Видеоурок «Свойства числовых неравенств. Свойства числовых неравенств. Пусть n=2, тогда
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные неравенства.
Метод интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказатель ства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где a – положительное число.
1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что ( a – 1 )² 0 .
2). Оценка знака разности между частями неравенства .
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более того, равенство имеет место только при
a = 1 .3). Доказательство от противного.
Предположим противное:a , получим: a 2 + 1 < 2 a , т. e .
a 2 + 1 – 2 a < 0 , или ( a – 1 ) 2 < 0, что неверно. (Почему?) .
Полученное противоречие доказывает справедливость
Рассматриваемого неравенства.
4). Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым , если у него знак \/ или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 \/ 2 a , т. e .
а 2 + 1 – 2 a \/ 0 , или ( a – 1) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть
Знак \/ , чтобы получить верное неравенство (Как?). Поворачивая его
В нужном направлении по
всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными , если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных . Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. ). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные (например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Метод интервалов. Решить неравенство: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). Здесь нельзя делить обе части неравенства на (x – 3), так как мы не знаем знака этого двучлена (он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:
( x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,
разложим её на множители:
( x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,
и получим: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:
В интервале I (x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно , их произведение положительно ; в интервале II (3 < x < 7 ) первый множитель (x – 3 ) положителен, а второй (x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно ; в интервале III (x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно . Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно . Это интервал II , следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство . Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.
П р и м е р. Решить следующее неравенство методом интервалов:
( x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .
Р е ш е н и е. Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.
Они разбивают числовую ось на 101 интервал:
Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то
При x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение
Положительно. При переходе через корень происходит смена
Знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри
Которого произведение положительно, будет (2, 3), затем (4, 5),
Затем (6, 7), … , (98, 99) и наконец , x >100.
Таким образом, данное неравенство имеет решение:
x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.
Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.
Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.
Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.
П р и м е р 1. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Решение первого неравенства:
x < 4 ; а второго: x > 6.Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.
(Почему?)
П р и м е р 2. Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е. Первое неравенство, как и прежде, даёт: x < 4; но решение
Второго неравенства в данном примере: x > 1.
Таким образом, решение системы неравенств: 1 < x < 4.
: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №655
Приморского района Санкт-Петербурга
«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»
2014г.
Ли Нина Юрьевна
8в класс
Аннотация…………………………………………………………………………………….3
Введение …………………………………………………………………………………….. 4
Историческая справка………………………………………………………………………..4
Неравенство Коши……………………………………………………………………………5
Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7
Выводы исследования………………………………………………………………………..10
Список литературы……………………………………………………………………………11
Ли Нина
г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс
«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».
руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики
Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.
ВВЕДЕНИЕ
«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».
Э. Беккенбах
Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.
Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.
Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.
Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.
Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.
Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.
Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:
- сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
- познакомится с неравенством Коши;
- Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (
Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.
Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.
Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.
Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.
Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:
Равенство достигается при a = b.
Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.
Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:
(а – в)² ≥ 0;
Применим формулу «квадрат разности»:
а² - 2ав + в² ≥0;
Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :
а² + 2ав + в² ≥4ав;
Применим формулу «квадрат суммы»:
(а + в)² ≥4ав;
Разделим обе части неравенства на 4 :
Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Рассмотрим геометрическое доказательство:
Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.
Доказать:
Доказательство:
- АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
- В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
- ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.
Очевидно, что , равенство достигается при
a = b , то есть ABCD – квадрат.
заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим
Или ,
то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Метод синтеза.
Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.
Решим задачу, используя метод синтеза
Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство
Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел
Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны
Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:
Метод использования тождеств .
Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.
Рассмотрим решение задачи этим методом.
Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .
Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат
При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:
- сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
- знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
- применение полученных знаний для доказательства неравенств;
- знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.
В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.
- Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.
- Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
§ 1 Универсальный способ сравнения чисел
Познакомимся с основными свойствами числовых неравенств, а также рассмотрим универсальный способ сравнения чисел.
Результат сравнения чисел можно записать с помощью равенства или неравенства. Неравенство может быть строгим и нестрогим. Например, а>3 - это строгое неравенство; а≥3 - это нестрогое неравенство. Способ сравнения чисел зависит от вида сравниваемых чисел. Например, если надо сравнить десятичные дроби, то мы сравниваем их поразрядно; если необходимо сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, то надо привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Но существует универсальный способ сравнения чисел. Он состоит в следующем: находят разность чисел a и b; если a - b > 0, то есть положительное число, то a > b; если a - b < 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
Воспользуемся универсальным способом сравнения. Найдем разность выражений 2b2 - 6b + 1и 2b(b - 3);
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; приведем подобные слагаемые и получим 1. Так как 1 больше нуля, положительное число, то 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 Cвойства числовых неравенств
Свойство 1. Если a> b, b > c, то a> c.
Доказательство. Если a > b, то значит, разность a - b > 0, то есть положительное число. Если b >c, значит, разность b - c > 0, положительное число. Сложим положительные числа a - b и b - c, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a - b) +(b - c) = a- b +b - c= a - c. Так как сумма положительных чисел - число положительное, значит, a - c положительное число. Следовательно, a > c, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если a < b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Доказательство. Найдем разность выражений a + с и b+ с, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a + с) - (b+ с) = a + с - b - с = a - b. По условию a < b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Свойство 3. Если a < b, c - положительное число, то aс < bс.
Если a < b, c- отрицательное число, то aс > bс.
Доказательство. Найдем разность выражений aс и bс, вынесем за скобки с, тогда имеем aс-bс = с(a-b). Но так как a Если отрицательное число a-b умножим на положительное число с, то произведение с(a-b) отрицательно, следовательно, разность aс-bс отрицательна, а значит, aс Если же отрицательное число a-b умножить на отрицательное число с, то произведение с(a-b) будет положительно, следовательно, и разность aс-bс будет положительна, значит, aс>bс. Что и требовалось доказать. Например, a Так как деление можно заменить умножением на число обратное, = n∙, то доказанное свойство можно применить и для деления. Таким образом, смысл этого свойства в следующем: «Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Обе части неравенства можно умножить или разделить на отрицательное число, при этом необходимо поменять знак неравенства на противоположный знак». Рассмотрим следствие к свойству 3. Следствие. Если a Доказательство. Разделим обе части неравенства a
сократим дроби и получим Утверждение доказано. Действительно, например, 2 < 3, но Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d. Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+(c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-(b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-(b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d. Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d- положительные числа. Доказательство. Так как a>b и с - положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b- положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла» Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Свойство 6. Если a < b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Применение свойств
Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств. Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) Оценим разность a - b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a - b заменим суммой a +(-b). Сначала оценим (- b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получим -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин) Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде: Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15.
Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
Неравенство Бернулли Пример 16
. Доказательство. Положив х=0,5 и
применив теорему Бернулли для выражения Получим требуемое неравенство. Пример 17
. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство. по теореме Бернулли, что и требовалось. Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения. С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними. Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры. Yandex.RTB R-A-339285-1
При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение. Определение 1
Числовым неравенством
называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения. Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 . Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше». Определение 2
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что Определение 3
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств. Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах: Определение 4
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 . Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами. Определение 5
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать. Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности. Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 . Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность. Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства: Доказательство производится аналогичным образом. Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств. Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства: Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования. Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c . Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с. Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 . Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c . Доказательство 3
Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом. При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах. Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 . Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств: При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным. Пример 5
Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством. Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей. Определение 9
Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства. Доказательство 4
Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности. Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным. Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым. Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d . Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n
и b 1 , b 2 , … , b n
являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n
. Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам. Пример 7
К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством. Следствие:
Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n
. Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств. Следствие 1:
если a < b , то - a > - b . Следствие 2:
если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b . Cледствие 1:
если a < b , a
и b
- положительные числа, то a n < b n . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1
. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ
.
2 способ
.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство.
Пример 3
. Доказать, что
Доказательство.
Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что.
Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно.
Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения:
,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство
, что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если
и.
Пример 6
. Доказать, что
Доказательство.
Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D
D= => P(x)>0
и
верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
,
Это означает, что для любых действительных у
и неравенство
выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для,
.
Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
, на R =>
()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство.
на R.
Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
Сравним и: ,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Числовые неравенства: определение, примеры
Свойства числовых неравенств
Основные свойства
Другие важные свойства числовых неравенств
Свойства числовых неравенств
a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства.
Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .
