Was ist die Basis der Höhe in einer regelmäßigen Pyramide? Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich, und die Seitenflächen sind es auch. IV. Erstellen eines Algorithmus

Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich, und die Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Gegeben: PA1A2…An ist eine regelmäßige Pyramide.

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Geometrie Klasse 10

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Videolektion 2: Pyramiden-Herausforderung. Pyramidenvolumen

Videolektion 3: Pyramiden-Herausforderung. Korrekte Pyramide

Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenkanten, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; rechte Pyramide

Pyramide, ihre Eigenschaften

Pyramide- Dies ist ein dreidimensionaler Körper, der an der Basis ein Polygon hat und alle seine Flächen aus Dreiecken bestehen.

Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel, an dessen Fuß ein Kreis liegt.

Betrachten Sie die Hauptelemente der Pyramide:

Apothema ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe der Pyramidenfläche.

In der Abbildung sehen Sie die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie sehen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben in seinem Namen hat - S. Das bedeutet, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) an einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Die Strecke OS, die den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (bei Dreiecken mit dem Schnittpunkt der Höhen) verbindet, wird aufgerufen Pyramidenhöhe.

Ein Diagonalschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide verläuft, sowie eine der Diagonalen der Basis.

Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es notwendig, die Flächen jeder Fläche zu finden und zu addieren, um die Gesamtfläche der Seitenfläche zu ermitteln. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.

Die einzige Ebene in einer Pyramide, die keine Spitze hat, wird genannt Basis Pyramiden.

In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch ein beliebiges Polygon geben.

Eigenschaften:

Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, in der sie Kanten gleicher Länge hat:

• Um die Basis einer solchen Pyramide kann ein Kreis beschrieben werden. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
• Die Winkel an der Basis der Pyramide sind für jede Fläche gleich.
• Gleichzeitig können als hinreichende Bedingung dafür, dass um die Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und auch alle Kanten unterschiedlich lang sind, gleiche Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen angesehen werden .

Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Basis gleich sind, dann gelten die folgenden Eigenschaften:

• Sie werden in der Lage sein, einen Kreis um die Basis der Pyramide zu beschreiben, deren Spitze genau auf die Mitte projiziert wird.
• Zieht man bei jeder Seitenfläche die Höhe bis zur Basis, dann werden sie gleich lang.
• Um die Seitenfläche einer solchen Pyramide zu finden, reicht es aus, den Umfang der Basis zu finden und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Arten von Pyramiden.
• Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) liegt, wird eine solche Pyramide regelmäßig genannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

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Ziele:

• beweise die Eigenschaften einer Pyramide mit gleichen Kanten;
• die Fähigkeit zu entwickeln, dieses Theorem bei der Analyse der Bedingungen des Problems und der Erstellung einer Zeichnung für das Problem zu verwenden;
• Schülern die Fähigkeit zu vermitteln, dieses Theorem bei der Lösung von zwei schrittweisen Problemen anzuwenden.

I. Jeder Schüler erhält Hausaufgaben auf vorgedruckten Blättern.

Theorie: nach Lehrbuch Punkt 14.2, S. 110-111.2) und 3 Aufgaben:

1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist die Höhe der Grundfläche h, die Seitenkanten sind in einem Winkel zur Ebene der Grundfläche geneigt?. Finde die Höhe der Pyramide.

2. An der Basis der Pyramide liegt ein Dreieck mit den Seiten , ,4. Die Seitenrippen sind in einem Winkel von 45° zur Basisebene geneigt. Finde die Höhe der Pyramide.

3. Die Grundfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist gleich S. Die Seitenkanten sind in einem Winkel zur Grundebene geneigt?. Finde die Höhe der Pyramide.

II. Mündliche Arbeit nach vorgefertigten Zeichnungen.(Jedes Kind erhält Blatt A-4 mit Zeichnungen einer dreieckigen Pyramide).

2.1. Beweisen wir 3 (direkte) Sätze. Gegeben: MAVS ist eine dreieckige Pyramide, MO ist die Höhe der Pyramide.

1. Die Schüler beweisen einen „einfachen“ Satz aus einer Bedingung und einer Schlussfolgerung

2. Verwenden Sie das Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken entlang des Schenkels und der Hypotenuse

3. Sie schließen: aus der Tatsache, dass AO \u003d VO \u003d CO folgt O - der Mittelpunkt eines Kreises, der in der Nähe der Basis beschrieben wird.

4. Der Lehrer verdeutlicht den Wortlaut dieses Umstands „die Basis der Pyramide fällt mit dem Mittelpunkt des nahe der Basis umschriebenen Kreises zusammen“ oder „die Spitze der Pyramide wird in den Mittelpunkt des nahe der Basis umschriebenen Kreises projiziert.

(zu Abb.2,3). Ersetze die Bedingung des Theorems, behalte seine Konklusion. Ausgehend von den Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke kommen die Studierenden zu dem Schluss, dass es möglich ist, die Winkelgleichheit der Seitenkanten mit der Grundebene oder die Winkelgleichheit der Seitenkanten mit der Höhe des Dreiecks zu fordern Pyramide.

Aus welchen Bedingungen können wir also schließen, dass die Basis der Höhe der Pyramide mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammenfällt, der in der Nähe der Basis beschrieben wird?

2.2. Formulieren wir die umgekehrten Behauptungen. Sind diese Aussagen wahr?

Die Schüler beweisen mit Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke die umgekehrten Aussagen. Gegeben: MAVS ist eine dreieckige Pyramide, MO ist die Höhe der Pyramide, O ist der Mittelpunkt des Kreises, der nahe der Basis umschrieben wird, AO=BO=CO.

2.3. Aussage des Satzes für die n-gonale Pyramide.

Problemstellung: gilt diese Aussage für eine n-eckige Pyramide? Die Studierenden sollen drei direkte Aussagen durch Analogie beweisen.

Satz. In einer n-eckigen Pyramide mit gleichen Seitenkanten fällt die Basis der Höhe mit dem Mittelpunkt des nahe der Basis umschriebenen Kreises zusammen; die Höhe bildet mit den Seitenrippen gleiche Winkel; die Seitenrippen bilden gleiche Winkel mit der Ebene der Basis.

Abbildung 7

2.4. Arbeiten Sie nach dem Beweis des Satzes (Rückblick).

A - Die Seitenkanten der Pyramide sind gleich B - Die Seitenkanten der Pyramide bilden mit der Basisebene gleiche Winkel C - Die Seitenkanten der Pyramide bilden gleiche Winkel mit der Höhe der Pyramide M - Die Basis der Pyramide fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen, der in der Nähe der Basis beschrieben wird

Unter Berücksichtigung aller 6 einfachen Sätze werden die Schüler zum Schluss geführt 2. Der Lehrer zeigt die Aussage A (B, C, M), der Schüler formuliert 3 einfache Sätze.

III. Formulierung des Unterrichtsthemas.(Eigenschaften einer Pyramide mit gleichen Seitenkanten).

Was ist das Thema der heutigen Stunde? (Jede der Aussagen A, B, C, M kann als Thema der Lektion genommen werden).

IV. Erstellen eines Algorithmus

Gegeben: dreieckige Pyramide MAVS, MO - die Höhe der Pyramide. Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide. Algorithmus zum Lösen von zweistufigen Problemen. 1. Das Vorhandensein einer der Bedingungen (A, B, C) in der Bedingung des Problems. Aus diesen Bedingungen folgt M. 2. Lösen Sie die Basis (finden Sie den Radius des Kreises, der in der Nähe der Basis beschrieben wird). 3. Löse ein rechtwinkliges Dreieck, zum Beispiel MOA.

1. Erstellung eines Algorithmus. 2. Aktualisierung des Wissens: a) der Mittelpunkt eines Kreises, der in der Nähe der Basis umschrieben ist - der Schnittpunkt der senkrechten Winkelhalbierenden zu den Seiten des Dreiecks; b) die Lage des Mittelpunkts des umschriebenen Kreises in spitzwinkligen, stumpfwinkligen, rechtwinkligen Dreiecken; c) Formel S = .

V. Anwendung der Eigenschaften einer Pyramide mit gleichen Seitenkanten zur Problemlösung.

Aufgabe 1. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit einem Bein gleich 2. Die Seitenkanten sind in einem Winkel von 60 0 zur Basisebene geneigt. Finde die Höhe der Pyramide. Abbildung 8	1. Jeder Schüler erhält ein Blatt mit den Bedingungen der zu lösenden Aufgaben 2. Wir machen keine stereometrische Zeichnung. Vorliegen der Bedingung „B“ Wir führen das Zeichnen der Basis durch. O - die Mitte der Hypotenuse, AB \u003d 4, R \u003d 2 Wir bauen ein Dreieck AMO, wir finden MO \u003d 6 Antwort: 6
Aufgabe 2. Die Basis der Pyramide ist ein Dreieck, dessen zwei Seiten 2 und und einen Winkel von 45 0 bilden. Jede Seitenkante ist gleich . Finde die Höhe der Pyramide. Abbildung 9	Lösung. Wir arbeiten nach dem Algorithmus: 1. Das Vorhandensein der Bedingung "A". 2. Wir führen das Zeichnen der Basis durch. Nach dem Kosinussatz finden wir die dritte Seite (), was bedeutet, dass das Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig ist. O ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Hypotenuse ist 2, R = 1 3. Wir bauen ein Dreieck AMO, wir finden MO \u003d 3 Antwort: 3
Aufgabe 3 An der Basis der Pyramide liegt ein Dreieck mit den Seiten 5, 12, 13. Der Winkel zwischen der Höhe und jeder Seitenkante beträgt 45 0 . Finde die Höhe der Pyramide. Abbildung 10	Lösung. Wir arbeiten nach dem Algorithmus: 1. Das Vorhandensein der Bedingung "C" 2. Wir führen das Zeichnen der Basis durch. Nach dem Satz, der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, finden wir heraus, dass das Dreieck rechteckig ist, O der Mittelpunkt der Hypotenuse ist, AB = 13, R = 6,5 3. Wir bauen ein Dreieck AMO - gleichschenklig, wir finden MO \u003d 6.5 Antwort: 6.5
Aufgabe 4 Die Basis der Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Seiten gleich sind und einen Winkel von 120 0 bilden. Jede Seitenkante ist gleich . Finde die Höhe der Pyramide. Abbildung 11	Lösung: Wir arbeiten nach dem Algorithmus: 1. Das Vorhandensein der Bedingung "A". 2. Wir führen das Zeichnen der Basis durch. Winkel A ist stumpf, O - außerhalb des Dreiecks, AO - Mittelsenkrechte zu BC, Dreieck AOC ist gleichseitig, AB =, 3. Wir bauen ein Dreieck AMO, MO \u003d \u003d 6 Antwort: 6

VI. Zusammenfassung der Lektion beim Lösen von Problemen:

1. An der Basis der Pyramide liegt ein Trapez, die Seitenkanten sind gleich. Bestimmen Sie die Art des Trapezes (gleichschenklig).

2. An der Basis der Pyramide liegt ein Parallelogramm, die Winkel zwischen den Seitenkanten und der Ebene der Basis sind gleich. Bestimmen Sie die Art des Parallelogramms (Rechteck).

3. An der Basis der Pyramide liegt eine Raute. Die Winkel zwischen den Seitenkanten und der Höhe der Pyramide sind gleich. Finden Sie die Ecken der Raute. (90 ungefähr).

Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und da unser zukünftiger Beruf als Architektin von dieser Figur inspiriert ist, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir sprechen von der geometrischen Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Pyramiden, die sich in verschiedenen Teilen der Welt befinden

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und in Babylon gelegt, aber im alten Griechenland aktiv entwickelt. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der schon Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck dessen sein, die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Bilden Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, unter denen eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.

• Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezeichnet wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte eines regelmäßigen Polygons zu einer seiner Seiten abgesenkt wird);
• Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die oben zusammenlaufen;
• Seitenrippen ( WIE , BS , CS , DS ) - gemeinsame Seiten der Seitenflächen;
• Spitze der Pyramide (gegen S) - ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
• Höhe ( ALSO ) - ein Segment der Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide bis zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
• Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
• Base (A B C D) ist ein Polygon, zu dem die Spitze der Pyramide nicht gehört.

Pyramideneigenschaften.

1. Wenn alle Seitenkanten gleich groß sind, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• Seitenrippen bilden gleiche Winkel mit der Basisebene;
• außerdem gilt auch die Umkehrung, d.h. Wenn die Seitenkanten mit der Basisebene gleiche Winkel bilden oder wenn nahe der Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, dann haben alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Größe.

2. Wenn die Seitenflächen einen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, der den gleichen Wert hat, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• die Höhen der Seitenflächen sind gleich lang;
• Die Fläche der Seitenfläche ist ½ das Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann in der Nähe der Pyramide beschrieben werden, wenn die Basis der Pyramide ein Polygon ist, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mittelpunkte der Kanten der Pyramide verlaufen, die senkrecht zu ihnen stehen. Aus diesem Satz schließen wir, dass eine Kugel sowohl um jede dreieckige als auch um jede regelmäßige Pyramide herum beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide im 1. Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Entsprechend der Anzahl der Ecken der Basis der Pyramide werden sie in dreieckig, viereckig usw. unterteilt.

Die Pyramide wird dreieckig, viereckig, und so weiter, wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck und so weiter ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder - ein Tetraeder. Viereckig - Pentaeder und so weiter.