В какой степени число 0. Степень числа с натуральным показателем. Степенная функция iv

Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Однако почему это так?

Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:
43 = 4...

0 0

В алгебре возведение с нулевую степень встречается часто. Что такое степень 0? Какие числа можно возводить в нулевую степень, а какие - нет?

Определение.

Любое число в нулевой степени, за исключением нуля, равно единице:

Таким образом, какое бы число ни возвели в степень 0, результат всегда получится одинаковый - единица.

И 1 в степени 0, и 2 в степени 0, и любое другое число - целое, дробное, положительное, отрицательное, рациональное, иррациональное - при возведении в нулевую степень дает единицу.

Единственное исключение - нуль.

Нуль в нулевой степени не определен, такое выражение не имеет смысла.

То есть в нулевую степень можно возводить любое число, кроме нуля.

Если при упрощении выражения со степенями получается число в нулевой степени, его можно заменить единицей:

Если при...

0 0

В рамках школьной программы считается, что значение выражения $%0^0$% не определено.

С точки зрения современной математики, удобно считать, что $%0^0=1$%. Идея здесь следующая. Пусть имеется произведение $%n$% чисел вида $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Для всех $%n\ge2$% выполняется равенство $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_{n-1})x_n=p_{n-1}x_n$%. Удобно считать это равенство имеющим смысл и при $%n=1$%, полагая $%p_0=1$%. Логика здесь такая: вычисляя произведения, мы сначала берём 1, а потом домножаем последовательно на $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Именно такой алгоритм используется при нахождении произведений, когда пишутся программы. Если по какой-то причине домножений не произошло, то произведение осталось равно единице.

Иными словами, удобно считать имеющим смысл такое понятие как "произведение 0 сомножителей", считая его по определению равным 1. В этом случае можно говорить также о "пустом произведении". Если мы какое-то число домножим на такое...

0 0

Нулевая - она и есть нулевая. Грубо говоря, любая степень числа - произведение единицы на показатель степени раз это число. Два в третьей, скажем, это 1*2*2*2, два в минус первой - 1/2. А нужно затем, чтобы не было дырки при переходе от положительных степеней к отрицательным и наоборот.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

вот и весь смысл.

просто и понятно, спасибо

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

нужно например просто затем чтобы определенные формулы, которые справедливы для положительных показателей - например x^n*x^m=x^(m+n) - были попрежнему справедливы.
Тоже самое касается кстати и определения отрицательной степени а также рациональноей(то есть например 5 в степени 3/4)

> и зачем это вообще нужно?
Например в статистике и теорвере часто играются с нулевымы степенями.

А отрицательные степени вам не мешают?
...

0 0

Продолжаем рассматривать свойства степеней, возьмем к примеру, 16:8=2. Поскольку 16=24, а 8=23, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 24:23=2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 24:23=21. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 21 – это одно и то же, следовательно, 21=2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде:

любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 21=2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 20 означает «ни одного числа два,...

0 0

Определения степеней:

1. нулевая степень

Любое число, отличное от нуля, возведённое в нулевую степень, равно единице. Ноль в нулевой степени не определён

2. натуральная степень, отличная от нуля

Любое число x, возведённое в натуральную степень n, отличную от нуля, равно перемножению n чисел x между собой

3.1 корень чётной натуральной степени, отличной от нуля

Корень чётной натуральной степени n, отличной от нуля, из любого положительного числа x - это такое положительное число y, которое при возведении в степень n даёт исходное число x

3.2 корень нечётной натуральной степени

Корень нечётной натуральной степени n из любого числа x - это такое число y, которое при возведении в степень n даёт исходное число x

3.3 корень любой натуральной степени как дробная степень

Извлечение корня любой натуральной степени n, отличной от нуля, из любого числа x - это тоже самое, что возведение этого числа x в дробную степень 1/n

0 0

Здравствуйте, уважаемый RUSSEL !

При введении понятия степень имеется такая запись: » Значение выражения a^0 =1 » ! Это идёт в силу логического понятия степени и ни чуть иначе!
Это похвально когда молодой человек пытается добраться до сути! Но есть вещи, которые должны просто восприниматься как само собой разумеющееся!
Новую математику Вы можете конструировать только тогда, когда изучите уже открытое веками назад!
Конечно, если исключить, что Вы являетесь » не от мира сего » и Вам дано намного больше, чем нам остальным грешным!

Замечание: у Анны Мишевой сделана попытка доказать не доказываемое! Тоже похвально!
Но есть одно большое » НО » - в её доказательстве отсутствует важнейший элемент: Случай деления на НУЛЬ!

Посмотрите сами, что может получиться: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Но ведь НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

Будьте, пожалуйста, внимательнее!

С массой наилучших пожеланий и счастья вличной жизни...

0 0

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 71. Степени с нулевыми и отрицательными показателями

В § 69 мы доказали (см. теорему 2), что при т > п

(a =/= 0)

Вполне естественно желание распространить эту формулу и на случай, когда т < п . Но тогда число т - п будет либо отрицательным, либо равным нулю. A. мы до сих пор говорили лишь о степенях с натуральными показателями. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью ввести в рассмотрение степени действительных чисел с нулевыми и отрицательными показателями.

Определение 1. Любое число а , не равное нулю, в нулевой степени равно единице , то есть при а =/= 0

а 0 = 1. (1)

Например, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Число 0 нулевой степени не имеет, то есть выражение 0 0 не определено.

Определение 2 . Если а =/= 0 и п - натуральное число, то

а - n = 1 /a n (2)

то есть степень любого числа, неравного нулю, с целым отрицательным показателем равна дроби, числитель которой есть единица, а знаменатель - степень того же числа а, но с показателем, противоположным показателю данной степени.

Например,

Приняв эти определения, можно доказать, что при a =/= 0, формула

верна для любых натуральных чисел т и n , а не только для т > п . Для доказательства достаточно ограничиться рассмотрением двух случаев: т = п и т < .п , поскольку случай m > n уже рассмотрен в § 69.

Пусть т = п ; тогда . Значит, левая часть равенства (3) равна 1. Правая же часть при т = п обращается в

а m - n = а n - n = а 0 .

Но по определению а 0 = 1. Таким образом, правая часть равенства (3) также равна 1. Следовательно, при т = п формула (3) верна.

Теперь предположим, что т < п . Разделив числитель и знаменатель дроби на а m , получим:

Так как п > т , то . Поэтому . Используя определение степени с отрицательным показателем, можно записать .

Итак, при , что и требовалось доказать. Формула (3) доказана теперь для любых натуральных чисел т и п .

Замечание. Отрицательные показатели позволяют записывать дроби без знаменателей. Например,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; вообще, a / b = а b - 1

Однако не следует думать, что при такой записи дроби превращаются в целые числа. Например, 3 - 1 есть такая же дробь, как и 1 / 3 , 2 5 - 1 - такая же дробь, как и 2 / 5 , и т. д.

Упражнения

529. Вычислить:

530. Записать без знаменателей дроби:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Данные десятичные дроби записать в виде целых выражений, используя отрицательные показатели:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Ответы:

Без имени

если учесть, что a^x=e^x*ln(a), то получается, что таки 0^0=1 (предел, при х->0)
хотя и ответ "неопределенность" тоже приемлем

Ноль в математике это не пустота, это число очень близкое к "ничему", точно также как и бесконечность только на оборот

Распишите:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Получается в этом случае мы делим на ноль, а эта операция над полем вещественных чисел не определена.

6 лет назад

RPI.su — самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.

Чему будет равняться ноль, если его возвести в нулевую степень?

Почему число в степени 0 равно 1? Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 Однако почему это так? Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается? Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 А теперь рассмотрим такой пример: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя. И отсюда становится понятно, почему выражение 00 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0. Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 52 × 50 = 52+0 = 52, то отсюда следует, что 52 было умножено на 1. Следовательно, 50 = 1.

Из свойств степеней: a^n / a^m = a^(n-m) если n=m, результат будет единица кроме естественно a=0, в этом случае (поскольку ноль в любой степени будет нулём) имело бы место деление на ноль, поэтому 0^0 не существует

Счёт на разных языках

Названия числительных от 0 до 9 на популярных языках мира.

Язык	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Английский	zero	one	two	three	four	five	six	seven	eight	nine
Болгарский	нула	едно	две	три	четири	пет	шест	седем	осем	девет
Венгерский	nulla	egy	kettõ	három	négy	öt	hat	hét	nyolc	kilenc
Голландский	nul	een	twee	drie	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
Датский	nul	en	to	tre	fire	fem	seks	syv	otte	ni
Испанский	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
Итальянский	zero	uno	due	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nove
Литовский	nulis	vienas	du	trys	keturi	penki	ðeði	septyni	aðtuoni	devyni
Немецкий	null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
Русский	ноль	один	два	три	четыре	пять	шесть	семь	восемь	девять
Польский	zero	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
Португальский	um	dois	três	quatro	cinco	seis	sete	oito	nove
Французский	zéro	un	deux	trois	quatre	cinq	six	sept	huit	neuf
Чешский	nula	jedna	dva	tøi	ètyøi	pìt	¹est	sedm	osm	devìt
Шведский	noll	ett	tva	tre	fyra	fem	sex	sju	atta	nio
Эстонский	null	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Отрицательная и нулевая степень числа

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевой показатель

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a 0 не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a -m , само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 10 1 + b × 10 0 + c × 10 -1 + d × 10 -3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

Дробный показатель

Если k не есть число кратное n , то выражение: не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным .

Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Однако почему это так?
Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель(если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?
Попробуем пойти иным путем.

Почему число в степени 0 равно 1?

Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом(если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого(если степени делятся):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
А теперь рассмотрим такой пример:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.
И отсюда становится понятно, почему выражение 0 0 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.