Физический смысл уровня ферми. Ферми-энергия
Функция распределения для вырожденного коллектива фермионов впервые была получена итальянским физиком Энрико Ферми и английским физиком Полем Дираком:
Химический потенциал μ для фермионов обычно называют энергией , или уровнем Ферми – Е Ф .
Анализ выражения показывает, что при Е =Е Ф и температуре Т >0, f Ф (Е )=½, т.е. вероятность заселения уровня Ферми при Т >0 равна ½.
Для того чтобы понять свойства функции Ферми-Дирака, полезно рассмотреть ее поведение при Т =0. Проводник можно представить в виде потенциальной ямы для электронов, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны – работы выхода (рис. 3.3, а ). На рисунке показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. Согласно постулату Паули, на каждом уровне может располагаться не более двух электронов (с противоположными спинами).
а ) б )
Рис. 3.3. Электроны в проводнике: а – Т =0; б – Т >0
Как видно на рисунке, при Т =0 все уровни ниже уровня Ферми заняты, а все уровни выше этого уровня пусты, т.е. функция f Ф (Е ) при Т =0 имеет форму ступеньки (рис. 3.4, а ).
а ) б )
Рис. 3.4. Распределение Ферми-Дирака: а
– функция распределения Ф-Д;
б
– полная функция распределения
Таким образом можно определить физический смысл уровня Ферми, но только для проводников. В случае полупроводников или изоляторов это определение неприемлемо, поскольку в этих материалах недостаточно свободных электронов и уровень Ферми находится в запрещенной зоне (п. 4.5).
Умножив функцию распределения (3.20) на число состояний (3.13), получим выражение для полной функции распределения при Т =0 (рис. 3.4, б )
поскольку в интервале Е Ф ≥ Е >0, f Ф (Е )=1.
Проинтегрировав (3.21) в указанном интервале энергий, будем иметь выражение для энергии Ферми:
, (3.22)
где n – концентрация электронного газа в проводнике.
Используя выражение (3.21), можно получить формулы для вычисления средней энергии – и максимальной скорости электронов при абсолютном нуле
Необходимо отметить, что кинетическая энергия электронов Е Ф не является тепловой энергией, а имеет чисто квантовую природу и определяется свойствами электронов как Ферми-частиц.
С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни (см. рис. 3.3, б). Происходит “размывание” функций распределения (см.
рис. 3.4), и ступенька Е
=Е Ф
преобразуется в интервал, ширина которого равна 2kT
. Однако более глубокие состояния электронов остаются неизменными.
Проведенные расчеты показывают, что число термически возбужденных частиц составляет для комнатной температуры всего 1...2% от общего числа. Если проинтегрировать полную функцию распределения во всем энергетическом диапазоне, то можно получить выражение для температурной зависимости энергии Ферми
, (3.25)
где Е Ф о – энергия Ферми для Т =0К (3.22).
Напомним, что тепловое возбуждение так незначительно влияет на характеристики вырожденного Ферми-газа, что во многих случаях этим влиянием можно пренебречь и считать Е Ф =Е Ф о во всем температурном диапазоне.
Можно также вычислить среднюю энергию электронов при ненулевой температуре Т >0
, (3.26)
где Е п – полная энергия электронного газа.
Ранее мы говорили о Ферми-газе, считая его вырожденным коллективом. Однако, в случае выполнения критерия (3.11) G >>N , можно говорить о снятии вырождения. Тогда критерий невырожденности (3.11) примет вид
(3.27)
или в случае Е =0
Из последнего соотношения следует, что для невырожденного Ферми-газа должно выполняться условие
-Е Ф > kT (3.29)
При выполнении условия (3.27) единицей в знаменателе выражения (3.20) можно пренебречь, и выражение (3.20) совпадает с формулой для функции Максвелла-Больцмана.
В проводниках, где концентрация электронов высока, электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии. С невырожденным электронным газом приходится сталкиваться в собственных (беспримесных) и слаболегированных (10 16 ...10 24 м -3) полупроводниках. При таких условиях выполняется критерий (3.11) и электронный газ млжно считать невырожденным. Поэтому уместно, на наш взгляд, привести таблицу, где содержатся основные характеристики электронного газа: его средняя энергия, квадратичная скорость υ кв , импульс P (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Параметры электронного газа
| Параметры газа | Газ | |
| невырожденный | вырожденный | |
| , Т =0 Т >0 | ||
| J кв , Т =0 Т >0 | м/с | |
| Р , Т =0 Т >0 | ≈10 10 Па Р ≈ Р 0 |
Из данных таблицы видно, что параметры вырожденного газа в отличие от газа невырожденного при нулевой температуре не равны нулю и практически не зависят от температуры. Это, в свою очередь, говорит о нетепловом квантовомеханическом характере данных процессов.
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.
Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .
Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .
Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).
В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.
Уровень Ферми при ненулевых температурах
Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)
В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).
Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением
μ = E F [ 1 − π 2 12 (k T E F) 2 + π 4 80 (k T E F) 4 + … ] , {\displaystyle \mu =E_{F}\left,}где E F {\displaystyle E_{F}} - энергия Ферми, k {\displaystyle k} - постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака [ ] .
Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми
| Элемент | Энергия Ферми, эВ | Температура Ферми, *10 000 K | Скорость Ферми, *1000 км/с |
|---|---|---|---|
| Li | 4.74 | 5.51 | 1.29 |
| Na | 3.24 | 3.77 | 1.07 |
| K | 2.12 | 2.46 | 0.86 |
| Rb | 1.85 | 2.15 | 0.81 |
| Cs | 1.59 | 1.84 | 0.75 |
| Cu | 7.00 | 8.16 | 1.57 |
| Ag | 5.49 | 6.38 | 1.39 |
| Au | 5.53 | 6.42 | 1.40 |
| Be | 14.3 | 16.6 | 2.25 |
| Mg | 7.08 | 8.23 | 1.58 |
| Ca | 4.69 | 5.44 | 1.28 |
| Sr | 3.93 | 4.57 | 1.18 |
| Ba | 3.64 | 4.23 | 1.13 |
| Nb | 5.32 | 6.18 | 1.37 |
| Fe | 11.1 | 13.0 | 1.98 |
| Mn | 10.9 | 12.7 | 1.96 |
| Zn | 9.47 | 11.0 | 1.83 |
| Cd | 7.47 | 8.68 | 1.62 |
| Hg | 7.13 | 8.29 | 1.58 |
| Al | 11.7 | 13.6 | 2.03 |
| Ga | 10.4 | 12.1 | 1.92 |
| In | 8.63 | 10.0 | 1.74 |
| Tl | 8.15 | 9.46 | 1.69 |
| Sn | 10.2 | 11.8 | 1.90 |
| Pb | 9.47 | 11.0 | 1.83 |
| Bi | 9.90 | 11.5 | 1.87 |
| Sb | 10.9 | 12.7 | 1.96 |
| Ni | 11.67 | 2.04 | |
| Cr | 6.92 | 1.56 |
Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости
Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.
При абсолютном нуле в каждом из состояний, энергия которых не превышает находится один электрон; в состояниях с электроны отсутствуют. Следовательно, функция распределения электронов по состояниям с различной энергией имеет при абсолютном нуле вид, показанный на рис. 52.1.
Найдем функцию распределения при температуре, отличной от абсолютного нуля.
Следуя Киттелю, рассмотрим неупругие столкновения равновесного электронного газа с атомом примеси, внедренным в кристаллическую решетку металла. Допустим, что атом примеси может находиться лишь в двух состояниях, энергию которых мы положим равной 0 и .
Из множества процессов столкновений рассмотрим тот, в результате которого электрон переходит из состояния к с энергией Е в состояние к с энергией . Атом примеси переходит при этом с уровня с энергией на уровень с энергией, равной нулю. Вероятность перехода к пропорциональна: 1) вероятности того, что состояние занято электроном, 2) вероятности того, что состояние свободно, 3) вероятности того, что атом примеси находится в состоянии с энергией е. Таким образом,
Вероятность обратного процесса пропорциональна выражению
где - вероятность того, что атом примеси находится в состоянии с энергией, равной нулю.
В силу принципа детального равновесия коэффициент пропорциональности в выражениях (52.1) и (52.2) одинаков.
В равновесном состоянии вероятности переходов должны быть одинаковыми. Следовательно,
(мы учли, что вероятности нахождения атома примеси на уровнях подчиняются закону распределения Больцмана).
Функциональное уравнение (52.3) должно выполняться при любой температуре Т. Это произойдет, если положить
где - величина, не зависящая от Е. Соответственно
Произведение этих двух выражений при любой температуре равно
Решив уравнение (52.4) относительно получим для функции распределения электронов по состояниям с различной энергией выражение
Это выражение называется функцией распределения Ферми - Дирака. Параметр носит название химического потенциала.
В соответствии со смыслом функции (52.5) величина представляет собой среднее число электронов, находящихся в состоянии с энергией Е. Поэтому формуле (52.5) можно придать вид
(ср. с (49.4)). В отличие от (49.4), параметр в распределении (52.6) имеет положительные значения (в данном случае это не приводит к отрицательным значениям чисел ). Распределение (52.6) лежит в основе статистики Ферми-Дирака.
Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называются фермионами. К их числу относятся все частицы с полуцелым спином.
Для фермионов характерно то, что они никогда не занимают состояния, в котором уже находится одна частица. Таким образом, фермионы являются «индивидуалистами». Напомним, что бозоны, напротив, являются «коллективистами» (см. конец § 49).
Имеющий размерность энергии параметр часто обозначается через и называется уровнем Ферми или энергией Ферми. В этих обозначениях функция (52.5) имеет вид
Исследуем свойства функции (52.7). При абсолютном нуле
Таким образом, при 0 К уровень Ферми ЕР совпадает с верхним заполненным электронами уровнем (см. предыдущий параграф).
Независимо от значения температуры, при функция равна Следовательно, уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна половине.
Значение ЕР можно найти из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни, должно равняться числу свободных электронов в кристалле ( - плотность электронов, V - объем кристалла). Количество состояний, приходящееся на интервал энергий , равно где - плотность состояний. Среднее число электронов, находящихся в случае теплового равновесия в этих состояниях, определяется выражением Интеграл от этого выражения даст полное число свободных электронов в кристалле:
Это соотношение представляет собой по существу условие нормировки функции
Подстановка в (52.8) выражений (51.9) и (52.7) дает
Это соотношение позволяет в принципе найти как функцию . Интеграл в выражении (52.9) не берется. При условии, что удается найти приближенное значение интеграла. В результате для уровня Ферми получается выражение
(напомним, что ) зависит от ; см. (51.10)).
Из (52.10) следует, что при низких температурах (для которых только и справедливо это выражение) уровень Ферми хотя и зависит от температуры, но очень слабо. Поэтому во многих случаях можно полагать Однако для понимания, например, термоэлектрических явлений (см. § 63) зависимость от Т имеет принципиальное значение.
При температурах, отличных от абсолютного нуля, график функции (52.7) имеет вид, показанный на рис. 52.2. В случае больших энергий (т. е. при что выполняется в области «хвоста» кривой распределения) единицей в знаменателе функции можно пренебречь. Тогда распределение электронов по состояниям с различной энергией принимает вид
т. е. переходит в функцию распределения Больцмана.
Отметим, что заметное отличие кривой на рис. 52.2 от графика, изображенного на рис. 52.1, наблюдается лишь в области порядка Чем выше температура, тем более полого идет ниспадающий участок кривой.
Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми, равной Различают два предельных случая.
Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.
Энергия Ферми и температура вырождения
Средняя энергия классического (невырожденного) газа составляет величину порядка ~ kT . При комнатных температурах (T ≈300 K ) kT ≈ 0,025 эВ. Сравнение этой величины с энергией Ферми показывает, чтоkT << E F . Это означает, чтоэлектронный газ в металлах всегда вырожден , то есть проявляет чисто квантовые свойства.
Одним из критериев вырождения является температура вырождения , равная
При T < T F система вырождена и подчиняется квантовым статистикам. ПриT > T F система не вырождена, и ее поведение подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.
В таблице 3.1 приведены также температуры вырождения электронного газа. Они составляют по порядку величины десятки и сотни тысяч градусов. Значит электронный газ является вырожденным при всех температурах, при которых металл находится в твердом состоянии. Вырождению газа способствуют малое значение массы электронов m и их высокая концентрацияn .
Рассмотрим поведение функции распределения f F приТ>0
.(3.2.8)
С повышением температуры электроны приобретают тепловую энергию порядка k Т и переходят на более высокие энергетические уровни (выше уровня Ферми), вследствие чего меняется характер распределения их по энергетическим состояниям (рис.3.3, б). По сравнению с нулевой температурой спад кривойf F (E ) происходит не скачком до нуля приE = E F , а происходит плавно в полосе шириной порядка~ 2 kT . Так как энергия теплового движенияk Т значительно меньше энергии Ферми, то тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны узкой энергетической полосы порядкаk Т ,непосредственно расположенной вблизи уровня Ферми (рис.3.5).
Электроны,
находящиеся на более глубоких
энергетических уровнях, остаются
практически незатронутыми, так как
энергии теплового движенияk
Т
недостаточно для их возбуждения (для
перевода за уровень Ферми). ЭнергииE
=
E
F
,
соответствует значение функции
распределения
.
Поэтому приТ >
0
уровень Ферми - это уровень
энергии, вероятность заполнения которого
равна
.
На
рис.3.3,б заштрихованные площади
пропорциональны числу электронов,
покидающих состояние с энергией
,
(площадка АДВ) и переходящих на уровни,
расположенные выше уровня Ферми
(площадка ВМС). По величине эти площади
равны друг другу. Доля электронов,
приходящих в состояние теплового
возбуждения, равна
, (3.2.9)
При комнатной температуре эта доля незначительна и составляет менее 1% от общего числа электронов проводимости.
Данным
обстоятельством объясняется тот факт,
что теплоемкость электронного газа
оказывается чрезвычайно малой по
сравнению с теплоемкостью решетки.
Молярная теплоемкость его
,
а по классической теории
.
(ЗдесьR- универсальная
газовая постоянная). Этот результат
хорошо согласуется с опытом и снимает
одно из затруднений классической
электронной теории металлов.
3.3. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.
Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме
, (3.3.1)
где
- удельная проводимость;
- плотность тока в данной точке;
- напряженность электрического поля.
Для удельной проводимости было получено следующее выражение:
;
(3.3.2)
где
- средняя длина свободного пробега
электрона, обладающего энергией Ферми,
- скорость такого электрона,m
- его масса.
Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов
. (3.3.3)
В этом выражении
<
λ
>
- средняя длина свободного пробега
электрона,
- средняя скорость его теплового движения.
Несмотря
на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему
виду похожи, их содержание различно.
Средняя скорость теплового движения
зависит от температуры, как
,
а
практически не зависит от температуры,
так как с изменением температуры энергия
Ферми, а, следовательно, и скорость,
остаются практически неизменными.
Наиболее существенное различие формул (3.3.2) и (3.3.3) состоит в том, какой смысл вкладывается в понятие длины свободного пробега электрона < λ > в классической и квантовой теории металлов.
Классическая электронная теория рассматривает электроны как обычные частицы и причиной электрического сопротивления металлов считает столкновения электронов с узлами кристаллической решетки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решетки, встречающимися на их пути, классическая теория принимает < λ > равной параметру решеткиd (d 10 -10 м ).
Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а электрический ток в металле - как процесс распространения электронных волн, длина волны которых определяется формулой де Бройля
. (3.3.4)
Такие представления
позволяют объяснить наблюдаемую
экспериментально температурную
зависимость удельной проводимости
и удельного сопротивления
.
Рассмотрим идеальную кристаллическую
решетку металла, в узлах которой находятся
неподвижные ионы, а примеси и дефекты
отсутствуют. Такая идеальная решетка
не рассеивает электронные волны, и
электрическое сопротивление такого
металла должно быть равно нулю.
В реальных кристаллах при T > 0 ионы совершают тепловые колебания около положения равновесия, нарушая строгую периодичность решетки. Кроме того, в таких решетках обычно присутствуют структурные дефекты: примеси, вакансии, дислокации и так далее. Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания для электронных волн и являются причиной электрического сопротивления. Расчет показывает, что средняя длина свободного пробега< λ F > зависит от температуры по закону
, (3.3.5)
где
- модуль упругости;d
- параметр решетки.
С учетом (3.15) удельная проводимость ,определяемая формулой (3.12), будет иметь вид
, (3.3.6)
то есть
,
а
,
что хорошо согласуется с опытом в
области не слишком низких температур.
П
ри
очень низких температурах формула
(3.3.5) не выполняется. При этом длина
свободного пробега оказывается обратно
пропорциональной не первой, а пятой
степени температуры, поэтому и удельное
сопротивлениеρ
будет пропорционально пятой
степени абсолютной температуры.
На рис.3.7 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0 удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлению ост , обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.
Уровень Ферми . Несмотря на огромное количество свободных электронов в металле, располагаются они по энергетическим уровням потенциальной ямы в строгом порядке. Каждый из электронов занимает вакантное место на возможно более низком уровне. И это вполне естественно, так как всякая система, будучи предоставлена самой себе, то есть в отсутствие внешнего воздействия, всегда стремится перейти в состояние с наименьшей энергией. Распределение электронов по уровням подчинено принципу Паули, согласно которому никакие две частицы не могут находиться в совершенно одинаковых состояниях. В силу этого на каждом энергетическом уровне может расположиться не более двух электронов, да и то имеющих различные направления спинов. По мере укомплектования нижних уровней происходит заселение все более высоко расположенных уровней. Если в рассматриваемом образце металла имеется N свободных электронов, то в отсутствие теплового возбуждения, то есть при абсолютном нуле температуры (T = 0), все свободные электроны разместятся попарно на N/2 нижних уровнях (рис. 47). Самый высокий энергетический уровень потенциальной ямы металла, занятый электронами при Т = 0, называется уровнем Ферми * и обозначается буквой μ или W F . Энергия электрона, находящегося на этом уровне, называется энергией Ферми. Все энергетические уровни, расположенные выше уровня Ферми, при Т = 0 оказываются абсолютно пустыми.
* (Свое название этот уровень получил в честь выдающегося итальянского физика Э. Ферми, разработавшего совместно с известным английским физиком П. Дираком теорию поведения коллективов частиц, ведущих себя как электроны в металле. )
Вполне очевидно, что для выхода электронов, находящихся на уровне Ферми, за пределы металла должна быть совершена работа
Величина А, равная энергетическому расстоянию между уровнем удаленного электрона ВВ и уровнем Ферми, называется термодинамической работой выхода или просто работой выхода. Именно эта величина определяет поведение различных металлов при установлении контакта между ними или при создании контакта металл - полупроводник.
Функция распределения Ферми - Дирака . Характер распределения частиц по разным уровням или состояниям в тех или иных условиях определяется так называемой функцией распределения. В общем случае функция распределения описывает вероятность занятости того или иного уровня частицами. Если достоверно известно, что данный уровень заселен частицей, то говорят, что вероятность обнаружения частицы на этом уровне равна 1. Если же с полной достоверностью можно сказать, что на рассматриваемом уровне нет частиц, то говорят, что вероятность обнаружения частиц в рассматриваемом состоянии равна 0. Однако во многих случаях нельзя достоверно утверждать, что уровень заполнен или пуст. Тогда вероятность нахождения частицы на рассматриваемом уровне отлична от нуля, но меньше единицы. При этом чем больше вероятность обнаружить частицу на рассматриваемом уровне, тем ближе к единице оказывается значение функции распределения для соответствующего состояния.
Если по оси абсцисс откладывать значения энергии, соответствующей разным уровням, от дна потенциальной ямы до ее потолка, а по оси ординат - вероятность заполнения электронами соответствующих уровней, то мы получим график функции распределения Ферми - Дирака При Т = 0 он имеет вид, приведенный на рисунке 48. Часто этот график называют ступенькой Ферми. Из него видно, что при Т = 0 все уровни, вплоть до уровня Ферми, оказываются занятыми электронами. В точке W = μ функция распределения скачкообразно падает до нуля; это значит, что все уровни, расположенные выше уровня Ферми, пусты.
Влияние температуры
. При температурах, отличных от нуля, вид графика зависимости 
отличается от приведенного на рисунке 48. Повышение температуры приводит к появлению теплового возбуждения электронов, которое они получают от тепловых колебаний кристаллической решетки. Благодаря этому возбуждению часть электронов, расположенных на наиболее высоких заполненных уровнях, переходит на пустые уровни, лежащие выше уровня Ферми (рис. 49). Вероятность обнаружения электронов на этих уровня становится уже отличной от нуля. Одновременно с этим из-за ухода части электронов с некоторых уровней, расположенных непосредственно под уровнем Ферми, вероятность заполнения их окажется меньше единицы. Таким образом, повышение температуры приводит к некоторому "размытию" границы ступеньки Ферми: вместо скачкообразного изменения от 1 к 0 функция распределения совершает плавный переход. На рисунке 50 пунктиром показан вид графика функции распределения электронов по уровням при Т = 0, а сплошными линиями отражены распределения электронов при температурах, отличных от нуля. Площадь криволинейного треугольника, расположенного под кривой распределения правее значения W F (площадка 2), пропорциональна числу электронов, перешедших на возбужденные уровни, а площадь такого же треугольника, расположенного слева от значения W F над кривой распределения (площадка 1), пропорциональна числу электронов, ушедших с уровней, которые ранее были заполненными, то есть числу освободившихся под уровнем Ферми мест. Понятно, что площади этих двух треугольников одинаковы, так как с разных позиций они выражают одно и то же число электронов.
Следует отметить, что в диапазоне рабочих температур степень размытия кривой распределения электронов в металле очень невелика. Объясняется это тем, что тепловому возбуждению подвергаются только те электроны, которые расположены на энергетических уровнях, непосредственно примыкающих к уровню Ферми. Можно качественно оценить энергетическую глубину залегания уровней, подвергающихся возбуждению. Из молекулярной физики известно, что кинетическая энергия частиц, обусловленная тепловым движением, выражается так:
Следовательно, значение энергии, которую могут передать электронам испытывающие тепловые колебания атомы кристаллической решетки, по порядку величины равно kT. При комнатной температуре 
в то время как энергия Ферми для металлов при этой температуре лежит в диапазоне от 3 до 10 эВ. Поэтому оказывается, что в обычных условиях в переходах на более высокие энергетические уровни могут принимать участие не более 1% всех свободных электронов. Причем это как раз те электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Что же касается электронов, заселяющих энергетические уровни, расположенные в глубине потенциальной ямы и удаленные от уровня Ферми больше чем на kT, то они не принимают участия в тепловом возбуждении, из-за чего распределение этих электронов остается таким же, как и при абсолютном нуле.
Физический смысл уровня Ферми . Обсуждая в §6 способность твердых тел проводить электрический ток, мы пришли к выводу, что проводимость связана с возможностью перехода электронов на более высокие энергетические уровни, то есть определяется возможностью получения электронами ускорения во внешнем электрическом поле. В металлах при Т > 0 такая возможность имеется только у электронов, находящихся в области размытия функции распределения, так как реальные электрические поля не в состоянии вырвать электроны из глубины потенциальной ямы и перевести их на свободные уровни, энергия которых выше W F (перейти же на соседние, более высоко расположенные уровни глубинные электроны не могут, потому что все эти уровни заняты). Следовательно, при Т > 0 энергия Ферми имеет смысл наиболее вероятной или средней энергии электронов металла, могущих принять участие в проводимости при данной температуре. Эти электроны ответственны не только за создание электрической проводимости. Именно они определяют вклад электронной теплоемкости в общую теплоемкость кристалла и в значительной степени определяют теплопроводность кристалла.
Уровень Ферми в металлах практически не изменяет своего положения по мере повышения температуры. С ростом температуры степень возбуждения электронов растет, и они переходят на более высоко расположенные уровни. Одновременно с этим возбуждению подвергаются и все более глубоко расположенные уровни, имеющие меньшую энергию. Кривая распределения при Т 2 > Т 1 (см. рис. 50) "размывается" более сильно, чем при T 1 , но в равной степени вправо и влево. Поэтому средняя энергия электронов, принимающих участие в проводимости, остается практически неизменной. Это тем более справедливо, что между возбужденными уровнями идет постоянный обмен электронами.
