Выборочной эмпирической функцией распределения случайной величины. Эмпирическое распределение

Эмпирическое распределение отличается от теоретического тем, что на значения признака в нем влияют случайные факторы. С увеличением объема статистической совокупности влияние случайных факторов ослабевает, и эмпирическое распределение все менее отличается от теоретического.

Для оценки близости распределений используются особые показатели - критерии согласия.

Они основаны на использовании различных мер расстояний между эмпирическим и теоретическим распределением.

Наиболее часто на практике используются следующие критерия согласия:

_ «хи-квадрат»- критерий (критерий Пирсона); формат:

_ «лямбда»- критерий» (критерий Колмогорова).

5.9.1. «Хи-квадрат» - критерий является случайной величиной, имеющей распределение, близкое к распределению «хи-квадрат». Его величина определяется по формуле:

2 = у (ni - nT)2

Чем меньше эмпирические и теоретические частоты в отдельных группах отличаются друг от друга, тем меньше эмпирическое распределение отличается от теоретического, то есть тем в большей степени эмпирическое и теоретическое распределения согласуются между собой.

Для оценки существенности расчетной величины «хи- квадрат.» - критерия оно сравнивается с табличным (критическим) значением х2, определяемым по статистическим таблицам значений х2-

критерия. х2 определяют в зависимости от уровня значимости а и параметра k=m- т1 -1, где а - вероятность ошибки, ml - число оцененных параметров теоретического распределения по наблюдаемым значениям признака.

Уровень значимости т выбирается таким образом, что Р(хР > х2)=а.

Обычно а принимается равным 0,05 или 0,01, что соответствует вероятности 95% или 99%.

Если хр ^ Xt , то считают, что распределения близки друг другу,

различия между ними несущественны.

Критерий Пирсона можно использовать можно при соблюдении ф°рмат: спис°к следующих условий:

в совокупности не менее 50 единиц наблюдения (N > 50),

теоретические частоты п, >5,- если это условие не соблюдается, то следует объединить интервалы.

Рассчитаем в таблице 4.6.

Значения отклонений (nt -nh) и фактическое значение х2- критерия. По расчету хр = 1,66. Это значение

сравнивается с табличным, определенном при числе степеней свободы k=4 и уровне значимости = 0,05. Оно равно хр =9,49.

Таким образом хрраспределения признаются близкими друг другу с вероятностью 95%, расхождения между ними - несущественными, вызываемыми случайной вариацией признака в совокупности.

На основе? - критерия может быть рассчитан ещё один критерий согласия - критерий Романовского:

л/2 (т - 3) "

Эмпирическое и теоретическое распределения признаются близкими друг другу, если С 5.9.2. Критерий согласия Колмогорова основан на другой мере близости распределений. Для оценки близости эмпирического распределения к нормальному используется максимальная разница между накопленными эмпирическими и накопленными теоретическими частотами. Расчетное значение «лямбда»- критерия» определяется по формуле:

где Д = max{N - N }

Nt - накопленная эмпирическая частота, N,. - накопленная теоретическая частота.

По рассчитанному значению Хр по специальной таблице вероятностей «лямбда»- критерия» определяется вероятность того, что рассматриваемое эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения. Для рассматриваемого примера Д=2 - в соответствии с расчетом, приведенным в таблице 4.6.

Тогда Яр = -= = = 0,283.

По таблице вероятностей Р(Я) определяем, что Я =0,283 соответствует вероятность Р(Я), близкая к 1.

Полученное значение вероятности свидетельствует о том, что расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественны, вызваны случайной вариацией признака в статистической совокупности. В основе эмпирического распределения рабочих по стажу лежит закон нормального распределения.

Еще по теме 5.9. Оценка близости эмпирического и теоретического распределений:

1. Эмпирический и теоретический уровни политического знания
2. Раздел II УПРАВЛЕНИЕ ПРОДАЖАМИ В КАНАЛАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ГЛАВА 8 Каналы распределения: сущность, функции, виды участников

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма.

Ряд распределения - представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

§ Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта - выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант , выраженное через частоты или частости:

Частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости () - это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:

§ Полигона

§ Гистограммы

§ Кумуляты

Полигон

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) - частоты или частости.

1. Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Рис.1. Распределение населения России по возрастным группам

Эмпирическая функция распределения, свойства.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X

При росте n относительная частота события X

Основные свойства

Пусть зафиксирован элементарный исход . Тогда является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующейфункцией вероятности:

где , а - количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .

Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

.

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

Случайная величина имеет биномиальное распределение:

Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения :

.

Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:

.

Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:

почти наверное при .

Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если , то

По распределению при .

Указания к выполнению и оформлению лабораторных работ

Работы выполняются на листах формата А-4. На титульном листе записывается название работы, фамилия и имя исполнителя, группа, отделение, текущий год и семестр.

Чертежи, схемы, рисунки, таблицы выполняются с помощью чертежных инструментов. Все они должны сопровождаться названиями и необходимыми надписями. Текущий текст пишется ручкой. Важные места работы можно выделять цветом. Работы можно оформлять на компьютере.

При выполнении работы во всех случаях записываются применяемые формулы, промежуточные вычисления, даются необходимые письменные пояснения. Особо выделяются получаемые результаты при обработке данных.

В конце каждой работы приводится письменный анализ полученных результатов, выдвигаются гипотезы, делаются выводы и обобщения, стоятся прогнозы.

Отбор числового материала для выполнения работ

Работы 1-2 .

Ч исловые данные выбираются из таблицы "Статистические данные". Она находится в приложении к данному комплекту работ. Вариант сообщает преподаватель.

Работа 3.

Исходные числовые данные совпадают с числовыми данными, использованными при выполнении работы 1.

Работа 4.

Требуется две группы числовых данных: показатель Х и показатель У. Показатель Х совпадает с числовыми данными, использованными при выполнении первой работы. Показатель У берется из следующей строки таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Работа 5

Требуется две группы числовых данных: тест и ретест. Тест совпадает с числовыми данными, использованными при выполнении первой работы. Значения ретеста берутся из второй строки таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Работа 6

Требуется 5 групп данных (5 тестов). Работа выполняется для 7 спортсменов. Имена их выбираются самостоятельно, фамилии при этом не упоминаются

Для получения значений теста "масса тела", надо взять числовые данные строки таблицы "Статистические данные", использованной в работе 1 и увеличить каждое из них их на одно и тоже число, взятое из промежутка 50 – 100. Полученные числа округлить до целых значений. Обратить внимание на то, что значения массы были правдоподобными.

Для получения значений теста "рост", надо взять числовые данные строки таблицы "Статистические данные", использованной в работе 1 и увеличить каждое из них их на одно и тоже число, взятое из промежутка 100 - 150 Полученные числа округлить до целых значений. Обратите внимание на то, что бы значения роста были правдоподобными.

Откорректируйте полученную Массу и Рост до правдоподобных их значений.

Остальные пять тестов и их числовые значения выбираются самостоятельно.

Работа 7,

Требуется один тест и два критерия. Значения теста берется из строки 33 таблицы "Статистические данные". Для первого критерия берутся числовые данные из строки, которая использовалась при выполнении первой работы. Для второго критерия берется следующая строка таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Тема 1. Обработка статистического материала методом средних величин

Теоретические сведения

Обработка статистических данных методом средних величин является наиболее популярным среди работников физической культуры и спорта. Он заключается в получении ряда средних показателей, которые позволяют анализировать статистические данные.

а). Первичная обработка поступающих данных

Устанавливается объем выборки, а именно определяется число обрабатываемых данных. Надо иметь в виду, что, чем больше объем выборки, тем точнее получаемые показатели и тем сложнее вести вычисления. В процессе соревнований или иных действий (используются протоколы соревнований) данные поступают в произвольном порядке. Для удобства рекомендуется ведение записей данных в виде таблицы по пять или десять чисел в каждой строчке, что облегчает установления их числа.

б). Построение вариационного ряда (вариационной таблицы ) и определение их параметров и численных характеристик для рассматриваемой совокупности.

Каждый вариационный ряд представляет собой математическую систему, т.е. группу чисел, связанных между собой. Такую систему характеризуется следующими показателями:

~ среднее арифметическое, обозначается: , X сред, , Х ср, х ср

~ дисперсия, обозначается: d или s 2

~ среднее квадратичное отклонение, обозначается: s

~ коэффициент вариации, обозначается: u

2. Последовательность обработки данных:

1. Ранжирование данных.

Данные, взятые из таблицы (см. приложение) запишите в удобном для Вас порядке

а). Строится таблица ранжирования по образцу таблицы 1-1.

В первом столбике записывается числовые значения показателей в порядке возрастания. Рекомендуется записать последовательно все значения от минимального показателя до максимального показателя. Соседние значения могут отличаться на значение точности измерений.

Во втором столбике делается отметка о наличии таковых показателей в выборке. Для этого ставится палочка (звездочка, точка или иной знак) против соответствующего показателя при последовательном просмотре выборки. Некоторые строчки в данном столбике могут оказаться пустыми.

В третьем столбике записывается число встречаемых одинаковых показателей.

б). На основе таблицы 1-1 строится обобщенная таблица 1-2, состоящая из двух столбиком.

Первый (левый) столбик состоит из собственных показателей – вариант. Он обозначается чрез x i и содержит значения очередного показателя.

Второй (правый) столбик содержит число показателей (вариант), называемых частотой Он показывает число соответствующих одинаковых показателей и обозначается через n i

Сумма частот определяет объемом совокупности.

Замечание. Собственный показатель и частота обозначаются латинскими буквами, индекс показывает на номер множества, которому принадлежит соответствующий показатель. Объем совокупности обозначается буквой без индекса. Например, n=40. При одновременном рассмотрении нескольких вариационных рядов, рекомендуется использовать различные буквы.

2. Вычисление среднего арифметического.

Эта характеристика является показателем, который вычисляется наиболее просто и поэтому часто используется исследователями.

, n – объем совокупности; x 1 , x 2 …x n – показатели, взятые из первоначальной таблицы 1-1.

Для вычисления среднего арифметического удобно составить таблицу 1-3 и тогда формула вычисления среднего арифметического имеет вид:

X сред = , где x i – частота; n – объем совокупности

В дальнейшем будут рассмотрены и другие характеристики вариационного ряда.

Замечания:

1. Таблица 3 является частью таблицы 4, поэтому их можно объединить.

2. Точность полученных при вычислениях результатов вычислений и точность измерений должны совпадать. (Иметь одинаковое число десятичных знаков после запятой). Промежуточные результаты должны иметь более высокую точность: одну - две запасные цифры. Окончательный результат округляется до необходимой точности. Если округление с необходимой точность приводит к нулевому результату, то округление проводится до первой значащей цифры, отличной от нуля, считая слева.

3. Вычисление дисперсии.

Дисперсия указывает на варьирование (рассеивание) исходных данных относительно среднего арифметического. Дисперсия обозначается буквами d или σ 2 ивычисляется по формуле:

d =

1. Вычерчивается макет таблицы 1-4, в который вносятся данные полученные ранее. Это, например, с первого по четвертый столбики. Остальные - заполняется по мере проведения вычислений. Обращаем внимание на то, что в этой таблице первые четыре столбика повторяют предыдущую таблицу 1-3. Поэтому, если исследователь заранее планирует вычисление дисперсии, то таблицу1-3 можно отдельно не приводить

2. Определяется X сред

3. Заполняется пятый столбик таблицы 1-4, для этого из каждого показателя второго столбика вычитаются средний показатель: х i - x сред

4. Найденные разности, это показатели пятого столби, возводятся в квадрат: (х i - x сред) 2 и вносятся в шестой столбик таблицы 1-4

5. Полученные квадраты (столбик 6) умножаются на соответствующие частоты (столбик 3), результаты вносятся в последний столбик таблицы 1-4: именно, (х i - x сред) 2 ·n i .

6. Находится сумма S полученных произведений – суммируется последний столбик этой таблицы.

7. Полученная сумма S делится на объем совокупности n=25. Полученный результат и есть дисперсия. Округляется до точности исходных (обрабатываемых) показателей.

4. Вычисление среднего квадратичного отклонения

Средне квадратичное значение вычисляется по формуле s = =

5.Вычисление коэффициента вариации.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле: , если коэффициент представляется в виде процентов. Если надо представить его в виде десятичной дроби, то в формуле отсутствует множитель 100%

6. Анализ полученных показателей

Основными параметрами вариационного ряда являются среднее арифметическое, среднее квадратичное, коэффициент дисперсии.

Составляется неравенство

A < X сред < B, где А = X сред - s, В = X сред + s

или X сред - s < X сред < В = X сред + s

Из этих характеристик усматриваются типичные показатели, которые входят в промежуток (A; В) и нетипичные, которыми не входят в указанный промежуток. Можно рекомендовать к рассмотрению промежуток , т.е. включаются границы промежутка.

Признака y

Эмпирическое распределение

Эмпирическая и теоретическая функции распределения

При выборочном исследовании распределение значений непрерывного признака y в генеральной совокупности неизвестно.

Образуем некоторую выборку значений признака у и построим по ней дискретный ряд распределения (табл. 1.10.1). Это распределение называется эмпирическим , так как оно получено эмпирически (измерением признака y у единиц выборки).

Таблица 1.10.1

Варианты -	Частоты -
	n

Для любого числа х из числового промежутка обозначим через число значений признака y в выборке, меньших числа х . Отношение является относительной частотой события:

Каждому числу х соответствует только одна относительная частота. Поэтому определена функция:

то, зная функцию (1.10.1), можно найти эмпирическое распределение относительных частот значений признака у . Поэтому функция (1.10.1) называется эмпирической функцией распределения .

Пример 1.10.1. Построим эмпирическую функцию распределения признака y , зная его распределение в выборке (табл. 1.10.2).

Таблица 1.10.2

Объем выборки равен 60.

Значение признака y , меньшее числа 2, не наблюдалось. Поэтому и, следовательно, при.

Значение признака y , меньшее числа 6, т.е. наблюдалось 12 раз. Поэтому и, следовательно, при.

Значения признака y , меньшие числа 10, т.е. и наблюдались 12+18 =30 раз. Поэтому и, следовательно, при.

Так как - наибольшая варианта, то при и, следовательно, при.

Таким образом, эмпирической функцией данного распределения является функция

График функции (1.10.3) изображен на рис. 1.10.5.

x

1

Рис. 1.10.5. График функции (1.10.3)

Из формул (1.10.2) следует, что функция (1.10.3) определяет эмпирическое распределение с вариантами, и соответствующими относительными частотами 0,2 (0,2-0), 0,3 (0,5-0,2), 0,5 (1-0,5).

Функция (1.10.1) обладает следующими свойствами:

1) функция определена на всей числовой оси;

2) функция - неубывающая;

3) если - наименьшая варианта, то при;

4) если - наибольшая варианта, то при.

При неограниченном увеличении объема выборки n относительная частота стремится к вероятности события: значение признака y меньше числа х , а функция (1.10.1) приближается к функции, значениями которой являются вероятности события: значение признака y меньше числа х.

Функция называется теоретической функцией распределения, она определяет теоретическое распределение значений признака y в генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что теоретическая функция непрерывного распределения дифференцируема. Производная называется функцией плотности вероятностей , а ее график - теоретической кривой распределения.

При неограниченном увеличении объема выборки полигон относительных частот стремится к теоретической кривой распределения. Поэтому полигон относительных частот называется также эмпирической кривой распределения.

Теоретическое распределение можно рассматривать как математическую модель эмпирического распределения, в которой исключены влияния случайных факторов. С другой стороны, эмпирическую функцию распределения признака у в выборке можно использовать для приближенного представления теоретической функции признака у в генеральной совокупности.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Выборочная дисперсия.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то

Исправленная дисперсия.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

где - выборочные средние квадратические отклонения величин и .

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между и : чем ближе к единице, тем сильнее линейная связь между и .

23. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Эмпирическая функция распределения

где n x - число выборочных значений, меньших x ; n - объем выборки.

22Определим основные понятия математической статистики

. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – стати-стическим рядом :чайно отобранных из генеральной совокупности.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению .

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F* (x ), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x.

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку . Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h , а затем находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i -й интервал.

20. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел.

В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

19Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости,

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости,

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики

18Линейная регрессия является статистическим инструментом, используемым для прогнозирования будущих цен исходя из прошлых данных, и обычно применяется, чтобы определить, когда цены являются перегретыми. Используется метод наименьшего квадрата для построения «наиболее подходящей» прямой линии через ряд точек ценовых значений. Ценовыми точками, используемыми в качестве входных данных, может быть любое из следующих значений: открытие, закрытие, максимум, минимум,

17. двумерной случайной величиной называют упорядоченный набор из двух случайных величин или .

Пример.Подбрасываются два игральных кубика. – число очков, выпавших на первом и втором кубиках соответственно

Универсальный способ задания закона распределения двумерной случайной величины – это функция распределения.

15.м.о Дискретные случайные величины

Свойства:

1) M (C ) = C , C - постоянная;

2) M (CX ) = CM (X );

3) M (X 1 + X 2 ) = M (X 1 ) + M (X 2 ), где X 1 , X 2 - независимые случайные величины;

4) M (X 1 X 2 ) = M (X 1 )M (X 2 ).

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С, то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

14. Показательный (экспоненциальный ) закон распределения X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

13. Нормальный закон распределения характеризуется частотой отказов a (t) или плотностью вероятности отказов f (t) вида:

, (5.36)

где σ– среднеквадратическое отклонение СВ x ;

mx – математическое ожидание СВ x . Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением СВ Х .

x – случайная величина, за которую можно принять время, значение тока, значение электрического напряжения и других аргументов.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать mx и σ.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется при оценке надежности изделий, на которые воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на результирующий эффект

12. Равномерный закон распределения . Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a , b ], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Обозначение: .

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Случайная величина Х , распределенная по равномерному закону на отрезке называется случайным числом от 0 до 1. Она служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения. Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задача массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.

11. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией . Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

10. Плотность вероятности, плотность распределения вероятностей случайной величины x, - функция p(x) такая, что

и при любых a < b вероятность события a < x < b равна
.

Если p(x) непрерывна, то при достаточно малых ∆x вероятность неравенства x < X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

и, если F(x) дифференцируема, то

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29