Was ist am wenigsten verbreitet. Einen gemeinsamen Nenner algebraischer Brüche finden: ein Aktionsalgorithmus. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner kürzen, Regel, Beispiele, Lösungen.

Dieser Artikel erklärt, wie man den kleinsten gemeinsamen nenner findet und wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

Zuerst werden die Definitionen des gemeinsamen Nenners von Brüchen und des kleinsten gemeinsamen Nenners gegeben, und es wird auch gezeigt, wie man den gemeinsamen Nenner von Brüchen findet. Das Folgende ist eine Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und Beispiele für die Anwendung dieser Regel werden betrachtet. Abschließend werden Beispiele analysiert, wie man drei oder mehr Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

Was heißt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Wenn gewöhnliche Brüche gleiche Nenner haben, dann nennt man diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Die Brüche 45/76 und 143/76 werden also auf einen gemeinsamen Nenner von 76 gebracht, und die Brüche 1/3, 3/3, 17/3 und 1000/3 werden auf einen gemeinsamen Nenner von 3 gebracht.

Wenn die Nenner von Brüchen nicht gleich sind, können solche Brüche immer auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, indem Zähler und Nenner mit bestimmten zusätzlichen Faktoren multipliziert werden.

Zum Beispiel werden gewöhnliche Brüche 2/5 und 7/4 mit Hilfe der zusätzlichen Faktoren 4 bzw. 5 auf einen gemeinsamen Nenner von 20 reduziert. In der Tat multiplizieren wir den Zähler und den Nenner des Bruchs 2/5 mit 4 Erhalten Sie den Bruch 8/20 und multiplizieren Sie den Zähler- und Nennerbruch 7/4 mit 5 und erhalten Sie einen Bruch 35/20 (siehe Kürzung von Brüchen auf einen neuen Nenner).

Jetzt können wir sagen, was es heißt, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen ist die Multiplikation der Zähler und Nenner gegebener Brüche mit solchen zusätzlichen Faktoren, dass Brüche mit gleichem Nenner entstehen.

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Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

Jetzt ist es an der Zeit, den gemeinsamen Nenner von Brüchen zu definieren.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Nenner einiger gewöhnlicher Brüche ist jede natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche teilbar ist.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass diese Menge von Brüchen unendlich viele gemeinsame Nenner hat, da es unendlich viele gemeinsame Vielfache aller Nenner der ursprünglichen Menge von Brüchen gibt.

Das Bestimmen des gemeinsamen Nenners von Brüchen ermöglicht es dir, die gemeinsamen Nenner von gegebenen Brüchen zu finden. Nehmen wir beispielsweise an, dass bei gegebenen Brüchen 1/4 und 5/6 ihre Nenner 4 bzw. 6 sind.

Die positiven gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind 12, 24, 36, 48, ... Jede dieser Zahlen ist der gemeinsame Nenner von 1/4 und 5/6.

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung des folgenden Beispiels.

Können die Brüche 2/3, 23/6 und 7/12 auf einen gemeinsamen Nenner von 150 gebracht werden?

Um die Frage zu beantworten, müssen wir herausfinden, ob die Zahl 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 3, 6 und 12 ist. Dazu prüfen Sie, ob 150 durch jede dieser Zahlen ohne Rest teilbar ist (siehe ggf. Regeln und Beispiele für die Division natürlicher Zahlen, sowie die Regeln und Beispiele für die Division natürlicher Zahlen mit Rest): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (Rest.

150 ist also nicht durch 12 teilbar, daher ist 150 kein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 3, 6 und 12. Daher kann die Zahl 150 kein gemeinsamer Nenner der ursprünglichen Brüche sein.

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Der kleinste gemeinsame Nenner, wie finde ich ihn?

In der Menge der Zahlen, die gemeinsame Nenner dieser Brüche sind, gibt es die kleinste natürliche Zahl, die als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet wird.

Lassen Sie uns die Definition des kleinsten gemeinsamen Nenners dieser Brüche formulieren.

Bleibt noch die Frage, wie man den kleinsten gemeinsamen Teiler findet.

Da das kleinste gemeinsame Vielfache der kleinste positive gemeinsame Teiler einer gegebenen Zahlenmenge ist, ist das LCM der Nenner der gegebenen Brüche der kleinste gemeinsame Nenner der gegebenen Brüche.

Somit wird das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners von Brüchen auf das Finden des LCM der Nenner dieser Brüche reduziert.

Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von 3/10 und 277/28.

Die Nenner dieser Brüche sind 10 und 28. Den gewünschten kleinsten gemeinsamen Nenner erhält man als LCM der Zahlen 10 und 28. In unserem Fall ist es einfach, das LCM zu finden, indem man die Zahlen in Primfaktoren zerlegt: da 10=2 5 und 28=2 2 7 , dann LCM(15, 28)=2 2 5 7=140.

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Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

Gemeinsame Brüche führen in der Regel zum kleinsten gemeinsamen Nenner.

Jetzt schreiben wir eine Regel auf, die erklärt, wie man Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringt.

Die Regel zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner besteht aus drei Schritten:

• Finde zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.
• Zweitens wird für jeden Bruch ein zusätzlicher Faktor berechnet, für den der kleinste gemeinsame Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.
• Drittens werden Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor multipliziert.

Wenden wir die angegebene Regel auf die Lösung des folgenden Beispiels an.

Kürze die Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Lassen Sie uns alle Schritte des Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ausführen.

Zuerst finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner, der gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 14 und 18 ist. Da 14=2 7 und 18=2 3 3, dann LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Nun berechnen wir Zusatzfaktoren, mit deren Hilfe die Brüche 5/14 und 7/18 auf den Nenner 126 gekürzt werden. Für den Bruch 5/14 ist der Zusatzfaktor 126:14=9 und für den Bruch 7 /18 ist der zusätzliche Faktor 126:18=7 .

Es bleibt, die Zähler und Nenner der Brüche 5/14 und 7/18 mit zusätzlichen Faktoren von 9 bzw. 7 zu multiplizieren.

Wir haben und .

Damit ist die Kürzung der Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner abgeschlossen.

Das Ergebnis waren die Fraktionen 45/126 und 49/126.

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Reduktion auf den kleinsten gemeinsamen Nenner von drei oder mehr Brüchen

Die Regel aus dem vorherigen Absatz ermöglicht es Ihnen, nicht nur zwei Brüche, sondern auch drei Brüche und mehr davon auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen.

Betrachten wir eine Beispiellösung.

Kürze die vier gemeinsamen Brüche 3/2, 5/6, 3/8 und 17/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 2, 6, 8 und 18. Um LCM(2, 6, 8, 18) zu finden, verwenden wir die Informationen aus dem Abschnitt über das Finden von LCM von drei oder mehr Zahlen.

Wir erhalten LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24 und schließlich LCM(24, 18)=72, also LCM(2, 6, 8, 18)=72. Der kleinste gemeinsame Nenner ist also 72.

Jetzt berechnen wir zusätzliche Faktoren. Für Fraktion 3/2 beträgt der zusätzliche Faktor 72:2=36, für Fraktion 5/6 72:6=12, für Fraktion 3/8 beträgt der zusätzliche Faktor 72:8=9 und für Fraktion 17/18 ihn ist 72 :18=4.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Es bleibt der letzte Schritt, um die ursprünglichen Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen: .

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Gemeinsamer Nenner ein beliebiges positives gemeinsames Vielfaches aller Nenner der gegebenen Brüche ist.

Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste Zahl aller gemeinsamen Nenner dieser Brüche.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.

Gemeinsamer Nenner gemeinsamer Brüche

Wenn gewöhnliche Brüche denselben Nenner haben, dann haben diese Brüche einen gemeinsamen Nenner. Z.B,

sie haben einen gemeinsamen Nenner.

Gemeinsamer Nenner Dies ist die Zahl, die der Nenner für zwei oder mehr regelmäßige Brüche ist.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern können auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen Werden diese Brüche durch unterschiedliche Nenner der gleichen Brüche durch die gleichen Nenner ersetzt?

Brüche können einfach auf einen gemeinsamen Nenner oder den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht werden.

kleinster gemeinsamer nenner Dies ist der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.

Gemeinsamer Nenner der Fraktionen im Internet

Um Brüchen den kleinsten gemeinsamen Nenner zu geben, benötigen Sie:

1. Wenn möglich, führen Sie eine Fraktionsreduktion durch.
2. Finden Sie die kleinsten gemeinsamen Kataloge dieser Brüche. NOC wird ihr kleinster gemeinsamer Nenner.
3. Teilen Sie LCM durch die Nenner dieser Brüche. Diese Maßnahme findet für jede dieser Fraktionen einen zusätzlichen Faktor. Zusätzlicher Koeffizient Ist die Zahl, für die es notwendig ist, die Mitglieder des Bruchs zu multiplizieren, um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?
4. Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor.

Beispiel.

1) Finden Sie die NOC-Namen dieser Fraktionen:

NOC(8, 12) = 24

2) Zusätzliche Faktoren gefunden:

24: 8 = 3 (für ) und 24: 12 = 2 (für )

3) Multiplizieren Sie die Mitglieder jeder Fraktion mit einem zusätzlichen Faktor:

Die Kürzung des gemeinsamen Nenners kann in kürzerer Form geschrieben werden, wobei zusätzlich zum Zähler jedes Bruchs (oben rechts oder oben links) ein zusätzlicher Faktor angegeben wird und keine Zwischenrechnungen geschrieben werden:

Der gemeinsame Nenner lässt sich leichter kürzen, indem man die Glieder des ersten Bruchs mit dem zweiten immanenten Anteil und die Glieder des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten multipliziert.

Beispiel. Bestimmen Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche und :

Das Produkt ihrer Nenner kann als gemeinsamer Nenner der Brüche genommen werden.

Das Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner wird verwendet, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, zu subtrahieren und zu vergleichen.

Gemeinsamer Nenner Reduktionsrechner

Dieser Rechner hilft Ihnen, gemeinsame Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen.

Geben Sie einfach zwei Fraktionen ein und klicken Sie.

5.4.5. Beispiele für die Umwandlung gewöhnlicher Brüche in den kleinsten gemeinsamen Nenner

Der kleinste gemeinsame Nenner von Kettenbrüchen ist der kleinste gemeinsame Nenner für diese Brüche. ( siehe Abschnitt "Kleinste gemeinsame Mehrfachsuche": 5.3.5. Finden Sie die kleinste Anzahl von Vielfachen (NOC) der gegebenen Zahlen).

Um den Anteil auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche finden, und dies wird der kleinste gemeinsame Nenner sein.

2) findet für jede der Fraktionen einen zusätzlichen Koeffizienten, für den der neue Nenner mit dem Namen jeder Fraktion verteilt wird. 3) Multipliziere Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor.

Beispiele. Die folgenden Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen.

Wir finden den kleinsten gemeinsamen Nenner: LCM (5; 4) = 20, da 20 die kleinste Zahl geteilt durch 5 und 4 ist.

Für die erste Aktie wird ein zusätzlicher Koeffizient 4 (20 : 5 = 4). Für die zweite Fraktion gibt es einen zusätzlichen Koeffizienten von 5 (20 : 4 = 5). Multipliziere die Zahl und den Nenner des ersten Bruchs mit 4 und den Zähler und den Nenner des zweiten Bruchs mit 5.

20 ).

Der kleinste gemeinsame Nenner für diese Brüche ist die Zahl 8, da sie durch 4 und innen teilbar ist.

Für den ersten Anteil gibt es keinen zusätzlichen Faktor (oder wir können sagen, dass er gleich eins ist), der zweite Faktor ist ein zusätzlicher Faktor 2 (8 : 4 = 2). Multipliziere Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit 2.

Online-Rechner. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht ( 8. Platz).

Diese Fraktionen sind nicht unerträglich.

Der erste Bruch wurde um 4 gekürzt und der zweite Bruch wurde um 2 gekürzt. (Siehe Beispiele zur Kürzung regulärer Brüche: Sitemap → 5.4.2.

Beispiele zur Reduzierung herkömmlicher Fraktionen). NOC-Funde (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Ein zusätzlicher Faktor für den 1. Bruch ist 5 (80 : 16 = 5). Ein zusätzlicher Faktor für den zweiten Bruch ist 4 (80 : 20 = 4).

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 5 und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit 4. Bruchangaben sind dem kleinsten gemeinsamen Nenner ( 80 ).

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von NOx (5 ; 6 und 15) = NOK (5 ; 6 und 15) = 30. Ein zusätzlicher Faktor für den ersten Bruch ist 6 (30 : 5 = 6) ist ein zusätzlicher Faktor im zweiten Teil von 5 (30 : 6 = 5), ist ein zusätzlicher Faktor für die dritte Fraktion 2 (30 : 15 = 2).

Zahl und Nenner des ersten Bruchs werden mit 6 multipliziert, Zahl und Nenner des zweiten Bruchs werden mit 5 multipliziert, Zahl und Nenner des dritten Bruchs werden mit 2 multipliziert. Den Teildaten wurde der kleinste gemeinsame Nenner gegeben 30 ).

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Kleinster gemeinsamer Nenner.

Was ist der kleinste gemeinsame Nenner?

Definition:
Kleinster gemeinsamer Nenner ist das kleinste positive Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche.

Wie kommt man auf den kleinsten gemeinsamen Nenner? Betrachten Sie zur Beantwortung dieser Frage ein Beispiel:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf den kleinsten gemeinsamen Nenner kürzen.

Lösung:
Um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner dieser Brüche finden.

Der erste Bruch hat einen Nenner gleich 20, zerlegen wir ihn in Primfaktoren.
20=2⋅5⋅2

Wir erweitern auch den zweiten Nenner des Bruchs 14 in einfache Faktoren.
14=7⋅2

LCM(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Antwort: Der kleinste gemeinsame Nenner ist 140.

Wie bringt man einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner?

Du musst den ersten Bruch \(\frac(1)(20)\) mit 7 multiplizieren, um den Nenner 140 zu erhalten.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
Und multipliziere den zweiten Bruch mit 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Regeln oder Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:

1. Es ist notwendig, die Nenner von Brüchen in Primfaktoren zu zerlegen.
2. Du musst das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für die Nenner dieser Brüche finden.
3. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner kürzen, also Zähler und Nenner des Bruchs mit einem Faktor multiplizieren.

Gemeinsamer Nenner für mehrere Brüche.

Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für mehrere Brüche?

Betrachten Sie ein Beispiel:
Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner für Brüche \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Lösung:
Zerlegen wir die Nenner 11, 15 und 22 in Primfaktoren.

Die Zahl 11 ist an sich schon eine Primzahl, also braucht man sie nicht aufzuschreiben.
Erweitern wir die Zahl 15=5⋅3
Erweitern wir die Zahl 22=11⋅2

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner 11, 15 und 22.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Wir haben den kleinsten gemeinsamen Nenner für diese Brüche gefunden. Nun bringen wir die Daten des Bruchs \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) auf einen gemeinsamen Nenner gleich 330.

\(\begin(ausrichten)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(align)\)

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "kreuzweisen" Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 12 = 96 .

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) genannt.

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b ) bezeichnet. Zum Beispiel LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist üblich. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.

Dieser Artikel erklärt, wie man den kleinsten gemeinsamen nenner findet und wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Zuerst werden die Definitionen des gemeinsamen Nenners von Brüchen und des kleinsten gemeinsamen Nenners gegeben, und es wird auch gezeigt, wie man den gemeinsamen Nenner von Brüchen findet. Das Folgende ist eine Regel zum Kürzen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und Beispiele für die Anwendung dieser Regel werden betrachtet. Abschließend werden Beispiele analysiert, wie man drei oder mehr Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

Seitennavigation.

Was heißt Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Jetzt können wir sagen, was es heißt, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen ist die Multiplikation der Zähler und Nenner gegebener Brüche mit solchen zusätzlichen Faktoren, dass Brüche mit gleichem Nenner entstehen.

Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

Jetzt ist es an der Zeit, den gemeinsamen Nenner von Brüchen zu definieren.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Nenner einiger gewöhnlicher Brüche ist jede natürliche Zahl, die durch alle Nenner dieser Brüche teilbar ist.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass diese Menge von Brüchen unendlich viele gemeinsame Nenner hat, da es unendlich viele gemeinsame Vielfache aller Nenner der ursprünglichen Menge von Brüchen gibt.

Das Bestimmen des gemeinsamen Nenners von Brüchen ermöglicht es dir, die gemeinsamen Nenner von gegebenen Brüchen zu finden. Nehmen wir beispielsweise an, dass bei gegebenen Brüchen 1/4 und 5/6 ihre Nenner 4 bzw. 6 sind. Die positiven gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind die Zahlen 12, 24, 36, 48, ... Jede dieser Zahlen ist der gemeinsame Nenner der Brüche 1/4 und 5/6.

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung des folgenden Beispiels.

Beispiel.

Ist es möglich, die Brüche 2/3, 23/6 und 7/12 auf einen gemeinsamen Nenner von 150 zu bringen?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir herausfinden, ob die Zahl 150 ein gemeinsames Vielfaches der Nenner 3, 6 und 12 ist. Überprüfen Sie dazu, ob 150 durch jede dieser Zahlen ohne Rest teilbar ist (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen sowie die Regeln und Beispiele zur Division natürlicher Zahlen mit Rest): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (rest. 6) .

So, 150 ist nicht durch 12 teilbar, also ist 150 kein gemeinsames Vielfaches von 3, 6 und 12. Daher kann die Zahl 150 kein gemeinsamer Nenner der ursprünglichen Brüche sein.

Antworten:

Es ist verboten.

Der kleinste gemeinsame Nenner, wie finde ich ihn?

In der Menge der Zahlen, die gemeinsame Nenner dieser Brüche sind, gibt es die kleinste natürliche Zahl, die als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet wird. Lassen Sie uns die Definition des kleinsten gemeinsamen Nenners dieser Brüche formulieren.

Definition.

Kleinster gemeinsamer Nenner ist die kleinste Zahl aller gemeinsamen Nenner dieser Brüche.

Bleibt noch die Frage, wie man den kleinsten gemeinsamen Teiler findet.

Da der kleinste positive gemeinsame Teiler einer bestimmten Menge von Zahlen ist, ist das LCM der Nenner dieser Brüche der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche.

Somit wird das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners von Brüchen auf die Nenner dieser Brüche reduziert. Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von 3/10 und 277/28.

Lösung.

Die Nenner dieser Brüche sind 10 und 28. Der gesuchte kleinste gemeinsame Nenner findet sich als LCM der Zahlen 10 und 28. In unserem Fall ist es einfach: da 10=2 5 und 28=2 2 7 , dann LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Antworten:

140 .

Wie bringt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner? Regel, Beispiele, Lösungen

Gemeinsame Brüche führen in der Regel zum kleinsten gemeinsamen Nenner. Jetzt schreiben wir eine Regel auf, die erklärt, wie man Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringt.

Die Regel zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner besteht aus drei Schritten:

• Finde zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche.
• Zweitens wird für jeden Bruch ein zusätzlicher Faktor berechnet, für den der kleinste gemeinsame Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.
• Drittens werden Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor multipliziert.

Wenden wir die angegebene Regel auf die Lösung des folgenden Beispiels an.

Beispiel.

Kürze die Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Lösung.

Lassen Sie uns alle Schritte des Algorithmus zum Kürzen von Brüchen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner ausführen.

Zuerst finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner, der gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 14 und 18 ist. Da 14=2 7 und 18=2 3 3 , dann LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Nun berechnen wir weitere Faktoren, mit deren Hilfe die Brüche 5/14 und 7/18 auf den Nenner 126 gebracht werden. Für den Bruch 5/14 beträgt der zusätzliche Faktor 126:14=9 und für den Bruch 7/18 beträgt der zusätzliche Faktor 126:18=7 .

Es bleibt, die Zähler und Nenner der Brüche 5/14 und 7/18 mit zusätzlichen Faktoren von 9 bzw. 7 zu multiplizieren. Wir haben und .

Damit ist die Kürzung der Brüche 5/14 und 7/18 auf den kleinsten gemeinsamen Nenner abgeschlossen. Das Ergebnis waren die Fraktionen 45/126 und 49/126.

Multiplikation "kreuz und quer"

Gemeinsame Teilermethode

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen.

Gemeinsamer Nenner von Brüchen

Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Siehe auch:

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - dieser Vorgang wird aufgerufen. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden aufgerufen.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, wenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler an. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "kreuzweisen" Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt von 8 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, heißt ihr (LCM).

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b wird mit LCM(a; b) bezeichnet. Beispiel: LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

So finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner

Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist gemeinsam. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.

Siehe auch:

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - dieser Vorgang wird aufgerufen. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden aufgerufen.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen?

Gemeinsamer Nenner, Konzept und Definition.

Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, wenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler an. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "kreuzweisen" Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt von 8 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, heißt ihr (LCM).

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b wird mit LCM(a; b) bezeichnet. Beispiel: LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist gemeinsam. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.

Siehe auch:

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - dieser Vorgang wird aufgerufen. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden aufgerufen.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner.

Schau mal:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, wenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler an. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "kreuzweisen" Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt von 8 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, heißt ihr (LCM).

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b wird mit LCM(a; b) bezeichnet. Beispiel: LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist gemeinsam. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.

Siehe auch:

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Ursprünglich wollte ich die Methoden des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Addieren und Subtrahieren von Brüchen“ aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - dieser Vorgang wird aufgerufen. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden aufgerufen.

Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
2. Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.

Multiplikation "kreuz und quer"

Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn du gerade erst anfängst, Brüche zu lernen, arbeitest du besser mit dieser Methode – so versicherst du dich gegen viele Fehler und bekommst garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:

1. Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
2. Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
3. Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, wenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler an. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!

Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen entspricht nicht unbedingt dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie dies bei der "kreuzweisen" Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt von 8 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, heißt ihr (LCM).

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b wird mit LCM(a; b) bezeichnet. Beispiel: LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist gemeinsam. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich sich die Faktorisierung der ursprünglichen Nenner herausstellte:

1. Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.

Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.

Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.