Тест 16 векторы. За-ко-ны сло-же-ния век-то-ров. Сло-же-ние и вы-чи-та-ние век-то-ров

МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М .

Тест по теме :

«Векторы»

Использован шаблон создания тестов в PowerPoint

Результат теста

Отметка: 5

исправить

Время: 3 мин. 6 сек.

1. Векторной величиной является:

а) масса тела

б) скорость тела

в) время

г) площадь

a ) Переместительный законом

б) сочетательным законом

в) правилом параллелограмма

г) правило треугольника

7. АВСD – параллелограмм, О- точка пересечения его диагоналей. Тогда верным будет равенство.

9. Нулевой вектор изображается….

б) точкой

а) прямой

в) направленным отрезком

г) двоеточием

11. Средняя линия трапеции равна 10см, а меньшее основание равно 6см. Тогда большее основание трапеции равно…

12. Основания трапеции равны 16см и 20см. Тогда длина отрезка, являющегося частью средней линии трапеции и лежащего между ее диагоналями, будет равна…

13. На чертеже АВСD- прямоугольная трапеция, ВС=АВ=10см, СD=8см. Тогда средняя линия трапеции MN будет равна…

1. Коллинеарные сонаправленные векторы изображены на рисунке:

а) переместительным законом

б) сочетательным законом

в) правилом параллелограмма

г) правило треугольника

в) 1 / 4

г) -1 / 4

7. АВСD – параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей. Тогда верным будет равенство:

11. Прямая CN, параллельна боковой стороне АВ трапеции АВСD, делит основание трапеции АD на отрезки АN=10, ND=6см. Тогда средняя линия трапеции равна….

12. Основание трапеции равны 12см и 16см. Тогда длина отрезка, являющегося частью средней линии трапеции и лежащего между ее диагоналями, будет равна….

13. На чертеже АВСD- равнобедренная трапеция, АВ=СD=8см, ВС=5см,

Ключи к тесту: «Векторы» .

1 вариант

2 вариант

Литература

А.В. Фарков Геометрия 9 классы. Тесты по геометрии 9 класс к учебнику Л.С. Атанасян и др. . Изд-во «Экзамен», Москва 2011г.- 94

«Векторы на плоскости» - С. 3. Математика. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. 7. 9. 2. Вектор. Рассмотрим текущую точку прямой вектор лежит на плоскости. Геометрический смысл нормального вектора.

«Правила сложения и вычитания векторов» - a. 2007 год. Действия с векторами. Правило «Треугольника» Правило «Параллелограмма» Правило «Многоугольника». Сложение векторов. Умножение вектора на число. Правило «Треугольника». Вычитание векторов. Оглавление. b. A + b = AB + BC = AC (для неколлинеарных векторов).

«Скалярное произведение вектора» - Физический смысл. Упражнение 1. По определению, Пример 1. Упражнение 2. В равностороннем треугольнике АВС со стороной 1 проведена высота BD. Скалярное произведение векторов и обозначается. Пример 2. Б) 0;

«Координаты вектора» - © Максимовская М.А., 2011 год. 2. 1. Координаты вектора. 3. Координаты вектора. A(3; 2).

«Вектором называется» - Векторы. Сложение векторов Правило треугольника. Длиной вектора или модулем не нулевого вектора называется длина отрезка. Понятие вектора. Второе понятие вектора. Коллинеарные вектора. Коллинеарные вектора имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами. Построение: Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

«Векторы» - Сонаправленные векторы -. Сумма двух векторов: СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (правило параллелограмма). ABCD – прямоугольник, точка О -точка пересечения диагоналей. В. Произведение вектора на число. Тема: Сложение векторов по правилу многоугольника. А. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (правило треугольника). Сложение векторов по правилу треугольника.

Всего в теме 29 презентаций

Транскрипт

1 Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ и OL коллинеарны. 2. векторы АВ и OL сонаправлены. 3. векторы ВС и ОК сонаправлены. 4. векторы АК и OL равны. 5. векторы АВ и CD равны. Тест 372. Сумма и разность векторов В результате действий с векторами получится нуль - вектор, если: 1. это AB + BC+ AC, где ABC треугольник; 2. это AB + BC CD+ DA, если ABCD параллелограмм; 3. это CA + DB+ AD+ BC, где ABCD параллелограмм; 4. это CD + AC+ DB AB, где ABCD трапеция; 5. это OA + OB+ OC, если точка O - точка пересечения медиан треугольника ABC. Тест 373. Сложение и вычитание векторов Точка М середина стороны АВ треугольника АВС, точка К середина его стороны ВС и точка Р середина стороны АС, а О - точка пересечения отрезков АК и МР. Тогда: 1. ВС + АВ = АС. 2. АМ - АР = КС. 3. АМ + МК - СК = АС. 4. РС - КС + КО =ОР. 5. векторы АР - АМ +ОМ и РС - КС + КО противоположны. Тест 374. Сумма и разность векторов, длина вектора Пусть a 0, b 0. Тогда a = b, если: 1. a + b = 0 ; 2. существует вектор c такой, что a+ c = b+ c ; 3. x: a + b+ x = 0 ; 4. c: a+ c = b c ; 5. a = p+ q, b = p q.

2 Тест 375. Сумма и разность векторов. Длина вектора Векторы a и b неколлинеарны. Тогда: 1. a b: a+ b > a b ; 2. a b: a+ b < a b ; 3. a b: a+ b a b ; a b: a = a+ b = b ; a b: b = a b = a+ b = a. Тест 376. Сумма и разность векторов, длина, перпендикулярность Существуют такие неравные векторы a и b, не равные нуль вектору, что: 1. a+ b = a b ; 2. a+ b a b ; 3. a+ b = a b ; 4. a+ b < a < b < a b ; 5. a a+ b, b a b Тест 377. Линейные операции с векторами В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Тогда: AD = OC+ OD ; OD= 0,5 BA+ 0, 5 BC ; OC= 0,5 AB 0, 5BC AB AO= D C OC ; A C AB= OC+ OD ; Тест 378. Линейные операции с векторами 1. BO = OA+ OC, если дан треугольник ABC и в точке O пересекаются его медианы. 2. AC OB= AB OC, если дан треугольник ABC и в точке O пересекаются его медианы BK = BA+ BC, если точка K - середина стороны AC треугольника ABC OC= OA+ OB, если точка O - произвольная точка плоскости, а точка C делит 3 3 отрезок AB в отношении 1: 2, считая от точки A CD= CB+ CA в прямоугольном треугольнике ABC с катетами CA = 3 и CB = 4, 5 5 CD - биссектриса угла С.

3 Тест 379. Линейные операции с векторами, длина, перпендикулярность Существуют такие неколлинеарные векторы a и b,что: a+ b = 0 ; a+ 2b = 2 a + b ; 3. a 2b b ; 4. 3a b a+ 3b ; 5. x (a + b) x (a b) при любом x, отличном от нуля.

4 Тест 380. Линейная комбинация векторов Векторы a и b единичные и неколлинеарные; тогда существуют такие числа x и y: 1. xa+ yb = xa yb ; 2. xa+ yb = 1 3. a = xa+ yb = b 4. xa+ b = a + yb, если x 1; y 1 5. a + b = xa yb. Тест 381 Линейные операции с векторами, длина, перпендикулярность 1. a = b, если a + b = Есть такие неколлинеарные векторы a и b a = a + b = b ;, что. 3. Существуют такие векторы a и b, не равные нуль вектору, что a+ b a b. 4. Нет таких трёх неколлинеарных векторов a, b с, что каждый из них равен разности двух других. 5. Существуют такие неколлинеарные векторы a и b,что 2a+ 2b = 3 a+ 3b. Пусть p = 1. p = CK, K AB; Тест 382. Разложение вектора на составляющие по двум прямым xa + yb и векторы a и b неколлинеарные. Тогда xy 1, если: a = CA, b = CB в равностороннем треугольнике ABC со стороной 1, 2. p = AB, a = AС, b = BD в параллелограмме ABCD; 3. p = AB, a = AD, b = AC в трапеции ABCD, в которой AB = BC = CD = 1. AD = 2 ; 4. a = ОA, b = OB, p= OC в круге единичного радиуса, причём точки A,B,C делят окружность с центром O на три равные части; 5. p = DB 1, a = CB, b = DC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1, в котором основанием является квадрат.

5 Тест 383. Проекция вектора В результате проектирования вектора на две взаимно перпендикулярные оси: 1. при увеличении длины вектора и постоянном угле, который он образует с осью x увеличивается каждая его проекция. 2. существуют два таких угла между вектором и осью x, при которых его проекции равны. 3. при постоянной длине вектора увеличение одной его проекции приводит к уменьшению другой его проекции. 4. при постоянной длине вектора увеличение угла между вектором и осью x увеличивает хотя бы одну его проекцию. 5. при постоянной длине вектора увеличение обеих его проекций приводит к увеличению угла между вектором и осью x. Тест 384. Координаты вектора 1. Если модуль вектора не меньше 1, то модуль произведения его координат не меньше Если одна координата вектора постоянна, а другая его координата увеличивается, то длина вектора увеличивается. 3. Вектор является нулевым не только тогда, когда произведение его координат равно нулю. 4. Ненулевой вектор не перпендикулярен ни одной оси координат тогда и только тогда, когда произведение его координат не равно нулю. 5. Чтобы длина одного вектора была больше длины другого вектора, необходимо, но не достаточно, чтобы каждая координата первого вектора была больше соответствующей координаты второго вектора. Тест 385. Векторы на координатной плоскости 1. Если координаты вектора увеличились, то модуль его увеличился. 2. Если координаты вектора разделили на одно и то же число, то его модуль разделился на это же число. 3. Если угол между вектором (х, у) постоянной длины и единичным вектором оси Ох возрастает, то его координата х убывает. 4. Если угол между вектором (х, у) постоянной длины и единичным вектором оси Ох возрастает, то его координата у возрастает. 5. Если модули координат вектора уменьшились, то модуль вектора уменьшился. Тест 386. Векторный метод 1. Ненулевой вектор АВ и вектор АХ сонаправлены тогда и только тогда, когда АХ =α АВ, где α>0. 2. Точка Х лежит на прямой АВ только тогда, когда АХ =α АВ, где α > Точка Х принадлежит отрезку АВ тогда, когда АХ =α АВ, где 0 α ABCD параллелограмм. Точка Х принадлежит параллелограмму ABCD тогда и только тогда, когда АХ =α АВ +β ВС, где 0 < α < 1 и 0 < β < Точка Х лежит внутри угла АОВ не только тогда, когда ОХ =αоа + βов, где αβ >0.

6 α β, если: 1. α - это угол между векторами треугольнике ABC; Тест 387. Угол между векторами AB и AC, β - это угол между векторами 2. α - это угол между векторами AO и BO, β - это угол между векторами параллелограмме ABCD, где точка О его центр симметрии; 3. α - это угол между векторами прямоугольнике ABCD; AB и AB и CO и AC, β - это угол между векторами СA и 4. α - это угол между векторами AB и BC, β - это угол между векторами круге с диаметром AB, в котором BC и AD две параллельные хорды; DA и 5. α - это угол между векторами AB и BC, β - это угол между векторами AD и круге, в котором проведена хорда AB, если ABCD - трапеция, BC и AD две параллельные хорды, BC < AD/ BC в DO в DC в AB в CD в Тест 388. Скалярное умножение 1. Если модули двух ненулевых векторов не изменяются, а угол между ними возрастает, то их скалярное произведение убывает. 2. Если модули двух ненулевых векторов возрастают, а угол между ними не изменяется, то их скалярное произведение возрастает. 3. Координаты вектора а (х, у) равны его скалярным произведениям на единичные векторы осей координат: х= а i, у= а j. 4. Если скалярные произведения вектора а и двух неколлинеарных векторов равны нулю, то вектор а - нулевой. 5. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Тест 389. Скалярное умножение Скалярное произведение векторов a и b больше 1, если дан квадрат ABCD со стороной 2 и: 1. a= BC, b= DA; 2. a= 0,5 AD, b= 2 CD; 3. a= 2 AC, b= 2 BA; 4. a= BD, b= AB+ CB; 5. a= 0,5 AD+ BA, b= 0,5 CD+ BC.

7 Тест 390. Скалярное умножение Скалярное произведение векторов a и b больше 1, если: 1. a= AK, b= CL, если дан равносторонний треугольник ABC со стороной 2, AK и CL его медианы; 2. a= AK, b= CL, если дан равносторонний треугольник ABC со стороной 2, K точка на стороне BC, L точка на стороне AB ; 3. a= AK, b= CL, если дан ромб ABCD со стороной 2, K точка на диагонали AC, L точка на диагонали BD ; 4. a= АB, b = АC если точка A - центр круга радиуса 2, AB и AC - егорадиусы; 5. a и b - векторы, заданные диагоналями, выходящими из одной вершины правильного шестиугольника со стороной 1. Тест 391. Скалярное умножение 1. Если a b > 0 и c b > 0, то a c > a b > a c b > c. 3. Зная a b и a c, можно найти b c, если все эти векторы единичные. 4. Существуют единичные векторы a, b, с такие, что (a b) c = (c a) b = (b c) a 5. Векторы b и c единичные, кроме того (a b) c = (a c) b и среди данных векторов нет перпендикулярных. Тогда векторы b и c противоположные Тест 392. Скалярное умножение. Координатная форма 1. Если два вектора ортогональны и известны координаты одного из них, то можно найти координаты другого. 2. Скалярное произведение двух векторов положительно тогда и только тогда, когда все координаты данных векторов положительны. 3. Если один вектор постоянен, а координаты другого вектора увеличиваются, то их скалярное произведение увеличивается. 4. Если два вектора ортогональны и ни один из них не перпендикулярен осям координат, то из их координат можно составить пропорцию. 5. Зная длины векторов и их скалярное произведение, можно найти их координаты.

8 Тест 393. Скалярное умножение Для векторов плоскости: 1. существуют ненулевые векторы a, b такие, что a b = (2 b) a ; 2. если a = b = 1, то x: (a+ xb) (a xb) = 2 ; 3. если (a+ b) (a b), то a = b ; 4. если x a = x b и x - не нулевой вектор, то вектор x перпендикулярен разности векторов a, b ; 5. существуют векторы a, b, с попарно неколлинеарные, такие, что (a b) с ((b с) a+ (c a) b). Тест 394. Скалярное умножение 1. x a = (x+ b) a тогда, когда 2. b a. a (a+ b) = (a+ b) b только тогда, когда a = b. 3. С увеличением коэффициентов α и β увеличивается скалярное произведение векторов α a и β b. 4. x R: (+ x a b) (x a b) = 2, если данные векторы единичные.. 5. Зная длину суммы векторов и длину их разности, можно найти их скалярное произведение. 1. a = b, если a = (1, k), b = (-k, 1). Тест 395. Скалярное умножение 2. Существуют два значения x, при которых b a, если a = (1, x), b = (1, - x). 3. Существуют два значения угла между единичными векторами a и b, при которых a + b + a b =2. 4. Если b (a+ с), то сумма углов, которые образованы ненулевым вектором b с единичными векторами a и с равна Если a b > 2(b с) и с b > 0,5(с a), то a b > с a

9 Тест 396. Векторное здание фигур 1. Точка X принадлежит отрезку AB тогда и только тогда, когда + BX XA = BA. 2. Точки A,B,C являются вершинами треугольника тогда, когда выполняется равенство AB+ BC + CA = Точка X принадлежит углу ABC тогда и только тогда, когда BX 4. Точки A,B,C,D являются вершинами тетраэдра, если вектор линейной комбинацией векторов 5. Если AB = (x + 1) AB и AC. AС + x DA, то точка B лежит на прямой CD. = AC - AB. AD не является Тест 397. Обобщающий 1. Некоторые векторы a и b коллинеарны, если a = (1, x) и b = (x, 1). 2. Некоторые векторы ортогональны, если первый из них задан диагональю правильного шестиугольника, а второй другой его диагональю. 3. Некоторый из трёх векторов a, b, с является линейной комбинацией двух других, если a = (1, x), b = (2, x), с = (-4, - 2x), если x Скалярное произведение некоторых векторов a и b, сумма которых равна нуль - вектору, равно нулю. 5. Если единичные векторы a и b таковы, что a b = 1, то некоторые их соответственные координаты равны. Тест 398. Координаты точки На плоскости введена система прямоугольных координат х, у с началом в точке О, фиксированы точки А(-1, 0) и В(1, 0), а переменная точка С(0, у С) перемещается по лучу х = 0, у > 0. Точка Р(0, у Р) точка пересечения медиан треугольника АВС, точка Н(0, у Н) точка пересечения высот треугольника АВС, точка К(0, у К) центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, точка М(0, у М) центр вписанной окружности треугольника АВС. Координата у С возрастает и пробегает интервал (0, +). Тогда: 1. координата у К возрастает и пробегает всю числовую прямую (-, +); 2. координата у Н убывает от + и стремится к нулю; 3. координата у Р возрастает и пробегает луч (0, +); 4. координата у М пробегает интервал (0, 1); 5. выполняются равенства у Р = у Н = у К = у М, когда у С =2. Тест 399. Расстояние между точками

10 Точки A,B,C имеют такие координаты: A(1,a),B (a,1),C (-1,-1). Тогда: 1. существует такое значение a, при котором треугольник ABC является прямоугольным; 2. существует такое значение a, при котором треугольник ABC является тупоугольным; 3. существует такое значение a, при котором треугольник ABC является равносторонним; 4. при любом значении a данные точки являются вершинами равнобедренного треугольника; 5. нет таких значений a, при которых эти точки не являются вершинами треугольника. Тест 400. Уравнение прямой Рассматривается уравнение прямой p: ax + by + c = 0. Тогда: 1. существует такое значение c, что при любых a и b прямая пересекает обе оси координат в начале системы координат. 2. при возрастании a (a 0) растёт угловой коэффициент прямой. 3. если a > 0 и растёт угловой коэффициент прямой, то растёт b. 4. если уравнение прямой p: ax + by + c 1 = 0, а прямой q: bx + ay + c 2 = 0, то существуют такие a и b, отличные от нуля, при которых эти прямые перпендикулярны. 5. если уравнение прямой p: ax + by + c 1 = 0, а прямой q: ax + by + c 2 = 0, и расстояние между этими прямыми равно 1, то c c > Тест 401. Прямая на плоскости 1. Некоторая прямая, уравнение которой ax + y + 1 = 0, проходит через точку (-1,-1). 2. Некоторая прямая, уравнение которой ax - y + 1 = 0, параллельна прямой x + 1 = Некоторые две прямые, уравнения которых x - y + a = 0 и x ay = 0, взаимно перпендикулярны. 4. Некоторая прямая, уравнение которой x/a + y/1 = 0, отсекает на осях координат равные отрезки. 5. Расстояние от некоторой прямой, уравнение которой x + y = a, до начала координат равно a. Тест 402. Угол между прямыми

11 1. При любом значении a 0 прямые AB и CO перпендикулярны (точка O - начало координат)., если уравнение прямой OC: y = ax, уравнение прямой AB: y = - (1/a) x + a. 2. Угол между прямой p, уравнение которой 2x + y + 1 = 0, и прямой q, уравнение которой x + 2y + 1 = 0 больше Угол между прямой p, уравнение которой x + y + 5 = 0, и прямой q 1, уравнение которой x + 2y -1 = 0, больше угла между прямой p и прямой q 2, уравнение которой 2x - y -7 = Существует a > 0, при котором угол между прямой p, уравнение которой -ax + y - 1 = 0, и прямой q, уравнение которой x - ay +1 = 0, равен При возрастании a > 0 растёт угол между прямой p, уравнение которой ax - y - 1 = 0, и прямой q, уравнение которой x - y +a = 0.. Тест 403. Расстояние от точки до прямой 1. Расстояние от начала координат до прямой y = ax + 1 не больше Расстояние от точки A (1,1) до прямой p, уравнение которой x + 2y 2 = 0, меньше расстояния от точки B(1,-1) до прямой p. 3. Расстояние от точки A (1,1) до прямой p, уравнение которой x - y + 2 = 0, не меньше расстояния от точки A до прямой q, уравнение которой x - 2y - 2 = Расстояние от начала координат до прямой p, уравнение которой ax +by + c = 0,растёт вместе с увеличением a. 5. Расстояние от прямой p, уравнение которой x + y - 1 = 0 до прямой q, уравнение которой x + y + 2 = 0, меньше 2. Тест 404. Уравнение окружности Рассматривается уравнение окружности в общем случае: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. Тогда: 1. При a > 0, b < 0 существует такое значение R, при котором вся окружность лежит в четвёртой четверти. 2. При a = - 2, b = 2 найдётся такое значение R, при котором окружность касается осей координат. 3. При увеличении a и постоянных R и b расстояние от начала координат до окружности растёт. 4. При a = -1 и R = 2 при любом значении b эта окружность высекает на оси ординат отрезок длины При постоянном R и возрастающих a и b окружность удаляется от начала координат. Тест 405. Уравнение фигуры на плоскости. Расстояние от точки до фигуры

12 Расстояние от точки A до фигуры F больше 1, если: 1. A (0, - 2), а F задаётся условием x/y 1; 2. A (-1,0), а F задаётся условием x = y - 2 ; 3. A (0,-2), а F задаётся условием x 2 + 5xy + 6y 2 = 0; 4. A (1,1), а F задаётся условием x - y 2 1; 5. A (0,0), а F задаётся условием x 2 + y 2 - x y +1,5 = 0.

13 Тест 406. Окружность 1. Некоторая окружность, уравнение которой x 2 + y 2 = a 2, проходит через точку (a, - a). 2. Некоторая окружность, уравнение которой (x + 1) 2 + (y + a) 2 = 1, касается оси x. 3. Некоторая окружность, уравнение которой (x a) 2 + y 2 = 1, отсекает на оси y отрезок длины Некоторый круг (x -0,9) 2 + (y 0,9) 2 a 2, имеет общие точки с кругом (x - 1) 2 + (y - 1) Некоторые окружности, уравнения которых (x a) 2 + y 2 = 1 и x 2 + (y + a) 2 = 1, удалены на расстояние 1 при a 2. Тест 407. Координатный метод На координатной плоскости (х, у) : 1. уравнение х 2-1=0 задает прямую. 2. прямые, заданные уравнениями 2 х- 3у + 6 = 0 и 2 х- 3у + 12 = 0, параллельны. 3. прямые, заданные уравнениями 2х - 3у + 6 = 0 и 2х +3у + 6=0, пересекаются в точке (1, 2). 4. прямая, заданная уравнением х у + 9 = 0, и окружность, заданная уравнением х 2 + у 2 = 4, имеют общую точку. 5. уравнение ах + bу 2 = c при ненулевых a и b задает параболу.

14 Тест 408. Обобщающий 1. Если α 1 > α 2, β 1 > β 2 и a = b, то α + b > 1 a β1 2 a+ β 2 b α. 2. Разложение вектора на составляющие по трём попарно пересекающимся прямым единственно. 3. Если координаты вектора противоположны, то он параллелен биссектрисе одного из координатных углов. 4. Если векторы a, b, с, d единичные, то (a+ b)(c+ d) Если векторы a, b, с единичные и a b = c b = a c, то a b + a c > 2 b + c. Тест 409. Обобщающий 1. Середина отрезка AB находится во второй четверти, если A(5,2), B(-5,-1). 2. Точки A(-1,2) и B(-2,1) равноудалены от прямой p, уравнение которой y = x Есть точка C (a,2a) такая, которая лежит на прямой, проходящей через точки A(-1,-2) и B (-3,-5). 4. Существует a 2, при котором круг (x a) 2 + (y a) 2 1 лежит в круге (x + a) 2 + (y + a) Фигура, уравнение которой xy 1 удалена от начала координат на расстояние, большее 1.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A(1; 2; 4), B (4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

7. Тесты В последние годы появилась еще одна форма контроля знаний и умений тесты. В чем главное достоинство проверки по тестам? В скорости. В чем главное достоинство традиционной проверки? В ее основательности.

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B(1; 1; 1) до начала

Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Тест 132. Многоугольник. Существование Существуют два треугольника, объединением которых являются: 1. треугольники двух видов: равносторонний и равнобедренный, но не равносторонний; 2. квадрат; 3. шестиугольник;

Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М(5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a (1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F (3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрольный

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AC. 27235.

Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 (27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 (27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин (4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки () 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM: MB =

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой,) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Настоящее пособие по выполнению контрольной работы по геометрии (аналитическая геометрия на плоскости) для студентов заочного отделения написано в соответствии с действующей программой и предназначено

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и (4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов Тема «Векторы» 1.Назначение работы - проверить соответствие знаний, умений и основных видов учебной деятельности

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 2. На клетчатой бумаге с клетками

Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

МИНИСТЕРСТО ОБРАЗОАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НООСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс ЕКТОРЫ Новосибирск ведение Многие явления в окружающей

Задание 3 Планиметрия: длин и площадей Треугольник 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. 2. В треугольнике ABC AC = BC, угол C

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c) () a () b () c ()) () a (

Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2015 Введение Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит около четырехсот

8. Координаты середины отрезка. 9. Формула длины вектора. 30. Расстояние между двумя точками. 3. Угол между векторами. 3. Скалярное произведение векторов. 33. Скалярный квадрат. 34. Условие перпендикулярности

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А () В () С () Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5) параллельно векторам a = (; ;5) и b = (4;3;0) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Тест 59. Треугольник. Сумма углов Про данный треугольник было высказано несколько предположений: А) у него есть острый угол; Б) у него есть прямой угол; В) у него есть тупой угол; Г) у него нет не острого

Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

1. Прототип задания B5 (27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 (27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 (27547) Найдите площадь треугольника,

Прототипы задания В6-2 (2013) (27742) Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. (27743) В треугольнике ABC угол A равен, внешний

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 2011 ВВЕДЕНИЕ Выработка умений решать задачи на нахождение координат точек и векторов, расстояний между точками и углов между векторами относится к основным

ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M (14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Геометрия. 8 класс. Экспресс-диагностика. Мельникова Н.Б.

М.: 2014. - 80 с.

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Предлагаемое пособие предназначено для организации текущих проверок по ходу изучения планиметрии в 8 классе. Оно содержит наборы заданий для проверки первичного усвоения материала по достаточно мелким разделам курса. Пособие выполнено в виде рабочей тетради. Включенные в работы задачи предполагают либо выбор одного или нескольких предложенных ответов, либо получение краткого ответа. Решение задач не требует письменного оформления. Предлагаемое пособие соответствует примерным программам основного общего образования.

Формат: pdf

Размер: 15,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Тест 1. Многоугольники 5
Тест 2. Параллелограмм 9
Тест 3. Трапеция 13
Тест 4. Прямоугольник, ромб, квадрат 17
ПЛОЩАДЬ
Тест 5. Площадь многоугольника. Площадь прямоугольника и квадрата 21
Тест 6. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции 25
Тест 7. Теорема Пифагора 29
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Тест 8. Подобные треугольники, свойство биссектрисы треугольника 33
Тест 9. Признаки подобия треугольников 37
Тест 10. Средняя линия треугольника. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 41
Тест 11. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника 45
ОКРУЖНОСТЬ
Тест 12. Касательная к окружности 49
Тест 13. Центральные и вписанные углы 53
Тест 14. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку 57
Тест 15. Вписанные и описанные окружности 61
ВЕКТОРЫ
Тест 16. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов 69
Тест 17. Умножение вектора на число. Средняя линия трапеции 73
Ответы 77

В пособии представлено 17 тестов для экспресс-диагностики. Тесты составлены в соответствии с действующими программами и ориентированы на учебник Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». Каждый тест направлен на первичный контроль текущего усвоения материала на минимальном уровне. Включенные в них задания проверяют понимание новой терминологии, распознавание видов фигур и их свойств. Используются простые задачи на прямое применение определений и теорем, включенных в содержание изучаемого материала.
Тесты составлены в четырех равноценных вариантах. Включенные в работы задачи предполагают либо выбор одного или нескольких верных ответов, либо получение краткого ответа, который может быть представлен числом, буквенной записью отрезка или угла. В части заданий предусматривается работа по готовому рисунку, в некоторых случаях данный рисунок необходимо дополнить, а в ряде случаев рисунок по условию задачи должен выполнить сам учащийся в отведенном для этого месте. Кроме того, для большинства задач оставлено место для проведения вычислений или других записей, если они потребуются для получения ответа. При этом записи могут либо вообще отсутствовать, либо быть минимальными. Задачи на доказательство в этот вид проверки не включены, а обоснования ответов к заданиям на распознавание или вычисления учащиеся могут не приводить.
Поскольку целью проведения экспресс-диагностики является первичный контроль усвоения нового материала, а используемые задания проверяют умения применять материал в простых ситуациях, то выставление отметок по итогам проверки представляется нецелесообразным. Возможно использовать двухбалльную систему оценивания («сдано - не сдано», «зачет - незачет» и т.п.). Главная задача для учителя - получить информацию, какой материал усвоен недостаточно классом и отдельными учениками, чтобы своевременно отреагировать и ликвидировать пробелы в ходе изучения соответствующего раздела курса.

Сло-же-ние и вы-чи-та-ние век-то-ров

1. Сумма двух векторов, правило треугольника

На преды-ду-щем уроке мы опре-де-ли-ли по-ня-тие век-то-ра, ска-за-ли, какие век-то-ры на-зы-ва-ют-ся рав-ны-ми, кол-ли-не-ар-ны-ми, со-на-прав-лен-ны-ми и про-ти-во-на-прав-лен-ны-ми.

Те-перь пусть за-да-но два век-то-ра - век-то-ра и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров . Для этого от-ло-жим из неко-то-рой точки А век-тор . Из точки В от-ло-жим век-тор . Тогда век-тор на-зы-ва-ют сум-мой за-дан-ных век-то-ров: (см. Рис. 1).

Дан-ное опре-де-ле-ние можно объ-яс-нить так: пусть был задан груз, и сна-ча-ла на него по-дей-ство-ва-ла сила - он пе-ре-ме-стил-ся из точки А в точку В, после этого по-дей-ство-ва-ла сила - груз пе-ре-ме-стил-ся из точки В в точку С. Но в ре-зуль-та-те дей-ствия двух этих сил груз пе-ре-ме-стил-ся из точки А в точку С.

Таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли опре-де-ле-ние суммы двух век-то-ров - пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка.

Пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка

Для того чтобы по-лу-чить сумму двух век-то-ров, нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из конца по-лу-чен-но-го век-то-ра от-ло-жить вто-рой век-тор, и по-стро-ить век-тор, со-еди-ня-ю-щий на-ча-ло пер-во-го с кон-цом вто-ро-го - это и будет сумма двух век-то-ров.

Можно про-ве-сти ана-ло-гию с чис-ла-ми. Мы ввели по-ня-тие числа, на-учи-лись скла-ды-вать числа, опре-де-ли-ли за-ко-ны сло-же-ния и так далее. Те-перь мы ввели по-ня-тие век-то-ра, на-учи-лись на-хо-дить рав-ные век-то-ра, скла-ды-вать век-то-ра. Те-перь нужно опре-де-лить за-ко-ны сло-же-ния.

2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма

За-ко-ны сло-же-ния век-то-ров

Для любых век-то-ров , и спра-вед-ли-вы сле-ду-ю-щие ра-вен-ства:

Пе-ре-ме-сти-тель-ный закон.

До-ка-за-тель-ство: от-ло-жим из точки сна-ча-ла век-тор , по-лу-ча-ем точку В, из нее от-кла-ды-ва-ем век-тор , по-лу-ча-ем точку С и век-тор .

Те-перь от-ло-жим из точки А сна-ча-ла век-тор по-лу-чим точку В, из нее от-ло-жим век-тор, по-лу-чим точку С и век-тор .

Чтобы до-ка-зать ра-вен-ство по-лу-чен-ных век-то-ров, вы-пол-ним оба по-стро-е-ния из одной точки и по-лу-чим таким об-ра-зом пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 2).

От-кла-ды-ва-ем из точки А век-тор и век-тор . Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор , век-то-ра и равны, а зна-чит, сто-ро-ны ВС и АВ1 че-ты-рех-уголь-ни-ка АВСВ1 па-рал-лель-ны. Ана-ло-гич-но па-рал-лель-ны и сто-ро-ны АВ и В1С, таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли па-рал-ле-ло-грамм. АС - диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма. , таким об-ра-зом, мы до-ка-за-ли пе-ре-ме-сти-тель-ный

закон сло-же-ния век-то-ров и по-лу-чи-ли пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 3).

Пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма

Чтобы по-лу-чить сумму двух век-то-ров, нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить эти два век-то-ра и по-стро-ить на них па-рал-ле-ло-грамм. Диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма, ис-хо-дя-щая из на-чаль-ной точки, и будет сум-мой за-дан-ных век-то-ров.

Со-че-та-тель-ный закон;

Из про-из-воль-ной точки А от-ло-жим век-тор , при-ба-вим к нему век-тор , по-лу-чим их сумму . К этой сумме при-ба-вим век-тор , по-лу-чим ре-зуль-тат (см. Рис. 4).

В пра-вой части вы-ра-же-ния мы сна-ча-ла по-лу-чи-ли сумму век-то-ров , после при-ба-ви-ли ее к век-то-ру и по-лу-чи-ли ре-зуль-тат: (см. Рис. 5).

Таким об-ра-зом, мы до-ка-за-ли со-че-та-тель-ный закон сло-же-ния век-то-ров.

3. Правило сложения нескольких векторов

Пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка

Чтобы сло-жить несколь-ко век-то-ров, нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из его конца от-ло-жить вто-рой век-тор, из конца вто-ро-го век-то-ра от-ло-жить тре-тий и так далее; когда все век-то-ры от-ло-же-ны, со-еди-нив на-чаль-ную точку с кон-цом по-след-не-го век-то-ра, по-лу-чим сумму несколь-ких век-то-ров (см. Рис. 6).

По ана-ло-гии с дей-стви-тель-ны-ми чис-ла-ми после того, как мы на-учи-лись их скла-ды-вать, нужна об-рат-ная опе-ра-ция - вы-чи-та-ние.

4. Правило вычитания векторов

Пусть за-да-но два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем раз-ность этих двух век-то-ров .

Опре-де-ле-ние

Раз-но-стью двух век-то-ров и на-зы-ва-ют такой тре-тий век-тор, сумма ко-то-ро-го с век-то-ром равна век-то-ру .

Если задан век-тор , то можно по-стро-ить про-ти-во-по-лож-ный ему век-тор , ко-то-рый будет равен по длине, но про-ти-во-на-прав-лен. Сумма про-ти-во-по-лож-ных век-то-ров все-гда есть ну-ле-вой век-тор: . Таким об-ра-зом, .