Бесконечная геометрическая. Формула n-го члена геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, . Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)
Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.
Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)
Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:
1, 2, 4, 8, 16, …
Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)
А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.
Ключевые моменты геометрической прогрессии.
Ключевой момент №1
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел. Как и прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…
Ключевой момент №2
Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!
В первом примере это число – десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.
Во втором примере это – двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.
Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь – умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)
Ключевой момент №3
Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена – закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.
Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.
Термины и обозначения.
А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?
Как обозначать геометрическую прогрессию?
Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква "а" , для геометрической – буковка "b". Номер члена , как обычно, указывается индексом справа внизу . Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.
Вот так:
b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Коротко такую прогрессию записывают вот так: (b n ) .
Или вот так, для конечных прогрессий:
b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .
b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .
Или, в краткой записи:
(b n ), n =30 .
Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.
Определение геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.
Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии "на пальцах" и вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.
Во-первых, слова: "первый член которой отличен от нуля ".
Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b 1 окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член – тоже ноль! И так далее…
Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:
0, 0, 0, 0, …
Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член – ноль. Сумма любого количества членов – тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…
Следующие ключевые слова: "умноженному на одно и то же ненулевое число".
Это самое число тоже носит своё специальное название – знаменатель геометрической прогрессии . Начинаем знакомство.)
Знаменатель геометрической прогрессии.
Всё проще простого.
Знаменатель геометрической прогрессии – это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.
Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово "больше" . Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.
Поясняю.
Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.
Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным – всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово "ненулевое" в определении. Зачем это слово тут нужно – об этом далее.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q .
Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член . Деление – это дробь . Отсюда и название - "знаменатель прогрессии". Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем . И мы тоже не будем изобретать велосипед.)
Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:
2, 6, 18, 54, …
Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число . То есть, на 6.
Получаем:
q = 18/6 = 3
Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.
Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:
1, -2, 4, -8, 16, …
Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).
Получим:
d = 16/(-8) = -2
И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)
Возьмём теперь вот такую прогрессию:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.
Получим:
И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.
А вот такая "прогрессия" как вам?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно, здесь q = 1 . Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами .) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.
Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно – целым, дробным, положительным, отрицательным – всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?
Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b 1 = 2 , а q = 0 . Чему тогда будет равен второй член?
Считаем:
b 2 = b 1 · q = 2·0 = 0
А третий член?
b 3 = b 2 · q = 0·0 = 0
Виды и поведение геометрических прогрессий.
С всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)
А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)
Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в "плюс", то в "минус"! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…
Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.
Знаменатель положительный ( q >0)
При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.
Например:
(b n ): 1, 2, 4, 8, 16, …
Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего . Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2 ). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…
А теперь вот такая прогрессия:
(b n ): -1, -2, -4, -8, -16, …
Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего , и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.
А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2 . Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий – принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.
В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2 , также будут положительными.
А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2 , также будут получаться отрицательными. Ибо "минус" на "плюс" всегда даёт "минус", да.)
Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q , но ещё и в зависимости от первого члена , да.)
Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b 1 и знаменателем q .
А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!
Возьмём, например, вот такую последовательность:
(b n ): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Эта последовательность – тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это – дробное: q = +1/2 . Или +0,5 . Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.
Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза , т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2 . А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…
Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно , уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными . Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются . Это очень важно.)
Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:
(b n ): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Здесь b 1 = -1 , а q = 1/2 . Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными .)
Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок .)
Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели – и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)
Подытожим:
положителен и больше единицы (q >1), то члены прогрессии:
a ) неограниченно возрастают (если b 1 >0);
б) неограниченно убывают (если b 1 <0).
Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0< q <1), то члены прогрессии:
а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b 1 >0);
б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b 1 <0).
Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.
Знаменатель отрицательный ( q <0)
За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b 1 = 1 , а знаменатель возьмём q = -2 .
Получим вот такую последовательность:
(b n ): 1, -2, 4, -8, 16, …
И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными , а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) – отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется – возрастающей знакочередующейся.
Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название "возрастающая"). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "минус". Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю – никуда.
Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.
Например, пусть будет b 1 = 1 , а q = -1/2 .
Тогда получим прогрессию:
(b n ): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь . Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)
Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.
Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)
Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.
Запоминаем:
Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный , то знаки членов прогрессии всегда чередуются.
При этом сами члены:
а) неограниченно возрастают по модулю , если q <-1;
б) бесконечно приближаются к нулю, если -1< q <0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)
В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: "стремится к нулю" , "стремится к плюс бесконечности" , "стремится к минус бесконечности" … Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) – всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.
Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?
Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность – возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел – теория пределов. А чуть конкретнее – понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)
Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)
Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)
Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?
В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)
Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.
Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)
Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые – тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)
Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, - это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?
Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши – люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)
Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?
Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.
Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.
Вот и считаем 110% от 50000 рублей:
50000·1,1 = 55000 рублей.
Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)
Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.
А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название – капитализация процентов.
Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов. ) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…
Стало быть, для подсчёта суммы через два года , нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.
Считаем 110% от 55000 рублей:
55000·1,1 = 60500 рублей.
Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года – 10500 рублей.
Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.
Вот и считаем:
60500·1,1 = 66550 рублей.
А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;
66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1
Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b 1 = 50000 , а знаменатель q = 1,1 . Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)
И сколько же дополнительных процентных бонусов "накапает" вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?
Считаем:
66550 – 50000 = 16550 рублей
Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада – маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…
Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.
Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем (q >1) – штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух – четыре, из четырёх – восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)
Простейшие задачи по геометрической прогрессии.
Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.
1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.
Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:
b 2 = 6
Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии :
q = -0,5
А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.
Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член – шестёрка:
b 1 , 6, b 3 , b 4 , …
А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b 3 ? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b 3) больше второго (b 2 ) в "q" раз!
Так и пишем:
b 3 = b 2 · q
Подставляем в это выражение шестёрку вместо b 2 и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q – отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)
Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:
b 4 = b 3 · q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Четвёртый член – снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой – с плюсом и так далее. Знаки – чередуются!
Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:
b 1 ; 6; -3; 1,5; …
Осталось теперь найти первый член b 1 по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.
Делим и получаем:
Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:
-12; 6; -3; 1,5; …
Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в . Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии – можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.
Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.
Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:
2.
…; 150; х; 6; 1,2; …
Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q , задана просто последовательность чисел... Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в по арифметической прогрессии!
Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.
Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.
Получаем:
Получим:
x = 150·0,2 = 30
Ответ: x = 30 .
Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.
А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:
3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
…; 150; х; 6; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!
Распишем неизвестный член " x " прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.
Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!
С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:
x = 150· q
С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.
Вот так:
x = 6/ q
Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.
Получим уравнение:
Умножая всё на q , упрощая, сокращая, получим уравнение:
q 2 = 1/25
Решаем и получаем:
q = ±1/5 = ±0,2
Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?
Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное ? Вот и здесь та же история.)
Для q = +0,2 мы получим:
X = 150·0,2 = 30
А для q = -0,2 будет:
X = 150·(-0,2) = -30
Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.
Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии , удовлетворяющие условию задачи!
Вот такие:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Обе – подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта – с плюсом и с минусом.
Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: "знакочередующаяся прогрессия" или "прогрессия с положительным знаменателем" и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда – да, задача будет иметь два решения. )
А теперь решаем самостоятельно.
4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:
4 ; 6; 9; …
5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:
…; 5; x ; 45; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:
625; -250; 100; …
7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.
Поздравляю, если всё получилось!
Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!
Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)
Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия – коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q . И такая формула есть!) Подробности – в следующем уроке.
Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n -го члена геометрической прогрессии b n = b 1 q n – 1 ; члены с номерами b n и b m отличаются в q n – m раз.Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
 |
|
Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии |
Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Эту формулу можно доказать, например, так: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .
Добавим к S n число b 1 q n и получим:
|
Отсюда S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) , и мы получаем необходимую формулу.
Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.
Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (2 64 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.
То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (более точный расчет дает 1,84∙10 19). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?
Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число q n при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.
Чем больше n , тем слабее число q n отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) к числу S = b 1 / (1 – q ) . (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.
Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?
|
Рис. 2. Прогрессия с коэффициентом 1/2 |
В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v , черепаха движется со скоростью u , а первоначальное расстояние между ними равно l . Это расстояние Ахиллес пробежит за время l /v , черепаха за это время сдвинется на расстояние lu /v . Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u /v ) 2 , и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u /v . Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u /v ) = lv / (v – u ) . Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.
|
Рис. 3. Геометрическая прогрессия с коэффициентом 2/3 |
Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB . Пусть C – середина AB , E – середина AC , F – середина CB . Проведем прямые, параллельные DC , через точки A , E , F , B ; пусть касательную, проведенную в точке D , эти прямые пересекают в точках K , L , M , N . Проведем также отрезки AD и DB . Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G , а параболу в точке H ; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q , а параболу в точке R . Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y , в которых уравнение параболы записывается как y 2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).
В силу уравнения параболы, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а поскольку DK = 2DL , то KA = 4LH . Т. к. KA = 2LG , LH = HG . Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB , вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD , с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:
Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD , а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD , а значит, и половине площади треугольника ΔACD . Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD . Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB . Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB . Повторение этой операции в применении к сегментам AH , HD , DR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB . И так далее:
Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».
>>Математика: Геометрическая прогрессия
Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.
1. Основные понятия.
Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями
Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия.
Пример 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.
Пример 2.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1.
Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).
Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1.
Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).
Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность 
является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. 
является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а равен q 2 .
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b n , то получится конечная геометрическая прогрессия 
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.
2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию 
знаменателем q. Имеем:
Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство
Это - формула n-го члена геометрической прогрессии.
Замечание.
Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии
и введем обозначения: Получим у = mq 2 , или, подробнее, 
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел . На рис. 96а изображен график функции рис. 966 - график функции 
В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.
Вернемся к примерам 1-5 из предыдущего пункта.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена 
2) 
Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена
Это геометрическая прогрессия, у которой 
Составим формулу n-го члена 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Составим формулу n-го члена 
Пример 6.
Дана геометрическая прогрессия
Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии
а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим
б) Имеем
Так как 512 = 2 9 , то получаем п - 1 = 9, п = 10.
г) Имеем
Пример 7.
Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.
Первый этап. Составление математической модели .
Условия задачи можно кратко записать так:
Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (b 7 - b 5 = 48) можно записать в виде
Третье условие задачи (b 5 +b 6 = 48) можно записать в виде
В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b 1 и q:
которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.
Второй этап.
Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:
(мы разделили обе части уравнения на выражение b 1 q 4 , отличное от нуля).
Из уравнения q 2 - q - 2 = 0 находим q 1 = 2, q 2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим 
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим b 1 1 0 = 48; это уравнение не имеет решений.
Итак, b 1 =1, q = 2 - эта пара является решением составленной системы уравнений.
Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третий этап.
Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b 12 . Имеем
О т в е т: b 12 = 2048.
3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
Обозначим через S n сумму ее членов, т.е.
Выведем формулу для отыскания этой суммы .
Начнем с самого простого случая, когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn состоит из n чисел, равных b 1 , т.е. прогрессия имеет вид b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумма этих чисел равна nb 1 .
Пусть теперь q = 1 Для отыскания S n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S n q. Имеем:
Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:
Из формулы (1) находим:
Это - формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).
Пример 8.
Дана конечная геометрическая прогрессия
а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.
б) Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат , то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь 2 и знаменателем q 2 . Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по
Пример 9.
Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой
Фактически мы доказали следующую теорему.
Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема (и последнего, в случае конечной последовательности),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии).
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретические сведения
Теоретические сведения
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Определение |
Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий) |
Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии) |
Рекуррентная формула |
Для любого натурального n
|
Для любого натурального n
|
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристическое свойство |  |
|
| Сумма n-первых членов |  |
 |
Примеры заданий с комментариями
Задание 1
В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d
По условию:
a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .
Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 2
Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....
1-й способ (с помощью формулы n -члена)
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .
Так как b 1 = -3,
2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Ответ : b 5 = -48.
Задание 3
В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.
Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид 
.
Из этого следует:
.
Подставим данные в формулу:
Ответ : 95.
Задание 4
В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.
Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
.
Какую из них в данном случае удобнее применять?
По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.
Ответ : 368.
Задание 5
В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .
По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 6
Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.
Подставив найденные значения в формулу, получим:
.
Ответ : .
Задание 7
Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:
Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
.
Ответ : 4.
Задание 8
В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.
Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
Советский математик, академик А.Н. Колмогоров
Геометрическая прогрессия.
Наряду с задачами на арифметические прогрессии также распространенными на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием геометрической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства геометрической прогрессии и иметь хорошие навыки их использования.
Настоящая статья посвящена изложению основных свойств геометрической прогрессии. Здесь также приводятся примеры решения типовых задач , позаимствованных из заданий вступительных испытаний по математике.
Предварительно отметим основные свойства геометрической прогрессии и напомним наиболее важные формулы и утверждения , связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждое ее число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число . Число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Для геометрической прогрессии справедливы формулы
, (1)
где . Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство геометрической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним геометрическим своих соседних членов и .
Отметим , что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «геометрической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
, (3)
Для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии применяется формула
Если обозначить , то
где . Так как , то формула (6) является обобщением формулы (5).
В том случае , когда и , геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула
. (7)
Например , с помощью формулы (7) можно показать , что
где . Данные равенства получены из формулы (7) при условии, что , (первое равенство) и , (второе равенство).
Теорема. Если , то
Доказательство. Если , то ,
Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению примеров решения задач на тему «Геометрическая прогрессия».
Пример 1. Дано: , и . Найти .
Решение. Если применить формулу (5), то
Ответ: .
Пример 2. Пусть и . Найти .
Решение. Так как и , то воспользуемся формулами (5), (6) и получим систему уравнений
Если второе уравнение системы (9) разделить на первое , то или . Отсюда следует и . Рассмотрим два случая.
1. Если , то из первого уравнения системы (9) имеем .
2. Если , то .
Пример 3. Пусть , и . Найти .
Решение. Из формулы (2) следует, что или . Так как , то или .
По условию . Однако , поэтому . Поскольку и , то здесь имеем систему уравнений
Если второе уравнение системы разделить на первое, то или .
Так как , то уравнение имеет единственный подходящий корень . В таком случае из первого уравнения системы вытекает .
Принимая во внимание формулу (7), получаем.
Ответ: .
Пример 4. Дано: и . Найти .
Решение. Так как , то .
Поскольку , то или
Согласно формуле (2) имеем . В этой связи из равенства (10) получаем или .
Однако по условию , поэтому .
Пример 5. Известно, что . Найти .
Решение. Согласно теореме имеем два равенства
Так как , то или . Поскольку , то .
Ответ: .
Пример 6. Дано: и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5), получаем
Так как , то . Поскольку , и , то .
Пример 7. Пусть и . Найти .
Решение. Согласно формуле (1) можно записать
Следовательно, имеем или . Известно, что и , поэтому и .
Ответ: .
Пример 8. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической прогрессии , если
и .
Решение. Из формулы (7) следует и . Отсюда и из условия задачи получаем систему уравнений
Если первое уравнение системы возвести в квадрат , а затем полученное уравнение разделить на второе уравнение , то получим
Или .
Ответ: .
Пример 9. Найти все значения , при которых последовательность , , является геометрической прогрессией.
Решение. Пусть , и . Согласно формуле (2), которая задает основное свойство геометрической прогрессии, можно записать или .
Отсюда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и .
Выполним проверку: если , то , и ; если , то , и .
В первом случае имеем и , а во втором – и .
Ответ: , .
Пример 10. Решить уравнение
, (11)
где и .
Решение. Левая часть уравнения (11) представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, в которой и , при условии: и .
Из формулы (7) следует , что . В этой связи уравнение (11) принимает вид или . Подходящим корнем квадратного уравнения является
Ответ: .
Пример 11. П оследовательность положительных чисел образует арифметическую прогрессию , а – геометрическую прогрессию , причем здесь . Найти .
Решение. Так как арифметическая последовательность , то (основное свойство арифметической прогрессии). Поскольку , то или . Отсюда следует , что геометрическая прогрессия имеет вид . Согласно формуле (2) , далее запишем , что .
Так как и , то . В таком случае выражение принимает вид или . По условию , поэтому из уравнения получаем единственное решение рассматриваемой задачи , т.е. .
Ответ: .
Пример 12. Вычислить сумму
. (12)
Решение. Умножим на 5 обе части равенства (12) и получим
Если из полученного выражения вычесть (12) , то
или .
Для вычисления подставим в формулу (7) значения , и получим . Так как , то .
Ответ: .
Приведенные здесь примеры решения задач будут полезны абитуриентам при подготовке к вступительным испытаниям. Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с геометрической прогрессией , можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
