Machbarkeitsstudie zur Verwendung der Poisson-Verteilung. Verteilung und Poisson-Formel. Numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen X

Bei vielen praktischen Problemen hat man es mit Zufallsvariablen zu tun, die nach einem besonderen Gesetz verteilt sind, das als Poissonsches Gesetz bezeichnet wird.

Stellen Sie sich eine diskontinuierliche Zufallsvariable vor, die nur ganzzahlige, nicht negative Werte annehmen kann:

und die Folge dieser Werte ist theoretisch unbegrenzt.

Eine Zufallsvariable heißt Poisson-verteilt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen bestimmten Wert annimmt, durch die Formel ausgedrückt wird

wobei a ein positiver Wert ist, der als Parameter des Poisson-Gesetzes bezeichnet wird.

Die nach dem Gesetz von Poisson verteilte Verteilungsreihe einer Zufallsvariablen hat die Form:

Stellen wir zunächst sicher, dass die durch Formel (5.9.1) gegebene Folge von Wahrscheinlichkeiten eine Verteilungsreihe sein kann, d.h. dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich eins ist. Wir haben:

.

Auf Abb. 5.9.1 zeigt die Verteilungspolygone einer nach dem Gesetz von Poisson verteilten Zufallsvariablen, die verschiedenen Werten des Parameters entsprechen. Tabelle 8 des Anhangs listet die Werte für verschiedene auf.

Lassen Sie uns die Hauptmerkmale – mathematischer Erwartungswert und Varianz – einer nach dem Poisson-Gesetz verteilten Zufallsvariablen definieren. Per Definition der mathematischen Erwartung

.

Der erste Term der Summe (entsprechend ) ist gleich Null, daher kann die Summation von gestartet werden:

Lassen Sie uns bezeichnen ; dann

. (5.9.2)

Der Parameter ist also nichts anderes als die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen.

Um die Streuung zu bestimmen, finden wir zunächst das zweite Anfangsmoment der Größe:

Nach dem bisher Bewährten

Außerdem,

Somit ist die Streuung einer nach dem Poisson-Gesetz verteilten Zufallsvariablen gleich ihrer mathematischen Erwartung.

Diese Eigenschaft der Poisson-Verteilung wird in der Praxis häufig genutzt, um zu entscheiden, ob die Hypothese, dass eine Zufallsvariable nach dem Gesetz von Poisson verteilt ist, plausibel ist. Bestimmen Sie dazu aus Erfahrung die statistischen Eigenschaften – den mathematischen Erwartungswert und die Varianz – einer Zufallsvariablen. Wenn ihre Werte nahe beieinander liegen, kann dies als Argument für die Poisson-Verteilungshypothese dienen; ein scharfer Unterschied in diesen Merkmalen spricht dagegen gegen die Hypothese.

Bestimmen wir für eine Zufallsvariable, die nach dem Gesetz von Poisson verteilt ist, die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Wert annimmt, der nicht kleiner als ein gegebener Wert ist. Bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit:

Offensichtlich kann die Wahrscheinlichkeit als Summe berechnet werden

Es ist jedoch viel einfacher, sie aus der Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu bestimmen:

(5.9.4)

Insbesondere wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einen positiven Wert annimmt, durch die Formel ausgedrückt

(5.9.5)

Wir haben bereits erwähnt, dass viele praktische Aufgaben zu einer Poisson-Verteilung führen. Betrachten Sie eines der typischen Probleme dieser Art.

Auf der x-Achse Ox seien Punkte zufällig verteilt (Abb. 5.9.2). Nehmen Sie an, dass die zufällige Verteilung der Punkte die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Punkten auf einem Segment zu treffen, hängt nur von der Länge dieses Segments ab, nicht aber von seiner Position auf der x-Achse. Mit anderen Worten, die Punkte sind auf der x-Achse mit der gleichen mittleren Dichte verteilt. Bezeichnen wir diese Dichte (d. h. die mathematische Erwartung der Anzahl von Punkten pro Längeneinheit) als .

2. Die Punkte werden unabhängig voneinander auf der x-Achse verteilt, d.h. Die Wahrscheinlichkeit, dass die eine oder andere Anzahl von Punkten auf ein bestimmtes Segment fällt, hängt nicht davon ab, wie viele davon auf ein anderes Segment fallen, das sich nicht damit überschneidet.

3. Die Wahrscheinlichkeit, einen kleinen Bereich von zwei oder mehr Punkten zu treffen, ist im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu treffen, vernachlässigbar (diese Bedingung bedeutet die praktische Unmöglichkeit des Zusammenfallens von zwei oder mehr Punkten).

Lassen Sie uns ein bestimmtes Längensegment auf der Abszissenachse herausgreifen und eine diskrete Zufallsvariable betrachten - die Anzahl der Punkte, die auf dieses Segment fallen. Mögliche Werte der Menge werden sein

Da die Punkte unabhängig voneinander auf das Segment fallen, ist es theoretisch möglich, dass es beliebig viele davon gibt, d.h. Reihe (5.9.6) wird unbegrenzt fortgesetzt.

Lassen Sie uns beweisen, dass die Zufallsvariable das Poisson-Verteilungsgesetz hat. Dazu berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass genau Punkte auf das Segment fallen.

Lassen Sie uns zuerst ein einfacheres Problem lösen. Betrachten Sie einen kleinen Abschnitt auf der Ox-Achse und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Punkt auf diesen Abschnitt fällt. Wir werden wie folgt argumentieren. Die mathematische Erwartung der Anzahl der Punkte, die auf diesen Abschnitt fallen, ist offensichtlich gleich (weil es im Durchschnitt Punkte pro Längeneinheit gibt). Gemäß Bedingung 3 kann für ein kleines Segment die Möglichkeit vernachlässigt werden, dass zwei oder mehr Punkte darauf fallen. Daher ist die mathematische Erwartung der Anzahl der Punkte, die auf den Abschnitt fallen, ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt darauf fällt (oder, was unter unseren Bedingungen äquivalent ist, mindestens einer).

Somit können wir bis zu Infinitesimalen höherer Ordnung bei annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein (mindestens ein) Punkt auf den Ort fällt, gleich ist und die Wahrscheinlichkeit, dass keiner fällt, gleich ist.

Lassen Sie uns dies verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, genau Punkte auf dem Segment zu treffen. Teilen Sie das Segment in gleich lange Teile. Vereinbaren wir, ein elementares Segment „leer“ zu nennen, wenn es keinen einzigen Punkt enthält, und „besetzt“, wenn mindestens einer hineingefallen ist. Gemäß dem Obigen ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Segment "belegt" wird, ungefähr gleich; die Wahrscheinlichkeit, dass es "leer" sein wird, ist . Da gemäß Bedingung 2 die Treffer von Punkten in nicht überlappenden Segmenten unabhängig sind, können unsere n Segmente als unabhängige „Experimente“ betrachtet werden, bei denen das Segment jeweils mit Wahrscheinlichkeit „belegt“ werden kann. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Segmenten genau „besetzt“ sein wird. Nach dem Wiederholungssatz ist diese Wahrscheinlichkeit gleich

oder bezeichnet

(5.9.7)

Bei hinreichend großer Wahrscheinlichkeit ist diese Wahrscheinlichkeit ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit, dass genau Punkte auf das Segment fallen, da zwei oder mehr Punkte auf das Segment fallen, hat eine vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit. Um den genauen Wert von zu finden, ist es notwendig, in Ausdruck (5.9.7) an die Grenze bei zu gehen:

(5.9.8)

Lassen Sie uns den Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen umwandeln:

(5.9.9)

Der erste Bruch und der Nenner des letzten Bruchs im Ausdruck (5.9.9) gehen offensichtlich gegen Eins. Der Ausdruck hängt nicht von ab. Der Zähler des letzten Bruchs lässt sich wie folgt umrechnen:

(5.9.10)

Wann und Ausdruck (5.9.10) tendiert zu . Somit wurde bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass genau Punkte in ein Segment fallen, durch die Formel ausgedrückt wird

wo, d. h. die Größe X wird nach dem Poissonschen Gesetz mit dem Parameter verteilt.

Beachten Sie, dass die Bedeutung des Werts die durchschnittliche Anzahl von Punkten pro Segment ist.

Der Wert (die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von X einen positiven Wert annimmt) drückt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit aus, dass mindestens ein Punkt auf das Segment fällt:

Wir haben also gesehen, dass die Poisson-Verteilung auftritt, wenn einige Punkte (oder andere Elemente) unabhängig voneinander eine zufällige Position einnehmen und die Anzahl dieser Punkte, die in einen Bereich fallen, gezählt wird. In unserem Fall war eine solche „Fläche“ ein Segment auf der x-Achse. Unsere Schlussfolgerung kann jedoch leicht auf den Fall der Verteilung von Punkten in der Ebene (zufälliges flaches Punktfeld) und im Raum (zufälliges räumliches Punktfeld) erweitert werden. Das lässt sich leicht nachweisen, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1) die Punkte sind statistisch gleichmäßig im Feld mit mittlerer Dichte verteilt;

2) Punkte fallen unabhängig voneinander in nicht überlappende Bereiche;

3) Punkte erscheinen einzeln und nicht paarweise, dreifach usw., dann wird die Anzahl der Punkte, die in einen beliebigen Bereich (flach oder räumlich) fallen, gemäß dem Poissonschen Gesetz verteilt:

wobei die durchschnittliche Anzahl der Punkte ist, die in den Bereich fallen.

Für den flachen Fall

wo ist das Gebiet der Region; für räumlich

wo ist das Volumen der Region.

Beachten Sie, dass für die Poisson-Verteilung der Anzahl von Punkten, die in ein Segment oder eine Region fallen, die Bedingung der konstanten Dichte () nicht wesentlich ist. Wenn die anderen beiden Bedingungen erfüllt sind, dann findet das Poissonsche Gesetz immer noch statt, nur erhält der darin enthaltene Parameter a einen anderen Ausdruck: Er wird nicht durch einfaches Multiplizieren der Dichte mit der Länge, Fläche oder dem Volumen des Bereichs erhalten, sondern durch Integrieren die variable Dichte über einem Segment, einer Fläche oder einem Volumen. (Mehr dazu siehe Nr. 19.4)

Das Vorhandensein zufälliger Punkte, die auf einer Linie, einer Ebene oder einem Volumen verstreut sind, ist nicht die einzige Bedingung, unter der die Poisson-Verteilung auftritt. Man kann zum Beispiel beweisen, dass das Gesetz von Poisson für die Binomialverteilung einschränkend ist:

, (5.9.12)

wenn wir gleichzeitig die Anzahl der Experimente auf unendlich und die Wahrscheinlichkeit auf Null richten und ihr Produkt konstant bleibt:

Tatsächlich kann diese einschränkende Eigenschaft der Binomialverteilung wie folgt geschrieben werden:

. (5.9.14)

Aber aus Bedingung (5.9.13) folgt das

Durch Einsetzen von (5.9.15) in (5.9.14) erhalten wir die Gleichheit

, (5.9.16)

was gerade von uns bei anderer Gelegenheit bewiesen wurde.

Diese einschränkende Eigenschaft des Binomialgesetzes wird in der Praxis häufig genutzt. Nehmen wir an, dass eine große Anzahl unabhängiger Experimente durchgeführt werden, bei denen ein Ereignis jeweils eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit hat. Um dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Ereignis genau einmal eintritt, können Sie die Näherungsformel verwenden:

, (5.9.17)

wo ist der Parameter dieses Poissonschen Gesetzes, das ungefähr die Binomialverteilung ersetzt.

Aus dieser Eigenschaft des Poissonschen Gesetzes – um die Binomialverteilung für eine große Anzahl von Experimenten und eine kleine Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auszudrücken – leitet sich sein Name ab, der häufig in Lehrbüchern der Statistik verwendet wird: das Gesetz der seltenen Phänomene.

Betrachten wir einige Beispiele zur Poisson-Verteilung aus verschiedenen Praxisbereichen.

Beispiel 1: Eine automatische Telefonzentrale nimmt Anrufe mit einer durchschnittlichen Anrufdichte pro Stunde entgegen. Unter der Annahme, dass die Anzahl der Anrufe in einem beliebigen Zeitraum gemäß dem Poisson-Gesetz verteilt ist, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Anrufe in zwei Minuten an der Station ankommen.

Lösung. Die durchschnittliche Anzahl der Anrufe pro zwei Minuten beträgt:

qm Um das Ziel zu treffen, reicht mindestens ein Fragment aus, um es zu treffen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, das Ziel für eine gegebene Position des Diskontinuitätspunktes zu treffen.

Lösung. . Unter Verwendung von Formel (5.9.4) finden wir die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Fragment zu treffen:

(Um den Wert der Exponentialfunktion zu berechnen, verwenden wir Tabelle 2 des Anhangs).

Beispiel 7. Die durchschnittliche Dichte pathogener Mikroben in einem Kubikmeter Luft beträgt 100. Für eine Probe werden 2 Kubikmeter entnommen. dm Luft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Mikrobe darin gefunden wird.

Lösung. Wenn wir die Hypothese der Poisson-Verteilung der Anzahl von Mikroben in einem Volumen akzeptieren, finden wir:

Beispiel 8. 50 unabhängige Schüsse werden auf ein Ziel abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,04. Finden Sie unter Verwendung der begrenzenden Eigenschaft der Binomialverteilung (Formel (5.9.17)) ungefähr die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird: kein Projektil, ein Projektil, zwei Projektile.

Lösung. Wir haben . Gemäß Tabelle 8 der Anwendung finden wir die Wahrscheinlichkeiten.

Wie Anfragen eingingen: „Wo ist Poison? Wo sind die Aufgaben der Poisson-Formel? usw. Und damit fange ich an privater Gebrauch Poisson-Verteilung - aufgrund der hohen Nachfrage nach dem Material.

Die Aufgabe ist schmerzlich euphorisch vertraut:

Und die folgenden zwei Aufgaben unterscheiden sich grundlegend von den vorherigen:

Beispiel 4

Die Zufallsvariable unterliegt dem Gesetz von Poisson mit mathematischer Erwartung. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine gegebene Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner ist als ihre mathematische Erwartung.

Der Unterschied besteht darin, dass wir hier GENAU über die Poisson-Verteilung sprechen.

Lösung: Zufallsvariable nimmt Werte an mit Wahrscheinlichkeiten:

Durch die Bedingung, und hier ist alles einfach: Das Ereignis besteht aus drei unvereinbare Ergebnisse:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner ist als ihre mathematische Erwartung.

Antworten:

Eine ähnliche Verständnisaufgabe:

Beispiel 5

Die Zufallsvariable unterliegt dem Gesetz von Poisson mit mathematischer Erwartung. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die gegebene Zufallsvariable einen positiven Wert annimmt.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Außer, abgesondert, ausgenommen AnnäherungBinomialverteilung(Beispiele 1-3) hat die Poisson-Verteilung breite Anwendung gefunden Warteschlangentheorie für ein probabilistisches Merkmal das einfachste Ereignisstrom. Ich versuche mich kurz zu fassen:

Lassen Sie einige Systeme Anfragen entgegennehmen (Telefonanrufe, eingehende Kunden usw.). Der Anwendungsablauf wird aufgerufen das einfachste wenn es die Bedingungen erfüllt Stationarität, Mangel an Konsequenzen und gewöhnliche. Stationarität bedeutet, dass die Intensität der Anwendungen Konstante und ist unabhängig von Tageszeit, Wochentag oder anderen Zeitfenstern. Mit anderen Worten, es gibt keine „Hauptverkehrszeit“ und keine „tote Stunde“. Das Fehlen von Konsequenzen bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens neuer Anwendungen nicht von der „Vorgeschichte“ abhängt, d.h. Es gibt nicht so etwas, dass „eine Großmutter erzählte“ und andere „hineinliefen“ (oder umgekehrt flohen). Und schließlich zeichnet sich die Eigenschaft der Gewöhnlichkeit dadurch aus, dass z klein genug Zeitintervall nahezu unmöglich Erscheinen von zwei oder mehr Anwendungen. "Zwei alte Damen an der Tür?" - Nein Entschuldigung.

Lassen Sie also ein System den einfachsten Fluss von Anfragen empfangen mit mittlerer Intensität Anfragen pro Minute (pro Stunde, pro Tag oder in einem beliebigen Zeitintervall). Dann die Wahrscheinlichkeit, dass für einen bestimmten Zeitraum, das System erhält genau Anfragen, ist gleich:

Beispiel 6

Anrufe beim Taxi-Dispatcher stellen den einfachsten Poisson-Fluss mit einer durchschnittlichen Intensität von 30 Anrufen pro Stunde dar. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) in 1 min. 2-3 Anrufe werden entgegengenommen, b) innerhalb von fünf Minuten wird mindestens ein Anruf getätigt.

Lösung: Verwenden Sie die Poisson-Formel:

a) Angesichts der Stationarität des Flusses berechnen wir die durchschnittliche Anzahl von Anrufen pro 1 Minute:
Anrufe - durchschnittlich eine Minute.

Nach dem Additionssatz von Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse:
- die Wahrscheinlichkeit, dass in 1 Minute 2-3 Anrufe im Kontrollraum eingehen.

b) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der Anrufe pro fünf Minuten:

Poisson-Verteilung.

Betrachten Sie die typischste Situation, in der die Poisson-Verteilung auftritt. Lassen Sie die Veranstaltung ABER erscheint eine bestimmte Anzahl von Malen in einem festen Raumbereich (Intervall, Fläche, Volumen) oder einem Zeitraum mit konstanter Intensität. Betrachten Sie zur Sicherheit das sequentielle zeitliche Auftreten von Ereignissen, das als Ereignisfluss bezeichnet wird. Grafisch kann der Ablauf von Ereignissen durch eine Reihe von Punkten dargestellt werden, die sich auf der Zeitachse befinden.

Dies kann ein Anruffluss im Dienstleistungsbereich sein (Reparatur von Haushaltsgeräten, Anruf eines Krankenwagens usw.), ein Anruffluss an eine Telefonanlage, der Ausfall einiger Teile des Systems, radioaktiver Zerfall, Stoffstücke oder Bleche und die Anzahl der Fehler auf jedem von ihnen usw. Die Poisson-Verteilung erweist sich als am nützlichsten bei den Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, nur die Anzahl der positiven Ergebnisse („Erfolge“) zu bestimmen.

Stellen Sie sich ein Brötchen mit Rosinen vor, das in gleich große Stücke geteilt ist. Aufgrund der zufälligen Verteilung der Rosinen ist nicht zu erwarten, dass alle Scheiben gleich viele Rosinen enthalten. Wenn die durchschnittliche Anzahl der in diesen Scheiben enthaltenen Rosinen bekannt ist, gibt die Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Scheibe Rosinen enthält X=k(k= 0,1,2,...,) die Anzahl der Rosinen.

Mit anderen Worten, die Poisson-Verteilung bestimmt, wie viel einer langen Reihe von Stücken 0 oder 1 oder 2 oder so weiter enthält. Reihe von Höhepunkten.

Lassen Sie uns die folgenden Annahmen treffen.

1. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum hängt nur von der Länge dieses Zeitraums ab und nicht von seiner Position auf der Zeitachse. Dies ist die Eigenschaft der Stationarität.

2. das Eintreten von mehr als einem Ereignis in ausreichend kurzer Zeit praktisch unmöglich ist; die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses im gleichen Intervall geht bei ® 0 gegen Null. Dies ist die Eigenschaft der Gewöhnlichkeit.

3. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum hängt nicht von der Anzahl von Ereignissen ab, die in anderen Zeiträumen auftreten. Dies ist die Eigenschaft ohne Nachwirkung.

Der Ereignisfluss, der die aufgelisteten Sätze erfüllt, wird aufgerufen das einfachste.

Betrachten Sie ein ziemlich kleines Zeitintervall. Basierend auf Eigenschaft 2 kann das Ereignis in diesem Intervall einmal oder überhaupt nicht erscheinen. Bezeichnen wir die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit R, und Nichterscheinen - durch q = 1-p. Wahrscheinlichkeit R ist konstant (Eigenschaft 3) und hängt nur von der Größe ab (Eigenschaft 1). Die mathematische Erwartung der Anzahl des Auftretens des Ereignisses im Intervall ist gleich 0× q+ 1× p = p. Dann wird die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit als Intensität der Strömung bezeichnet und mit bezeichnet a, diese. a = .

Betrachten Sie ein endliches Zeitintervall t und teile es auf n Teile = . Das Auftreten von Ereignissen in jedem dieser Intervalle ist unabhängig (Eigenschaft 2). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall t bei konstanter Durchflussmenge a das Ereignis wird genau angezeigt X=k sobald es nicht angezeigt wird n–k. Da kann ein Event in jedem von n Lücken erscheinen nicht mehr als 1 Mal, dann für das Erscheinen k Zeiten auf einem Segment der Dauer t es sollte in jedem erscheinen k Intervalle von der Gesamtzahl n. Es gibt insgesamt solche Kombinationen, und die Wahrscheinlichkeit jeder ist gleich . Daher erhalten wir nach dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz für die gesuchte Wahrscheinlichkeit die bekannte Bernoulli-Formel

Diese Gleichheit wird als ungefähr geschrieben, da Eigenschaft 2 als Ausgangsprämisse bei ihrer Ableitung diente, je genauer sie ist, desto weniger . Um eine exakte Gleichheit zu erhalten, gehen wir zum Grenzwert als ® 0 über oder, was dasselbe ist, n® . Nach Austausch erhalten

P = a= und q = 1 – .

Lassen Sie uns einen neuen Parameter = einführen bei, was die durchschnittliche Anzahl der Vorkommen des Ereignisses im Intervall bedeutet t. Nach einfachen Umformungen und Grenzübergang in den Faktoren erhalten wir.

= 1, = ,

Endlich bekommen wir

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2,718... ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

Definition. Zufallswert X, die nur ganzzahlige, positive Werte 0, 1, 2, ... annimmt, hat ein Poisson-Verteilungsgesetz mit einem Parameter if

zum k = 0, 1, 2, ...

Die Poisson-Verteilung wurde vom französischen Mathematiker S.D. Poisson (1781-1840). Es dient zur Lösung von Problemen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten relativ seltener, zufälliger, voneinander unabhängiger Ereignisse pro Zeit-, Längen-, Flächen- und Volumeneinheit.

Für den Fall, dass a) groß ist und b) k= , gilt die Stirling-Formel:

Zur Berechnung nachfolgender Werte wird die rekursive Formel verwendet

P(k + 1) = P(k).

Beispiel 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 1000 Menschen an einem bestimmten Tag geboren wurden: a) keine, b) eine, c) zwei, d) drei Menschen?

Lösung. Als p= 1/365, dann q\u003d 1 - 1/365 \u003d 364/365 "1.

Dann

a) ,

b) ,

in) ,

G) .

Wenn es also Stichproben von 1000 Personen gibt, beträgt die durchschnittliche Anzahl von Personen, die an einem bestimmten Tag geboren wurden, jeweils 65; 178; 244; 223.

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Wert für die mit Wahrscheinlichkeit R Das Ereignis ist mindestens einmal aufgetreten.

Lösung. Vorfall ABER= (erscheint mindestens einmal) und = (erscheint nicht einmal). Folglich .

Von hier und .

Zum Beispiel für R= 0,5 , z R= 0,95 .

Beispiel 3. Auf Webstühlen, die von einem Weber betrieben werden, treten innerhalb einer Stunde 90 Fadenbrüche auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 4 Minuten mindestens ein Fadenbruch auftritt.

Lösung. Nach Zustand t = 4min. und die durchschnittliche Anzahl von Unterbrechungen pro Minute, woher . Die benötigte Wahrscheinlichkeit ist .

Eigenschaften. Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen, die eine Poisson-Verteilung mit einem Parameter hat, sind:

M(X) = D(X) = .

Diese Ausdrücke werden durch direkte Berechnungen erhalten:

Hier der Ersatz n = k– 1 und nutzen die Tatsache, dass .

Indem Transformationen durchgeführt werden, die denen ähneln, die bei der Ableitung verwendet wurden M(X), wir bekommen

Die Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Binomialverteilung insgesamt anzunähern n

Die Binomialverteilung gilt für Fälle, in denen eine Stichprobe mit fester Größe gezogen wurde. Die Poisson-Verteilung bezieht sich auf Fälle, in denen die Anzahl zufälliger Ereignisse tritt bei einer bestimmten Länge, Fläche, Volumen oder Zeit auf, während der bestimmende Parameter der Verteilung die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen ist , nicht die Stichprobengröße P und Erfolgsquote R. Beispielsweise die Anzahl der Abweichungen in einer Stichprobe oder die Anzahl der Abweichungen pro Produkteinheit.

Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Erfolge X hat folgende Form:

Oder wir können sagen, dass eine diskrete Zufallsvariable X nach dem Gesetz von Poisson verteilt, wenn seine möglichen Werte 0,1, 2, ...t, ...p, und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens solcher Werte wird durch die Beziehung bestimmt:

(14)

wo m oder λ ist ein positiver Wert, der als Poisson-Verteilungsparameter bezeichnet wird.

Das Poissonsche Gesetz gilt für „selten“ auftretende Ereignisse, während die Möglichkeit eines weiteren Erfolgs (z heißt "Unabhängigkeit von der Vergangenheit"). Das klassische Beispiel für die Anwendung des Poissonschen Gesetzes ist die Anzahl der Anrufe in einer Telefonzentrale während eines bestimmten Zeitintervalls. Andere Beispiele könnten die Anzahl der Tintenkleckse auf einer Seite eines schlampigen Manuskripts oder die Anzahl der Flecken auf einer Autokarosserie während des Lackierens sein. Das Poisson-Verteilungsgesetz misst die Anzahl der Fehler, nicht die Anzahl fehlerhafter Produkte.

Die Poisson-Verteilung gehorcht der Anzahl zufälliger Ereignisse, die in festen Zeitintervallen oder in einem festen Raumbereich für λ auftreten<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 Wert von P(m) mit Wachstum t durchläuft ein Maximum in der Nähe von /

Ein Merkmal der Poisson-Verteilung ist die Gleichheit der Varianz mit der mathematischen Erwartung. Poisson-Verteilungsparameter

M(x) = σ 2 = λ (15)

Dieses Merkmal der Poisson-Verteilung erlaubt uns in der Praxis zu sagen, dass die experimentell ermittelte Verteilung einer Zufallsvariablen der Poisson-Verteilung unterliegt, wenn die Stichprobenwerte des mathematischen Erwartungswerts und der Varianz annähernd gleich sind.

Das Gesetz der seltenen Ereignisse wird im Maschinenbau zur selektiven Kontrolle von Fertigprodukten verwendet, wenn gemäß den technischen Bedingungen ein bestimmter Prozentsatz an Ausschuss (meist kleiner) in der angenommenen Charge von Produkten q zulässig ist<<0.1.

Wenn die Wahrscheinlichkeit q des Ereignisses A sehr klein ist (q ≤ 0,1) und die Anzahl der Versuche groß ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A m-mal in n Versuchen auftritt, gleich

,

wobei λ = M(x) = nq

Um die Poisson-Verteilung zu berechnen, können Sie die folgenden Wiederholungsbeziehungen verwenden

und (16)

Die Poisson-Verteilung spielt eine wichtige Rolle in statistischen Qualitätssicherungsmethoden, da sie zur Annäherung von hypergeometrischen und binomialen Verteilungen verwendet werden kann.

Eine solche Näherung ist zulässig, wenn , sofern qn einen endlichen Grenzwert hat und q<0.1. Когда n →∞, a p → 0, durchschnittlich n p = t = konst.

Mit dem Gesetz der seltenen Ereignisse können Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Stichprobe von n Einsen Folgendes enthält: 0,1,2,3 usw. defekte Teile, d.h. gegeben m mal. Sie können auch die Wahrscheinlichkeit des Auftretens in einer solchen Stichprobe von m Stück fehlerhaften Teilen und mehr berechnen. Diese Wahrscheinlichkeit, basierend auf der Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten, ist gleich:

Beispiel 1. Die Charge enthält fehlerhafte Teile, deren Anteil 0,1 beträgt. 10 Teile werden sequentiell entnommen und geprüft, danach werden sie wieder der Charge zugeführt, d.h. Tests sind unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Prüfung von 10 Teilen ein defektes Teil auftaucht?

Lösung Aus der Bedingung des Problems q=0,1; n = 10; m = 1. Offensichtlich ist p = 1 – q = 0,9.

Das erhaltene Ergebnis kann auch auf den Fall zurückgeführt werden, wenn 10 Teile hintereinander entnommen werden, ohne sie wieder in die Charge zurückzuführen. Bei einer ausreichend großen Charge, beispielsweise 1000 Stück, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, Teile zu entnehmen, unwesentlich. Daher kann unter solchen Bedingungen der Ausbau eines fehlerhaften Teils als ein von den Ergebnissen früherer Prüfungen unabhängiges Ereignis betrachtet werden.

Beispiel 2 Die Charge enthält 1 % fehlerhafte Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von 50 Stück aus einer Charge 0, 1, 2, 3, 4 fehlerhafte Teile enthält?

Lösung. Hier ist q=0,01, nq=50*0,01=0,5

Um die Poisson-Verteilung effektiv als Annäherung an die Binomialverteilung anzuwenden, ist es daher notwendig, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit R war deutlich weniger q . a n p = t war in der Größenordnung von einer (oder mehreren Einheiten).

So in statistischen Qualitätssicherungsmethoden

Hypergeometrisches Gesetz geeignet für Proben jeder Größe P und jedes Maß an Inkonsistenz q ,

Binomialgesetz und Poissonsches Gesetz sind jeweils ihre Spezialfälle, vorausgesetzt, dass n/N<0,1 и

Erinnern wir uns noch einmal an die Situation, die Bernoulli-Schema genannt wurde: n unabhängige Tests, in denen jeweils ein Ereignis ABER mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können R. Dann, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass in diesen n Testveranstaltung ABER wird genau erscheinen k mal (eine solche Wahrscheinlichkeit wurde bezeichnet P n (k) ) kann mit der Bernoulli-Formel genau berechnet werden, wobei q=1− p. Allerdings mit einer großen Anzahl von Tests n Berechnungen mit der Bernoulli-Formel werden sehr umständlich, da sie zu Operationen mit sehr großen Zahlen führen. Also (wenn du dich erinnerst − Dies geschah einmal beim Studium des Bernoulli-Schemas und der Formel beim Studium des ersten Teils der Wahrscheinlichkeitstheorie "Zufällige Ereignisse") im Allgemeinen n Es wurden viel bequemere (wenn auch ungefähre) Formeln vorgeschlagen, die sich als umso genauer herausstellten, je mehr n(Poisson-Formel, lokale und integrale Moivre-Laplace-Formel). Wenn im Bernoulli-Schema die Anzahl der Experimente n groß, und die Wahrscheinlichkeit R Auftreten eines Ereignisses ABER in jedem Test klein ist, dann gibt die oben erwähnte Poisson-Formel eine gute Annäherung
, wobei der Parameter ein =n∙ p. Diese Formel führt zur Poisson-Verteilung. Lassen Sie uns genaue Definitionen geben

Diskrete Zufallsvariable X Es hat Poisson-Verteilung, wenn es die Werte übernimmt 0, 1, 2, ... mit Wahrscheinlichkeiten R 0 , R 1 , ... , die durch die Formel berechnet werden

und die Nummer a ist ein Parameter der Poisson-Verteilung. Beachten Sie, dass die möglichen Werte von r.v. X unendlich viele − sie sind alle nicht negative ganze Zahlen. Also, d.s.v X mit der Poisson-Verteilung gilt folgendes Verteilungsgesetz:

Bei der Berechnung des mathematischen Erwartungswerts (nach ihrer Definition für ein d.r.v. mit bekanntem Verteilungsgesetz) wird man nun nicht mehr endliche Summen, sondern die Summen der entsprechenden unendlichen Reihen berücksichtigen müssen (da die Tabelle des Verteilungsgesetzes unendlich viele Spalten hat ). Wenn wir die Summen dieser Reihen berechnen, dann stellt sich heraus, dass sowohl der mathematische Erwartungswert als auch die Varianz der Zufallsvariablen X mit der Poisson-Verteilung stimmt mit dem Parameter überein a diese Verteilung:

,
.

Lass uns Mode finden d(X) Poissonverteilte Zufallsvariable X. Wir wenden dieselbe Technik an, die verwendet wurde, um den Modus einer binomialverteilten Zufallsvariablen zu berechnen. Nach der Definition von Mode d(X)= k wenn die Wahrscheinlichkeit
die höchste aller Wahrscheinlichkeiten R 0 , R 1 , ... . Lassen Sie uns eine solche Nummer finden k (Dies ist eine nicht negative Ganzzahl). Mit solchen k Wahrscheinlichkeit p k muss nicht kleiner sein als die daneben liegenden Wahrscheinlichkeiten: p k −1 ≤ p k ≤ p k +1 . Durch Einsetzen der entsprechenden Formel für jede Wahrscheinlichkeit erhalten wir die Zahl k muss die doppelte Ungleichung erfüllen:

.

Wenn wir die Formeln für Fakultäten aufschreiben und einfache Transformationen durchführen, können wir bekommen, dass die linke Ungleichung ergibt k≤ ein, und rechts k≥ a −1. Also die Nummer k erfüllt die doppelte Ungleichung a −1 ≤k≤ ein, d.h. gehört zum Segment [ ein -1, ein] . Da die Länge dieses Segments offensichtlich gleich ist 1 , dann können entweder eine oder 2 ganze Zahlen hineinkommen. Wenn Zahl a Ganzzahl, dann im Segment [ ein -1, ein] gibt es 2 ganze Zahlen, die an den Enden des Segments liegen. Wenn die Nummer a keine ganze Zahl ist, dann gibt es in diesem Segment nur eine ganze Zahl.

Also, wenn die Nummer a Ganzzahl, dann der Modus der Poisson-verteilten Zufallsvariablen X nimmt 2 benachbarte Werte an: d(X)=a−1 und d(X)=a. Wenn die Nummer a keine ganze Zahl, dann hat der Mod ein Wert d(X)= k, wo k ist die einzige ganze Zahl, die die Ungleichung erfüllt a −1 ≤k≤ ein, d.h. d(X)= [a] .

Beispiel. Das Werk schickte 5000 Produkte an die Basis. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt beim Transport beschädigt wird, beträgt 0,0002. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 18 Produkte beschädigt werden? Was ist der durchschnittliche Wert beschädigter Produkte? Was ist die wahrscheinlichste Anzahl beschädigter Gegenstände und wie hoch ist ihre Wahrscheinlichkeit?