которой является парабола.

   Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

   Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

   Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

   y = a(x – m) 2 + n

   путем преобразований, можно действовать следующим образом:

   a) построить график функции y = x 2 ;

   б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n) (рис. 6) .

   Запись преобразований:

   y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

   Пример.

   С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3) 2 – 2.

   Решение.

   Цепочка преобразований:

   y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

   Построение графика изображено на рис. 7 .

   Вы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3) 2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации . Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

   Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
   Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
   Первый урок – бесплатно!

   сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

   Назовите координаты точек, симметричных данным точкам
   относительно оси y:
   y
   (- 2; 6)
   (2; 6)
   (- 1; 4)
   (1; 4)
   (0; 0)
   (0; 0)
   (- 3; - 5)
   (3; - 5)
   х

   На графике видно, что ось OY делит параболу на симметричные
   левую и правую части (ветви параболы), в точке с координатами (0; 0)
   (вершине параболы) значение функции x 2 - наименьшее.
   Наибольшего значения функция не имеет. Вершина параболы - это
   точка пересечения графика с осью симметрии OY .
   На участке графика при x ∈ (– ∞; 0 ] функция убывает,
   а при x ∈ [ 0; + ∞) возрастает.
   График функции y = x 2 + 3 - такая же парабола, но её
   вершина находится в точке с координатами (0; 3) .
   Найдите значение функции
   y = 5x + 4, если:
   х=-1
   y = - 1 y = 19
   х=-2
   y=-6
   y = 29
   х=3
   х=5
   Укажите
   область определения функции:
   y = 16 – 5x
   10
   y
   х
   х – любое
   число
   х≠0
   1
   y
   х 7
   4х 1
   y
   5
   х≠7
   Постройте графики функций:
   1).У=2Х+3
   2).У=-2Х-1;
   3).

   10.

   Математическое
   исследование
   Тема: Функция y = x2

   11.

   Постройте
   график
   функции
   y = x2

   12.

   Алгоритм построения параболы..
   1.Заполнить таблицу значений Х и У.
   2.Отметить в координатной плоскости точки,
   координаты которых указаны в таблице.
   3.Соедините эти точки плавной линией.

   13.

   Невероятно,
   но факт!
   Перевал Парабола

   14.

   Знаете ли вы?
   Траектория камня, брошенного под
   углом к горизонту, будет лететь по
   параболе.

   15. Свойства функции y = x2

   *
   Свойства функции
   y=
   2
   x

   16.

   *Область определения
   функции D(f):
   х – любое число.
   *Область значений
   функции E(f):
   все значения у ≥ 0.

   17.

   *Если
   х = 0, то у = 0.
   График функции
   проходит через
   начало координат.

   18.

   II
   I
   *Если
   х ≠ 0,
   то у > 0.
   Все точки графика
   функции, кроме точки
   (0; 0), расположены
   выше оси х.

   19.

   *Противоположным
   значениям х
   соответствует одно
   и то же значение у.
   График функции
   симметричен
   относительно оси
   ординат.

   20.

   Геометрические
   свойства параболы
   *Обладает симметрией
   *Ось разрезает параболу на
   две части: ветви
   параболы
   *Точка (0; 0) – вершина
   параболы
   *Парабола касается оси
   абсцисс
   Ось
   симметрии

   21.

   Найдите у, если:
   «Знание – орудие,
   а не цель»
   Л. Н. Толстой
   х = 1,4
   - 1,4
   у = 1,96
   х = 2,6
   -2,6
   у = 6,76
   х = 3,1
   - 3,1
   у = 9,61
   Найдите х, если:
   у=6
   у=4
   х ≈ 2,5 х ≈ -2,5
   х=2 х=-2

   22.

   постройте в одной
   системе координат
   графики двух функций
   1. Случай:
   у=х2
   У=х+1
   2. случай:
   У=х2
   у= -1

   23.

   Найдите
   несколько значений
   х, при которых
   значения функции:
   меньше 4
   больше 4

   24.

   Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:
   P(-18; 324)
   R(-99; -9081)
   принадлежит
   не принадлежит
   S(17; 279)
   не принадлежит
   Не выполняя вычислений, определите, какие из
   точек не принадлежат графику функции у = х2:
   (-1; 1)
   *
   (-2; 4)
   (0; 8)
   (3; -9)
   (1,8; 3,24)
   При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х2.
   а = 8; а = - 8
   (16; 0)

   25.

   Алгоритм решения уравнения
   графическим способом
   1. Построить в одной системе
   координат графики функций, стоящих
   в левой и правой части уравнения.
   2. Найти абсциссы точек пересечения
   графиков. Это и будут корни
   уравнения.
   3. Если точек пересечения нет, значит,
   уравнение не имеет корней
   Напечатать