Что такое мышление нечеткими множествами. Нечеткая логика — математические основы. Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Теория нечетких множеств

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта яв­ляется способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

При изучении сложных систем, где человек играет существенную роль, действует так называемый принцип несовместимости : для получения существенных выводов о поведении сложной системы необходимо отказаться от высоких стандартов точности и строгости, которые характерны для сравнительно простых систем, и привлекать к ее анализу подходы, которые являются приближенными по своей природе.

При попытке формализовать человеческие знания исследователи столкнулись с проблемой, затруднявшей использование традиционного математиче­ского аппарата для их описания. Существует целый класс описаний, оперирую­щих качественными характеристиками объектов (много, мало, сильный, очень и т. п.) Эти характеристики обычно размыты и не могут быть однознач­но интерпретированы, однако содержат важную информацию (например, «Од­ним из возможных признаков гриппа является высокая температура»).

Категория нечеткости и связанные с ней модели и методы очень важны с мировоззренческой точки зрения, поскольку с их появлением стало возможно подвергать количественному анализу те явления, которые раньше либо могли быть учтены только на качественном уровне, либо требовали использования весьма грубых моделей.

Значительное продвижение в этом направлении сделано примерно 35 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работы легли в основу моделирования интеллектуальной деятельности человека и явились начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем, понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Вот точка зрения Л.Заде: "Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров.

Нечеткая Логика - в основном многозадачная логика, которая позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками подобно Да/Нет, Истина/Ложь, Черное/Белое, и т.д. Понятия подобно "довольно теплый" или "довольно холодный" могут быть сформулированы математически и обработаны компьютерами. Таким образом, сделана попытка применить человекоподобное мышление в программировании компьютера.

В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с результатами, получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

Здравствуйте, граждане и гражданочки. По велению левой пятки решил начать цикл научно-популярных статей, где буду объяснять азы искусственного интеллекта. Поэтому в дальнейшем буду примерять на себя роль приезжего лектора, рассказывающего о том, как космические корабли бороздят просторы Большого театра.

Выдавать на гора одну статью в день не смогу, поэтому не буду ничего обещать, дабы не стеснять себя данными обязательствами. Единственное: не стану мучить окружающих обилием математики, постараюсь изложить все как можно более доступно, но без профанации. Начну же цикл с аппарата нечеткой логики, где объясню, в чем же интеллектуальность оного.

Для начала краткий экскурс в теорию множеств. Множество – это совокупность нескольких объектов, обладающих определенным свойством. Например, множество всех людей, находящихся на нашей планете. Множество автомобилей марки «Ауди» с цветовыми координатами RGB (255, 165, 0). Множество всех самцов какаду, сидящих на ветке на одной лапе ровно в 15 часов 39 минут по Гринвичу. Суть четких множеств заключается в абсолютной их категоричности. То есть, для того, чтобы определить, принадлежит ли объект какому-то множеству, нужно ответить на вопрос, обладает ли он свойством, определяющим это множество. Да/Нет. Ни больше, ни меньше. Единица больше нуля? Да. Значит, она принадлежит к множеству положительных чисел.

Перейдем ближе к телу, к теории нечетких множеств. Создана она была американским ученым азербайджанского происхождения Лотфи Заде, для того, чтобы адаптировать теорию множеств к способу человеческого мышления. Ведь как человечишко мыслит? Если, будучи на пляже, спросить купающегося: «Скажи, мил человек, какую температуру имеет вода по шкале Фаренгейта, с точностью до десятых долей градуса?», - он посмотрит на вас, как на душевно больного. А если задать вопрос: «Как водичка сегодня?», он сообщит: «Холодная/горячая/теплая», или буркнет «мокрая», если сегодня не в духе. Весь цимес в том, что «холодная вода» - это достаточно размытая формулировка. Один будет в блаженстве нежиться там, откуда второй сбежит на берег греться через две минуты. Так уж устроен человек, субъективизм и отсутствие четких границ – это про нас.

Некоторые уже смогли сообразить, почему именно нечеткие множества. Крайне трудно определить, сколько людей обладает свойством «высокий». Для меня, двухметрового красавца, косой сажени в плечах, высокий – это как минимум не ниже уровня моего уха. А коротышка полутора метров будет смотреть на человека ростом 170 см задрав голову – для него высокий рост начинается гораздо раньше. Это что касается субъективизма.

Вторая сложность заключается в размытости границ. Возможно ли точно задать то количество сантиметров, которое отделит человека среднего роста от низкого? 170 с половиной? 172 и три четверти? Разделение очень и очень условно. Итак, мы вплотную подошли к отличию нечетких множеств от четких.

Барабанная дробь, мхатовская пауза… Итак, нечеткие множества отличаются от четких тем, что объекты, принадлежащие нечетким множествам, могут обладать определяющим их свойством в разной степени. Условились считать эту степень принадлежности лежащей в интервале от нуля до единицы, но если кому-то удобнее, то он может умножить на 100, и будут вам проценты.

Допустим, пьете вы обжигающий кофе, чашка дымится. С уверенностью 0,99 (99 процентов – первый и последний раз делаю работу за вас) можно утверждать, что кофе обладает свойством «горячий». Если же он (кофе, в смысле) имеет температуру 50 градусов по Цельсию, то степень обладания свойством «горячий» будет гораздо ниже, скажем, 0,76 (теперь считайте сами). В то же время, есть объекты, которые принадлежат множеству «горячий» с нулевой или единичной степенью. Например, полузамерзший кофе сможет назвать горячим лишь помешанный, либо не знающий русского языка, а кипящий – это горячий сто пудов. Примеров можно привести нескончаемое количество, благо, что практически любая человеческая категория, которая используется в повседневной жизни, является нечеткой. Полагаясь на ваше богатое воображение, оставляю задачу нахождения других примеров для самостоятельного решения.

Почему же создание подобной теории было так важно, почему на нее обратили столь пристальное внимание? Ответ прост: тут скрыто золотое дно. Колоссальная широта применения. Допустим, вы инженер, и перед вами стоит задача спроектировать микроволновку. До какой температуры человек будет разогревать еду? До 40,2°С? Хрен там. До горячей, что есть нечеткое множество. А задача микроволновки – придать хавчику такую температуру, которая с единичной степенью достоверности принадлежала бы к множеству «горячо».

Дальше начинается самое веселое, прогульщики уроков математики могут с воем разбегаться в стороны. А? Что? Я обещал обойтись без этого? Как говорил старина Арни в известном фильме – «Я солгал». Степень принадлежности как правило обозначается греческой буквой «мю» - μ. Чтобы не скучать, введем понятие лингвистической переменной – это такая переменная, которая может принимать значение в виде слов человеческого языка. То есть, лингвистическая переменная «рост» может принимать значения: «высокий», «средний», «низкий». Значения лингвистической переменной будем называть терм-множествами, обращаю внимание – они являются нечеткими. И, наконец, существует понятие универсального множества – обычное, четкое множество, содержащее все значения, которые может принимать обычная переменная. Обычная переменная «рост человека» может принимать значения от нуля до «сколько там рекорд Гиннеса, я не помню».

Задача функции принадлежности (ФП) – определить, с какой степенью обычная переменная принадлежит значению лингвистической переменной. Раз уж я начал педалировать тему роста, разовью: ФП определяет, с какой степенью человек ростом 184 см принадлежит терм-множеству «средний». Итак, подобьем бабки. У нас имеется лингвистическая переменная. У нас есть несколько ее значений, каждое из которых является нечетким множеством. Наконец, у нас есть универсальное множество – множество числовых значений обычной переменной. Перед нами стоит следующая цель: определить для каждого из нечетких множеств свою функцию принадлежности, т.е. для каждого из элементов универсального множества задать степень принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Тогда мы сможем ткнуть на конкретное значение переменной и посмотреть, с какой степень оно принадлежит к какому-либо нечеткому множеству. Все, гроза прошла, можно утереть пот и ненадолго расслабиться. Дальше пойдут веселые картинки, после чего ненадолго продолжим развлекаться. На картинках я проиллюстрирую смысл функции принадлежности, покажу, каких видов бывают эти звери, с чем их едят, и объясню, как этих зверей строить. Вернемся к полюбившейся вам теме роста человека. Возьмем для примера множество «средний» ипостроим график функции принадлежности.

Теперь можно, вооружившись остро заточенным карандашом, выбрать любое значение «икс» и посмотреть, с какой степенью этот икс удовлетворяет условию среднего роста. То, что метр восемьдесят – это железно. Метр семьдесят два – со степенью 0,5. Рост метр пятьдесят средним ну никак не является, поэтому степень принадлежности равна нулю. И так далее. Отметим, что приведенная функция называется треугольной. В это поверить трудно, и тем не менее.

Но мы взяли готовую функцию, которую нам кто-то (кто-то!) любезно предоставил. Как же самим построить аналогичную функцию? Есть два способа: простой и с заморочками. По понятным причинам опишу лишь простой. Для начала, нужно собрать группу экспертов. Ну, то есть, тех бездельников, которые считают, что во всем разбираются и знают, как на самом деле устроен мир. Дать каждому эксперту по карандашу и блокноту. Потом перечислить значения переменной и попросить поставить «1» (палочку, крестик – опционально) напротив этого значения, если эксперт считает, что значение переменной принадлежит нечеткому множеству. Ноль – в противном случае. После чего для каждого значения переменной просуммировать нули и единицы и взять среднее - то бишь, разделить получившуюся сумму на количество бездельников. Получившееся значение будет лежать в интервале от нуля до единицы (оба значеия - включительно). Некоторые могли догадаться, что мы получили значение функции принадлежности для конкретного значения переменной. Получив величины ФП для всех значений переменной икс, можно строить график. Или не строить, если лень.

Пояснение причин и обсуждение - на странице Википедия:К объединению/15 августа 2012 .
Обсуждение длится одну неделю (или дольше, если оно идёт медленно).
Дата начала обсуждения - 2012-08-15.
Если обсуждение не требуется (очевидный случай), используйте другие шаблоны.
Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Переход от принадлежности элементов заданному множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический аппарат

Нечёткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечёткого множества) в отрезок . Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечёткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

История

Понятие «нечёткое множество» введено Л. А. Заде в 1965 г. . Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей .

Применение

Теория нечётких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределённости ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

В социологии

В социологии классификация и типология может проводиться по выбранным критериям, или по эмпирически обнаруженным основаниям. Это позволяет выделить теоретические и эмпирические типологии.

В психологии

Литература

• Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, vol.8, N 3, pp. 338-353.

• Батыршин И. З., Недосекин А. А., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечётких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 166c.

• Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 224 c. ISBN 5-94052-027-8

• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

• Нечёткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.

• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечёткие переменные . М.: Знание, 1980. - 64 с.

См. также

• Типологизация
• Нечёткие множества в финансовом менеджменте

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория нечётких множеств" в других словарях:

- (англ. fuzzy logic) и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества… … Википедия

Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

В ходе управления финансами очень часто возникает задача борьбы с неопределенностью, сопровождающей финансовые решения. Неопределенность эта двоякая: а) текущее состояние финансовой системы не может быть распознано с необходимой точностью; б)… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control . Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Нечёткая логика и теория нечётких множеств раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечеткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 г. Содержание 1 Направления исследований… … Википедия

Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики были заложены в конце 1960-х годов в работах известного американского математика Лотфи Заде. Его труд "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 в журнале "Information and Control", стала толчком к развитию новой математической теории. Он дал название и новой отрасли науки - "fuzzy sets" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий). Основной причиной появления новой теории стали нечеткие и приближенные рассуждения, которые использовались для описания человеком процессов, систем, объектов. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие. Что же предложил Л. Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовське понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [ 0 , 1 ], а не только значения 0 или 1. Такие множества он назвал нечеткими [ 21]. Л. Заде определил также ряд операций с нечеткими множествами и предложил обобщение методов логического вывода.

Введя впоследствии понятие лингвистической переменной и предположив, что ее значениями (термами) является нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений (например, высокий, средний, незначительный риски).

Задачей нечетких множеств является определение принадлежности некоторого объекта или элемента в заданной множества. Пусть Е - некоторое множество, а А - подмножество Е , то есть А Ì Е. Тот факт, что элемент х множества Е принадлежит и множеству А в теории множеств обозначают так: x Ì А. Чтобы выразить эту принадлежность, можно воспользоваться и другим понятием - характеристической функцией μA (x ), значение которой указывают, является (да или нет) х элементом А:

Согласно теории нечетких множеств, характеристическая функция принадлежности может принимать любое значение в интервале , а не только два - 0 и 1. В соответствии с этим, элемент х i множества Е может не принадлежать А (μ Α (х ) = 0), быть элементом А небольшой степени (значение μA (x ) близко к нулю), быть элементом А в значительной степени (μA (x ) близко к 1) или быть элементом А (μA (x ) = 1). Итак, понятие принадлежности обобщается. Нечеткую под множество А универсального множества Е обозначают А н и определяют упорядоченными парами [ 22 ]:

Характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) μA (x ) принимает значения в некоторой упорядоченной множестве М (например, М = ). Эта функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х до подмножества А. Множество М называют множеством надежности. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А можно рассматривать как обычную или четкую множество.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции.

Равенство. Две нечеткие множества А и В называют равными, если для всех x Î Е имеет место равенство их характеристических функций: μA (x ) = μB (x ). Обозначения: А = В.

Доминирование. Считают, что нечеткое множество А принадлежит нечеткому множеству В, если для всех X Î Е справедливо соотношение: μA (x ) £ μB (x ) обозначают: А Ì В. Иногда используют термин "доминирование", то есть когда А Ì В, говорят, что В доминирует над А.

Дополнение. Пусть М = , А и В - нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если ∀x является Εμ /, (х) = 1 - μB (χ). Обозначения: А = А

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "и"), обозначающие A ∩ В - наибольшее нечеткое подмножество, которая находится одновременно в А и В. Определяют так:

Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"), обозначающие А ∪ В - наименьшее нечеткое подмножество, которая включает как А , так и В, с функцией принадлежности

Разница двух нечетких множеств А - В = А ∩ В с функцией принадлежности

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами х с универсального множества Е и множеством значений функций принадлежности М. Величину называют высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А является нормальной , если ее высота равна 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равна 1 (). По нечеткое множество называют субнормальной.

Нечеткое множество является пустой , если . Непустое Субнормальная множество можно нормализовать по формуле

Наглядное представление операций над нечеткими множествами. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой отложены значения μA (x ), на оси абсцисс - в произвольном порядке размещены элементы Е. Если множество Е по своей природе упорядочена, то этот порядок желательно сохранить в размещении элементов на оси абсцисс. Такое представление наглядно простые операции над нечеткими множествами.

Пусть А - нечеткий интервал между 5 и 8, а В - нечеткое число, близкое к 4 (рис. 4.4, а , б) .

Нечеткое множество между 5 и 8 I (AND) около 4 (темная линия) иллюстрирует рис. 4.4, в , нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 - рис. 4.4, г (темная линия).

Рис. 4.4. Примеры нечетких множеств (а , б), их пересечения (в) и объединения (г )

Для описания нечетких множеств вводят понятие нечеткой и лингвистической переменных. Нечеткую переменную описывает набор <β, X, A>, где β - название переменной, X - универсальное множество (область определения β), A - нечеткое множество на X , описывающее ограничения на значения нечеткой переменной β.

Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, то есть лингвистическая переменная находится на высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из: названия; множества своих значений, также называется базовой ТЕРМ множеством Т. Элементы базовой терм-множества являются названиями нечетких переменных универсального множества Х синтаксического правила G , по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка; семантического правила Р, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткая подмножество множества X.

Лингвистическую переменную описывает набор <β, Τ , X , G , M >, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), которые являются названиями нечетких переменных, областью определения каждой из которых есть множество X; множество Т называют базовой терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T , в частности генерировать новые термы (значения);

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G , на нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующую нечеткое множество.

При помощи нечетких множеств можно формально определить неточные и многозначные понятия, такие как «высокая температура», «молодой человек», «средний рост» либо «большой город». Перед формулированием определения нечеткого множества необходимо задать так называемую область рассуждений (universe of discourse). В случае неоднозначного понятия «много денег» большой будет признаваться одна сумма, если мы ограничимся диапазоном и совсем другая - в диапазоне . Область рассуждений, называемая в дальнейшем пространством или множеством, будет чаще всего обозначаться символом . Необходимо помнить, что - четкое множество.

Определение 3.1

Нечетким множеством в некотором (непустом) пространстве , что обозначается как , называется множество пар

, (3.1)

Функция принадлежности нечеткого множества . Эта функция приписывает каждому элементу степень его принадлежности к нечеткому множеству , при этом можно выделить три случая:

1) означает полную принадлежность элемента к нечеткому множеству , т.е. ;

2) означает отсутствие принадлежности элемента к нечеткому множеству , т.е.;

3) означает частичную принадлежность элемента к нечеткому множеству .

В литературе применяется символьное описание нечетких множеств. Если - это пространство с конечным количеством элементов, т.е. , то нечеткое множество записывается в виде

Приведенная запись имеет символьный характер. Знак «–» не означает деления, а означает приписывание конкретным элементам степеней принадлежности . Другими словами, запись

означает пару

Точно также знак «+» в выражении (3.3) не означает операцию сложения, а интерпретируется как множественное суммирование элементов (3.5). Следует отметить, что подобным образом можно записывать и четкие множества. Например, множество школьных оценок можно символически представить как

, (3.6)

что равнозначно записи

Если - это пространство с бесконечным количеством элементов, то нечеткое множество символически записывается в виде

. (3.8)

Пример 3.1

Допустим, что - множество натуральных чисел. Определим понятие множества натуральных чисел, «близких числу 7». Это можно сделать определением следующего нечеткого множества :

Пример 3.2

Если , где - множество действительных чисел, то множество действительных чисел, «близких числу 7», можно определить функцией принадлежности вида

. (3.10)

Поэтому нечеткое множество действительных чисел, «близких числу 7», описывается выражением

. (3.11)

Замечание 3.1

Нечеткие множества натуральных или действительных чисел, «близких числу 7», можно записать различными способами. Например, функцию принадлежности (3.10) можно заменить выражением

(3.12)

На рис. 3.1а и 3.1б представлены две функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.2: функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Пример 3.3

Формализуем неточное определение «подходящая температура для купания в Балтийском море». Зададим область рассуждений в виде множества . Отдыхающий I, лучше всего чувствующий себя при температуре 21°, определил бы для себя нечеткое множество

Отдыхающий II, предпочитающий температуру 20°, предложил бы другое определение этого множества:

С помощью нечетких множеств и мы формализовали неточное определение понятия «подходящая температура для купания в Балтийском море». В некоторых приложениях используются стандартные формы функций принадлежности. Конкретизируем эти функции и рассмотрим их графические интерпретации.

1. Функция принадлежности класса (рис. 3.2) определяется как

(3.15)

где . Функция принадлежности, относящаяся к этому классу, имеет графическое представление (рис. 3.2), напоминающее букву «», причем ее форма зависит от подбора параметров , и . В точке функция принадлежности класса принимает значение, равное 0,5.

2. Функция принадлежности класса (рис. 3.3) определяется через функцию принадлежности класса :

(3.16)

Рис. 3.2. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.3. Функция принадлежности класса .

Функция принадлежности класса принимает нулевые значения для и . В точках ее значение равно 0,5.

3. Функция принадлежности класса (рис. 3.4) задается выражением

(3.17)

Читатель с легкостью заметит аналогию между формами функций принадлежности классов и .

4. Функция принадлежности класса (рис. 3.5) определяется в виде

(3.18)

Рис. 3.4. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.5. Функция принадлежности класса .

В некоторых приложениях функция принадлежности класса может быть альтернативной по отношению к функции класса .

5. Функция принадлежности класса (рис. 3.6) определяется выражением

(3.19)

Пример 3.4

Рассмотрим три неточных формулировки:

1) «малая скорость автомобиля»;

2) «средняя скорость автомобиля»;

3) «большая скорость автомобиля».

В качестве области рассуждений примем диапазон , где - это максимальная скорость. На рис. 3.7 представлены нечеткие множества , и , соответствующие приведенным формулировкам. Обратим внимание, что функция принадлежности множества имеет тип , множества - тип , а множества - тип . В фиксированной точке км/час функция принадлежности нечеткого множества «малая скорость автомобиля» принимает значение 0,5, т.е. . Такое же значение принимает функция принадлежности нечеткого множества «средняя скорость автомобиля», т.е. , тогда как .

Пример 3.5

На рис. 3.8 показана функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги». Это функция класса , причем , , .

Рис. 3.6. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.7. Иллюстрация к примеру 3.4: функции принадлежности нечетких множеств «малая» , «средняя» , «большая» скорость автомобиля.

Рис. 3.8. Иллюстрация к примеру 3.5: Функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги».

Следовательно, суммы, превышающие 10000 руб, можно совершенно определенно считать «большими», поскольку значения функции принадлежности при этом становятся равными 1. Суммы, меньшие чем 1000 руб, не относятся к «большим», так как соответствующие им значения функции принадлежности равны 0. Конечно, такое определение нечеткого множества «большие деньги» имеет субъективный характер. Читатель может иметь собственное представление о неоднозначном понятии «большие деньги». Это представление будет отражаться иными значениями параметров и функции класса .

Определение 3.2

Множество элементов пространства , для которых , называется носителем нечеткого множества и обозначается (support). Формальная его запись имеет вид

. (3.20)

Определение 3.3

Высота нечеткого множества обозначается и определяется как

. (3.21)

Пример 3.6

Если и

, (3.22)

то .

, (3.23)

Определение 3.4

Нечеткое множество называется нормальным тогда и только тогда, когда . Если нечеткое множество не является нормальным, то его можно нормализовать при помощи преобразования

, (3.24)

где - высота этого множества.

Пример 3.7

Нечеткое множество

(3.25)

после нормализации принимает вид

. (3.26)

Определение 3.5

Нечеткое множество называется пустым и обозначается тогда и только тогда, когда для каждого .

Определение 3.6

Нечеткое множество содержится в нечетком множестве , что записывается как , тогда и только тогда, когда

(3.27)

для каждого .

Пример включения (содержания) нечеткого множества в нечетком множестве иллюстрируется на рис. 3.9. В литературе встречается также понятие степени включения нечетких множеств. Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество на рис. 3.9 равна 1 (полное включение). Нечеткие множества, представленные на рис. 3.10, не удовлетворяют зависимости (3.27), следовательно, включение в смысле определения (3.6) отсутствует. Однако нечеткое множество содержится в нечетком множестве в степени

, (3.28)

, выполняется условие

Рис. 3.12. Нечеткое выпуклое множество.

Рис. 3.13. Нечеткое вогнутое множество.

Рис. 3.13 иллюстрирует нечеткое вогнутое множество. Легко проверить, что нечеткое множество является выпуклым (вогнутым) тогда и только тогда, когда являются выпуклыми (вогнутыми) все его -разрезы.