Einträge mit dem Tag „Konvertieren eines gewöhnlichen Bruchs in eine Dezimalzahl“. Stellen in Dezimalstellen. Dezimalstellen addieren und subtrahieren

Als:

± dm … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

wobei ± das Bruchzeichen ist: entweder + oder -,

, - Dezimalpunkt, der als Trennzeichen zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen der Zahl dient,

d k- Dezimalziffern.

Gleichzeitig hat die Reihenfolge der Ziffern vor dem Komma (links davon) ein Ende (wie min 1-pro Ziffer) und nach dem Komma (rechts) kann sie endlich sein (optional es dürfen überhaupt keine Ziffern nach dem Komma stehen) und unendlich.

Dezimalwert ± dm … d 1 d 0 , d -1 d -2 … ist eine reelle Zahl:

was gleich der Summe einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Termen ist.

Die Darstellung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche ist eine Verallgemeinerung der Notation ganzer Zahlen im dezimalen Zahlensystem. Die Dezimaldarstellung einer ganzen Zahl hat keine Nachkommastellen, und daher sieht diese Darstellung so aus:

± dm … d 1 d 0 ,

Und dies deckt sich mit der Aufzeichnung unserer Zahl im Dezimalzahlensystem.

Dezimal- Dies ist das Ergebnis der Division von 1 in 10, 100, 1000 und so weiter Teile. Diese Brüche sind für Berechnungen sehr praktisch, weil Sie basieren auf demselben Positionssystem, auf dem das Zählen und Notieren von ganzen Zahlen aufgebaut ist. Aus diesem Grund sind die Schreibweise und Regeln für Dezimalbrüche fast die gleichen wie für ganze Zahlen.

Beim Schreiben von Dezimalbrüchen müssen Sie den Nenner nicht markieren, er wird durch die Stelle bestimmt, die die entsprechende Zahl einnimmt. Schreiben Sie zuerst den ganzzahligen Teil der Zahl und setzen Sie dann rechts einen Dezimalpunkt. Die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt gibt die Anzahl der Zehntel an, die zweite die Anzahl der Hundertstel, die dritte die Anzahl der Tausendstel und so weiter. Die Zahlen nach dem Komma sind Nachkommastellen.

Zum Beispiel:

Einer der Vorteile von Dezimalbrüchen ist, dass sie sehr einfach in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können: Die Zahl nach dem Komma (unsere ist 5047) ist Zähler; Nenner gleich n Grad 10, wo n- die Anzahl der Dezimalstellen (wir haben diese n=4):

Wenn der Dezimalbruch keinen ganzzahligen Teil enthält, setzen wir eine Null vor das Komma:

Eigenschaften von Dezimalbrüchen.

1. Dezimalzahl ändert sich nicht, wenn rechts Nullen hinzugefügt werden:

13.6 =13.6000.

2. Die Dezimalzahl ändert sich nicht, wenn die Nullen am Ende der Dezimalstelle entfernt werden:

0.00123000 = 0.00123.

Aufmerksamkeit! Nullen, die NICHT am Ende einer Dezimalstelle stehen, dürfen nicht entfernt werden!

3. Der Dezimalbruch erhöht sich um 10, 100, 1000 und so weiter, wenn wir das Dezimalkomma jeweils auf 1-well, 2, 2 usw. nach rechts verschieben:

3,675 → 367,5 (der Bruch hat sich um das Hundertfache erhöht).

4. Der Dezimalbruch wird kleiner als zehn, einhundert, eintausend und so weiter, wenn wir das Dezimalkomma jeweils auf 1-gut, 2, 3 und so weiter nach links verschieben:

1536,78 → 1,53678 (der Bruch ist tausendmal kleiner geworden).

Arten von Dezimalzahlen.

Dezimalzahlen werden durch dividiert Finale, endlos und periodische Dezimalstellen.

Ende dezimal - dies ist ein Bruch mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen (oder sie sind gar nicht vorhanden), d.h. sieht so aus:

Eine reelle Zahl kann nur dann als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden, wenn diese Zahl rational ist und als irreduzibler Bruch geschrieben wird p/q Nenner q hat keine anderen Primteiler als 2 und 5.

Unendliche Dezimalzahl.

Enthält eine sich unendlich wiederholende Gruppe von angerufenen Ziffern Zeitraum. Der Punkt wird in Klammern geschrieben. Beispiel: 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Periodische Dezimalzahl- das ist so ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem die Ziffernfolge nach dem Komma ab einer bestimmten Stelle eine sich periodisch wiederholende Zifferngruppe ist. Mit anderen Worten, periodischer Bruch ist eine Dezimalzahl, die so aussieht:

Ein solcher Bruch wird normalerweise kurz so geschrieben:

Zahlengruppe b 1 … b l, die wiederholt wird, ist Bruchteil Zeitraum, die Anzahl der Ziffern in dieser Gruppe ist Periodenlänge.

Wenn bei einem periodischen Bruch der Punkt unmittelbar nach dem Komma kommt, dann ist der Bruch rein periodisch. Wenn zwischen dem Komma und dem 1. Punkt Zahlen stehen, dann ist der Bruch gemischt periodisch, und eine Gruppe von Nachkommastellen bis zum 1. Punktzeichen - Bruch Vorperiode.

Zum Beispiel, der Bruch 1,(23) = 1,2323… ist rein periodisch, und der Bruch 0,1(23)=0,12323… ist gemischt periodisch.

Die Haupteigenschaft periodischer Brüche, wodurch sie sich von der gesamten Menge der Dezimalbrüche unterscheiden, liegt in der Tatsache, dass periodische Brüche und nur sie rationale Zahlen darstellen. Genauer gesagt geschieht Folgendes:

Jede unendlich wiederkehrende Dezimalzahl repräsentiert eine rationale Zahl. Wenn umgekehrt eine rationale Zahl in einen unendlichen Dezimalbruch zerlegt wird, ist dieser Bruch periodisch.

Dieser Artikel ist über Dezimalstellen. Hier behandeln wir die Dezimalschreibweise von Bruchzahlen, stellen das Konzept eines Dezimalbruchs vor und geben Beispiele für Dezimalbrüche. Lassen Sie uns als Nächstes über die Ziffern von Dezimalbrüchen sprechen und die Namen der Ziffern angeben. Danach konzentrieren wir uns auf unendliche Dezimalbrüche, sagen wir auf periodische und nicht periodische Brüche. Als nächstes listen wir die Hauptaktionen mit Dezimalbrüchen auf. Abschließend legen wir die Position von Dezimalbrüchen auf dem Koordinatenstrahl fest.

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Dezimalschreibweise einer Bruchzahl

Dezimalzahlen lesen

Lassen Sie uns ein paar Worte über die Regeln zum Lesen von Dezimalbrüchen sagen.

Dezimalbrüche, die den richtigen gewöhnlichen Brüchen entsprechen, werden genauso gelesen wie diese gewöhnlichen Brüche, nur wird vorher „null ganz“ hinzugefügt. Zum Beispiel entspricht der Dezimalbruch 0,12 dem gewöhnlichen Bruch 12/100 (er lautet „zwölf Hundertstel“), daher wird 0,12 als „null Komma zwölf Hundertstel“ gelesen.

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden genauso gelesen wie diese gemischten Zahlen. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 56,002 einer gemischten Zahl, daher wird der Dezimalbruch 56,002 als „sechsundfünfzig Komma zwei Tausendstel“ gelesen.

Stellen in Dezimalstellen

Sowohl bei der Notation von Dezimalbrüchen als auch bei der Notation natürlicher Zahlen hängt der Wert jeder Ziffer von ihrer Position ab. Tatsächlich bedeutet die Zahl 3 in Dezimalzahl 0,3 drei Zehntel, in Dezimalzahl 0,0003 drei Zehntausendstel und in Dezimalzahl 30.000,152 drei Zehntausendstel. So können wir darüber reden Ziffern in Dezimalstellen, sowie über Ziffern in natürlichen Zahlen.

Die Namen der Ziffern im Dezimalbruch bis zum Dezimalpunkt stimmen vollständig mit den Namen der Ziffern in natürlichen Zahlen überein. Und die Namen der Ziffern im Dezimalbruch nach dem Komma sind aus der folgenden Tabelle ersichtlich.

Zum Beispiel steht im Dezimalbruch 37,051 die Zahl 3 an der Zehnerstelle, 7 an der Einerstelle, 0 an der Zehnerstelle, 5 an der Hunderterstelle, 1 an der Tausenderstelle.

Die Ziffern im Dezimalbruch unterscheiden sich auch im Dienstalter. Wenn wir uns in der Dezimalschreibweise von Ziffer zu Ziffer von links nach rechts bewegen, dann bewegen wir uns von Senior zu Junior-Ränge. Beispielsweise ist die Hunderterziffer älter als die Zehntelziffer und die Millionstelziffer jünger als die Hundertstelziffer. In diesem letzten Dezimalbruch können wir über die signifikantesten und am wenigsten signifikanten Ziffern sprechen. Zum Beispiel in Dezimalzahl 604,9387 Senior (höchster) die Ziffer ist die Hunderterziffer, und Junior (niedrigste)- Zehntausendster Platz.

Bei Dezimalbrüchen findet eine Auflösung in Ziffern statt. Es ist analog zur Ziffernentwicklung natürlicher Zahlen. Die Dezimalerweiterung von 45,6072 ist beispielsweise: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . Und die Eigenschaften der Addition aus der Erweiterung eines Dezimalbruchs in Ziffern ermöglichen es Ihnen, zu anderen Darstellungen dieses Dezimalbruchs zu wechseln, zum Beispiel 45,6072=45+0,6072 oder 45,6072=40,6+5,007+0,0002 oder 45,6072= 45,0072+0,6 .

Dezimalzahlen beenden

Bisher haben wir nur von Dezimalbrüchen gesprochen, in deren Aufzeichnung eine endliche Anzahl von Nachkommastellen steht. Solche Brüche werden endgültige Dezimalbrüche genannt.

Definition.

Dezimalzahlen beenden- Dies sind Dezimalbrüche, deren Aufzeichnungen eine endliche Anzahl von Zeichen (Ziffern) enthalten.

Hier sind einige Beispiele für letzte Dezimalstellen: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Allerdings kann nicht jeder gewöhnliche Bruch als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch 5/13 nicht durch einen gleichen Bruch mit einem der Nenner 10, 100, ... ersetzt werden, daher kann er nicht in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden. Wir werden mehr darüber im Theorieteil über die Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche sprechen.

Unendliche Dezimalzahlen: periodische Brüche und nicht periodische Brüche

Wenn Sie einen Dezimalbruch nach einem Dezimalpunkt schreiben, können Sie die Möglichkeit einer unendlichen Anzahl von Ziffern zulassen. In diesem Fall kommen wir zur Betrachtung der sogenannten unendlichen Dezimalbrüche.

Definition.

Endlose Dezimalstellen- Dies sind Dezimalbrüche, in deren Aufzeichnung eine unendliche Anzahl von Ziffern enthalten ist.

Es ist klar, dass wir die unendlichen Dezimalbrüche nicht vollständig schreiben können, daher beschränken sie sich bei ihrer Aufzeichnung auf nur eine bestimmte endliche Anzahl von Nachkommastellen und setzen eine Ellipse, die eine unendlich fortlaufende Folge von Ziffern anzeigt. Hier sind einige Beispiele für unendliche Dezimalbrüche: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Schaut man sich die letzten beiden endlosen Dezimalbrüche genau an, dann ist im Bruch 2,111111111 … die sich unendlich wiederholende Zahl 1 deutlich zu erkennen, und im Bruch 69,74152152152 …, ab der dritten Dezimalstelle, die sich wiederholende Zahlengruppe 1, 5 und 2 ist deutlich zu erkennen. Solche unendlichen Dezimalbrüche nennt man periodisch.

Definition.

Periodische Dezimalzahlen(oder einfach periodische Brüche) sind unendliche Dezimalbrüche, in deren Aufzeichnung ab einer bestimmten Dezimalstelle eine Ziffer oder Zifferngruppe genannt wird Bruchteil Zeitraum.

Zum Beispiel ist der Punkt des periodischen Bruchs 2,111111111… die Zahl 1, und der Punkt des Bruchs 69,74152152152… ist eine Gruppe von Zahlen wie 152.

Für unendlich periodische Dezimalbrüche wurde eine spezielle Schreibweise eingeführt. Der Kürze halber haben wir uns darauf geeinigt, den Punkt einmal zu schreiben und ihn in Klammern zu setzen. Zum Beispiel wird der periodische Bruch 2.111111111… als 2,(1) geschrieben und der periodische Bruch 69.74152152152… wird als 69.74(152) geschrieben.

Beachten Sie, dass Sie für denselben periodischen Dezimalbruch unterschiedliche Perioden angeben können. Zum Beispiel kann die periodische Dezimalzahl 0,73333… als Bruch 0,7 (3) mit einer Periode von 3 betrachtet werden, sowie als Bruch 0,7 (33) mit einer Periode von 33, und so weiter 0,7 (333), 0,7 (3333 ), ... Sie können sich auch den periodischen Bruch 0,73333 ansehen ... so: 0,733 (3), oder so 0,73 (333), usw. Um Zweideutigkeiten und Widersprüchlichkeiten zu vermeiden, vereinbaren wir hier, als Punkt eines Dezimalbruchs die kürzeste aller möglichen Folgen sich wiederholender Ziffern zu betrachten, und beginnend mit der nächsten Position zum Dezimalkomma. Das heißt, die Periode des Dezimalbruchs 0,73333… wird als Folge einer Ziffer 3 betrachtet, und die Periodizität beginnt an der zweiten Position nach dem Dezimalkomma, dh 0,73333…=0,7(3) . Ein weiteres Beispiel: Der periodische Bruch 4,7412121212… hat eine Periode von 12, die Periodizität beginnt ab der dritten Nachkommastelle, also 4,7412121212…=4,74(12) .

Unendliche periodische Dezimalbrüche erhält man, indem man gewöhnliche Brüche, deren Nenner andere Primfaktoren als 2 und 5 enthalten, in Dezimalbrüche umwandelt.

Hier sind periodische Brüche mit einer Periode von 9 zu erwähnen. Hier sind Beispiele für solche Brüche: 6.43(9) , 27,(9) . Diese Brüche sind eine andere Schreibweise für periodische Brüche mit der Periode 0, und es ist üblich, sie durch periodische Brüche mit der Periode 0 zu ersetzen. Dazu wird die Periode 9 durch die Periode 0 ersetzt und der Wert der nächsthöheren Ziffer um eins erhöht. Beispielsweise wird ein Bruch mit Punkt 9 der Form 7,24(9) durch einen periodischen Bruch mit Punkt 0 der Form 7,25(0) oder einen gleichen letzten Dezimalbruch von 7,25 ersetzt. Ein weiteres Beispiel: 4,(9)=5,(0)=5 . Die Gleichheit eines Bruchs mit einer Periode von 9 und seines entsprechenden Bruchs mit einer Periode von 0 wird leicht festgestellt, nachdem diese Dezimalbrüche durch ihre gleichen gewöhnlichen Brüche ersetzt wurden.

Schauen wir uns abschließend unendliche Dezimalzahlen genauer an, die keine sich unendlich wiederholende Ziffernfolge haben. Sie werden als nichtperiodisch bezeichnet.

Definition.

Einmalige Dezimalstellen(oder einfach nichtperiodische Brüche) sind unendliche Dezimalzahlen ohne Punkt.

Manchmal haben nichtperiodische Brüche eine ähnliche Form wie periodische Brüche, zum Beispiel ist 8.02002000200002 ... ein nichtperiodischer Bruch. In diesen Fällen sollten Sie besonders darauf achten, den Unterschied zu bemerken.

Beachten Sie, dass nichtperiodische Brüche nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden, unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche stellen irrationale Zahlen dar.

Operationen mit Dezimalstellen

Eine der Aktionen mit Dezimalstellen ist der Vergleich, und es werden auch vier Grundrechenarten definiert Operationen mit Dezimalstellen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Betrachten Sie jede der Aktionen separat mit Dezimalbrüchen.

Dezimalvergleich im Wesentlichen basierend auf einem Vergleich gewöhnlicher Brüche, die den verglichenen Dezimalbrüchen entsprechen. Das Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche ist jedoch eine ziemlich mühsame Operation, und unendliche, sich nicht wiederholende Brüche können nicht als gewöhnliche Brüche dargestellt werden, daher ist es praktisch, einen bitweisen Vergleich von Dezimalbrüchen zu verwenden. Der bitweise Vergleich von Dezimalzahlen ähnelt dem Vergleich natürlicher Zahlen. Für detailliertere Informationen empfehlen wir Ihnen, den Artikel Materialvergleich von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispielen, Lösungen zu studieren.

Kommen wir zum nächsten Schritt - Dezimalzahlen multiplizieren. Die Multiplikation von letzten Dezimalbrüchen erfolgt ähnlich wie die Subtraktion von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispielen, Lösungen zur Multiplikation mit einer Spalte natürlicher Zahlen. Bei periodischen Brüchen kann die Multiplikation auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Die Multiplikation von unendlichen nicht periodischen Dezimalbrüchen wiederum wird nach ihrer Rundung auf die Multiplikation von endlichen Dezimalbrüchen reduziert. Wir empfehlen das weitere Studium des Materials des Artikels Multiplikation von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispielen, Lösungen.

Dezimalstellen auf dem Koordinatenbalken

Zwischen Punkten und Dezimalzahlen besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung.

Lassen Sie uns herausfinden, wie Punkte auf dem Koordinatenstrahl konstruiert werden, die einem bestimmten Dezimalbruch entsprechen.

Wir können endliche Dezimalbrüche und unendliche periodische Dezimalbrüche durch ihnen gleiche gewöhnliche Brüche ersetzen und dann die entsprechenden gewöhnlichen Brüche auf dem Koordinatenstrahl konstruieren. Beispielsweise entspricht ein Dezimalbruch 1,4 einem gewöhnlichen Bruch 14/10, daher wird der Punkt mit der Koordinate 1,4 vom Ursprung in positiver Richtung um 14 Segmente entfernt, die einem Zehntel eines einzelnen Segments entsprechen.

Dezimalbrüche können auf dem Koordinatenbalken markiert werden, ausgehend von der Erweiterung dieses Dezimalbruchs in Ziffern. Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen einen Punkt mit einer Koordinate von 16.3007 erstellen, da 16.3007=16+0.3+0.0007 , dann können wir zu diesem Punkt gelangen, indem wir nacheinander 16 Einheitssegmente vom Ursprung der Koordinaten aus legen, 3 Segmente, die Länge davon gleich einem Zehntel einer Einheit, und 7 Segmente, deren Länge gleich einem Zehntausendstel eines Einheitssegments ist.

Diese Methode, Dezimalzahlen auf dem Koordinatenstrahl zu konstruieren, ermöglicht es Ihnen, dem Punkt, der einem unendlichen Dezimalbruch entspricht, so nahe zu kommen, wie Sie möchten.

Manchmal ist es möglich, einen Punkt genau darzustellen, der einer unendlichen Dezimalzahl entspricht. Zum Beispiel, , dann entspricht dieser unendliche Dezimalbruch 1,41421 ... dem Punkt des Koordinatenstrahls, der vom Ursprung um die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit einer Seite von 1 Einheitssegment entfernt ist.

Der umgekehrte Prozess zum Erhalten eines Dezimalbruchs, der einem bestimmten Punkt auf dem Koordinatenstrahl entspricht, ist der sogenannte Dezimalmaß eines Segments. Mal sehen, wie es gemacht wird.

Unsere Aufgabe sei es, vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie zu gelangen (oder sich ihm unendlich zu nähern, wenn es unmöglich ist, dorthin zu gelangen). Mit einer dezimalen Messung eines Segments können wir nacheinander eine beliebige Anzahl von Einheitssegmenten vom Ursprung verschieben, dann Segmente, deren Länge gleich einem Zehntel eines einzelnen Segments ist, dann Segmente, deren Länge gleich einem Hundertstel eines einzelnen Segments ist usw . Indem wir die Anzahl der aufgetragenen Segmente jeder Länge aufschreiben, erhalten wir den Dezimalbruch, der einem gegebenen Punkt auf dem Koordinatenstrahl entspricht.

Um beispielsweise zu Punkt M in der obigen Abbildung zu gelangen, müssen Sie 1 Einheitssegment und 4 Segmente beiseite legen, deren Länge gleich dem Zehntel der Einheit ist. Somit entspricht der Punkt M dem Dezimalbruch 1,4.

Es ist klar, dass die Punkte des Koordinatenstrahls, die bei der Dezimalmessung nicht erreicht werden können, unendlichen Dezimalbrüchen entsprechen.

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Wir haben bereits gesagt, dass Brüche sind gewöhnliche und Dezimal. Im Moment haben wir uns ein wenig mit gewöhnlichen Brüchen beschäftigt. Wir haben gelernt, dass es reguläre Brüche und unechte Brüche gibt. Wir haben auch gelernt, dass man gewöhnliche Brüche kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Und wir haben auch gelernt, dass es sogenannte gemischte Zahlen gibt, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil bestehen.

Wir haben gewöhnliche Brüche noch nicht vollständig untersucht. Es gibt viele Feinheiten und Details, die besprochen werden sollten, aber heute werden wir mit dem Studium beginnen Dezimal Brüche, da gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche oft kombiniert werden müssen. Das heißt, wenn Sie Probleme lösen, müssen Sie beide Arten von Brüchen verwenden.

Diese Lektion mag kompliziert und unverständlich erscheinen. Es ist ganz normal. Diese Art von Unterricht erfordert, dass sie studiert und nicht überflogen werden.

Unterrichtsinhalt

Mengen in Bruchform ausdrücken

Manchmal ist es praktisch, etwas in Bruchform darzustellen. Ein Zehntel Dezimeter schreibt man zum Beispiel so:

Dieser Ausdruck bedeutet, dass ein Dezimeter in zehn Teile geteilt wurde und ein Teil von diesen zehn Teilen genommen wurde:

Wie Sie in der Abbildung sehen können, ist ein Zehntel Dezimeter ein Zentimeter.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Zeigen Sie 6 cm und weitere 3 mm in Zentimetern in Bruchform an.

Es ist also erforderlich, 6 cm und 3 mm in Zentimetern auszudrücken, jedoch in Bruchform. Wir haben schon 6 ganze Zentimeter:

aber es sind noch 3 millimeter übrig. Wie zeigt man diese 3 Millimeter in Zentimetern an? Fraktionen kommen zur Rettung. 3 Millimeter sind ein Drittel eines Zentimeters. Und der dritte Teil eines Zentimeters wird als cm geschrieben

Ein Bruch bedeutet, dass ein Zentimeter in zehn gleiche Teile geteilt wurde und von diesen zehn Teilen drei Teile genommen wurden (drei von zehn).

Als Ergebnis haben wir sechs ganze Zentimeter und drei Zehntel Zentimeter:

In diesem Fall zeigt 6 die Anzahl der ganzen Zentimeter und der Bruch die Anzahl der Zentimeterbruchteile. Dieser Bruch wird gelesen als „sechs Komma und drei Zehntel Zentimeter“.

Brüche, in deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 stehen, können ohne Nenner geschrieben werden. Schreiben Sie zuerst den ganzzahligen Teil und dann den Zähler des Bruchteils. Der ganzzahlige Teil wird durch ein Komma vom Zähler des Bruchteils getrennt.

Schreiben wir zum Beispiel ohne Nenner. Dazu schreiben wir zunächst den ganzen Teil auf. Der ganzzahlige Teil ist die Zahl 6. Diese Zahl schreiben wir zuerst auf:

Der ganze Teil wird aufgenommen. Setzen Sie unmittelbar nach dem Schreiben des gesamten Teils ein Komma:

Und jetzt schreiben wir den Zähler des Bruchteils auf. Bei einer gemischten Zahl ist der Zähler des Bruchteils die Zahl 3. Wir schreiben die Drei nach dem Komma:

Jede Zahl, die in dieser Form dargestellt wird, wird aufgerufen Dezimal.

Daher können Sie 6 cm und weitere 3 mm in Zentimetern mit einem Dezimalbruch anzeigen:

6,3cm

Es wird so aussehen:

Tatsächlich sind Dezimalzahlen die gleichen gemeinsamen Brüche und gemischten Zahlen. Die Besonderheit solcher Brüche besteht darin, dass der Nenner ihres Bruchteils die Zahlen 10, 100, 1000 oder 10000 enthält.

Wie eine gemischte Zahl hat eine Dezimalzahl einen ganzzahligen Teil und einen Bruchteil. Bei einer gemischten Zahl ist beispielsweise der ganzzahlige Teil 6 und der Bruchteil .

Beim Dezimalbruch 6.3 ist der ganzzahlige Teil die Zahl 6 und der Bruchteil der Zähler des Bruchs, also die Zahl 3.

Es kommt auch vor, dass gewöhnliche Brüche in deren Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 ohne ganzzahligen Teil stehen. Beispielsweise wird ein Bruch ohne ganzzahligen Teil angegeben. Um einen solchen Bruch als Dezimalzahl zu schreiben, notieren Sie zuerst 0, setzen Sie dann ein Komma und notieren Sie den Zähler des Bruchteils. Einen Bruch ohne Nenner würde man so schreiben:

Liest sich wie „Null Komma fünf Zehntel“.

Konvertieren Sie gemischte Zahlen in Dezimalzahlen

Wenn wir gemischte Zahlen ohne Nenner schreiben, wandeln wir sie in Dezimalzahlen um. Beim Umwandeln von gewöhnlichen Brüchen in Dezimalbrüche gibt es ein paar Dinge, die du wissen musst, über die wir jetzt sprechen werden.

Nachdem der ganzzahlige Teil geschrieben ist, muss unbedingt die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils gezählt werden, da die Anzahl der Nullen im Bruchteil und die Anzahl der Nachkommastellen im Dezimalbruch gleich sein müssen . Was bedeutet das? Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Zuerst

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und der Dezimalbruch ist fertig, aber Sie müssen auf jeden Fall die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils zählen.

Also zählen wir die Anzahl der Nullen im Bruchteil der gemischten Zahl. Der Nenner des Bruchteils hat eine Null. Im Dezimalbruch nach dem Dezimalpunkt steht also eine Ziffer und diese Zahl ist der Zähler des Bruchteils der gemischten Zahl, dh der Zahl 2

Somit wird die gemischte Zahl, wenn sie in einen Dezimalbruch übersetzt wird, zu 3,2.

Diese Dezimalzahl wird wie folgt gelesen:

"Drei ganze zwei Zehntel"

"Zehntel", weil der Bruchteil der gemischten Zahl die Zahl 10 enthält.

Beispiel 2 Konvertiere gemischte Zahlen in Dezimalzahlen.

Wir schreiben den ganzen Teil auf und setzen ein Komma:

Und Sie könnten sofort den Zähler des Bruchteils aufschreiben und den Dezimalbruch 5,3 erhalten, aber die Regel besagt, dass nach dem Komma so viele Ziffern stehen sollten, wie Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl sind. Und wir sehen, dass im Nenner des Bruchteils zwei Nullen stehen. In unserem Dezimalbruch nach dem Komma sollten also zwei Ziffern stehen, nicht eine.

In solchen Fällen muss der Zähler des Bruchteils leicht modifiziert werden: Fügen Sie eine Null vor dem Zähler hinzu, dh vor der Zahl 3

Jetzt können Sie diese gemischte Zahl in eine Dezimalzahl umwandeln. Wir schreiben den ganzen Teil auf und setzen ein Komma:

Und schreibe den Zähler des Bruchteils:

Der Dezimalbruch 5,03 lautet wie folgt:

„Fünf Komma drei Hundertstel“

„Hundertstel“, weil der Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl die Zahl 100 ist.

Beispiel 3 Konvertiere gemischte Zahlen in Dezimalzahlen.

Aus den vorherigen Beispielen haben wir gelernt, dass, um eine gemischte Zahl erfolgreich in eine Dezimalzahl umzuwandeln, die Anzahl der Stellen im Zähler des Bruchteils und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils gleich sein müssen.

Bevor eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umgewandelt wird, muss ihr Bruchteil leicht modifiziert werden, nämlich um sicherzustellen, dass die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils gleich sind gleich.

Zunächst betrachten wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es drei Nullstellen gibt:

Unsere Aufgabe ist es, drei Ziffern im Zähler des Bruchteils zu organisieren. Wir haben bereits eine Ziffer - das ist die Nummer 2. Es müssen noch zwei weitere Ziffern hinzugefügt werden. Sie werden zwei Nullen sein. Fügen Sie sie vor der Zahl 2 hinzu. Dadurch werden die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Ziffern im Zähler gleich:

Jetzt können wir diese gemischte Zahl in eine Dezimalzahl umwandeln. Wir schreiben den ganzen Teil zuerst auf und setzen ein Komma:

und schreibe sofort den Zähler des Bruchteils auf

3,002

Wir sehen, dass die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl gleich sind.

Die Dezimalzahl 3,002 lautet wie folgt:

"Drei ganze, zwei Tausendstel"

„Tausendstel“, weil der Nenner des Bruchteils der gemischten Zahl die Zahl 1000 ist.

Gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Gewöhnliche Brüche, bei denen der Nenner 10, 100, 1000 oder 10000 ist, können auch in Dezimalbrüche umgewandelt werden. Da ein gewöhnlicher Bruch keinen ganzzahligen Teil hat, schreibe zuerst 0 auf, setze dann ein Komma und notiere den Zähler des Bruchteils.

Auch hier müssen die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Stellen im Zähler gleich sein. Daher sollten Sie vorsichtig sein.

Beispiel 1

Der ganzzahlige Teil fehlt, also schreiben wir zuerst 0 und setzen ein Komma:

Betrachten Sie nun die Anzahl der Nullen im Nenner. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler hat eine Ziffer. Du kannst den Dezimalbruch also getrost fortsetzen, indem du die Zahl 5 nach dem Komma schreibst

Beim resultierenden Dezimalbruch 0,5 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Der Bruch ist also richtig.

Der Dezimalbruch 0,5 lautet wie folgt:

"Nullpunkt, fünf Zehntel"

Beispiel 2 Konvertieren Sie gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen.

Der ganze Teil fehlt. Wir schreiben zuerst 0 und setzen ein Komma:

Betrachten Sie nun die Anzahl der Nullen im Nenner. Wir sehen, dass es zwei Nullen gibt. Und der Zähler hat nur eine Ziffer. Um die Anzahl der Ziffern und die Anzahl der Nullen gleich zu machen, fügen Sie eine Null im Zähler vor der Zahl 2 hinzu. Dann nimmt der Bruch die Form an. Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Stellen im Zähler gleich. So können Sie die Dezimalzahl fortsetzen:

Beim resultierenden Dezimalbruch 0,02 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Der Bruch ist also richtig.

Der Dezimalbruch 0,02 lautet wie folgt:

"Nullpunkt, zwei Hundertstel."

Beispiel 3 Konvertieren Sie gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen.

Wir schreiben 0 und setzen ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs. Wir sehen, dass es fünf Nullen und nur eine Ziffer im Zähler gibt. Um die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Stellen im Zähler gleich zu machen, müssen Sie im Zähler vor der Zahl 5 vier Nullen hinzufügen:

Jetzt sind die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Stellen im Zähler gleich. Sie können also die Dezimalzahl fortsetzen. Wir schreiben den Zähler des Bruchs nach dem Komma auf

Beim resultierenden Dezimalbruch 0,00005 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Der Bruch ist also richtig.

Der Dezimalbruch 0,00005 lautet wie folgt:

"Nullpunkt, fünf Hunderttausendstel."

Unechte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist. Es gibt unechte Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 oder 10000. Solche Brüche können in Dezimalbrüche umgewandelt werden. Aber vor der Umwandlung in einen Dezimalbruch müssen solche Brüche einen ganzzahligen Teil haben.

Beispiel 1

Der Bruch ist ein unechter Bruch. Um einen solchen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, müssen Sie zuerst seinen ganzzahligen Teil auswählen. Wir erinnern uns, wie man den ganzen Teil von unechten Brüchen auswählt. Wenn Sie es vergessen haben, empfehlen wir Ihnen, zu ihm zurückzukehren und es zu studieren.

Wählen wir also den ganzzahligen Teil im unechten Bruch aus. Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Division bedeutet - in diesem Fall die Zahl 112 durch die Zahl 10

Schauen wir uns dieses Bild an und bauen eine neue gemischte Nummer zusammen, wie einen Kinderbaukasten. Die Zahl 11 ist der ganzzahlige Teil, die Zahl 2 ist der Zähler des Bruchteils, die Zahl 10 ist der Nenner des Bruchteils.

Wir haben eine gemischte Nummer. Konvertieren wir es in eine Dezimalzahl. Und wir wissen bereits, wie man solche Zahlen in Dezimalbrüche übersetzt. Zuerst schreiben wir den ganzen Teil auf und setzen ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils. Wir sehen, dass es eine Null gibt. Und der Zähler des Bruchteils hat eine Ziffer. Das bedeutet, dass die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Ziffern im Zähler des Bruchteils gleich sind. Das gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Bruchteils gleich nach dem Komma zu schreiben:

Beim resultierenden Dezimalbruch 11.2 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Der Bruch ist also richtig.

Das bedeutet, dass ein unechter Bruch, wenn er in einen Dezimalbruch umgewandelt wird, zu 11,2 wird

Dezimal 11.2 lautet wie folgt:

"Elf ganze, zwei Zehntel."

Beispiel 2 Unechten Bruch in Dezimalzahl umwandeln.

Dies ist ein unechter Bruch, da der Zähler größer als der Nenner ist. Aber es kann in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, da der Nenner die Zahl 100 ist.

Zunächst wählen wir den ganzzahligen Teil dieses Bruchs aus. Teilen Sie dazu 450 durch 100 durch eine Ecke:

Lassen Sie uns eine neue gemischte Nummer sammeln - wir bekommen . Und wir wissen bereits, wie man gemischte Zahlen in Dezimalbrüche übersetzt.

Wir schreiben den ganzen Teil auf und setzen ein Komma:

Jetzt zählen wir die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchteils und die Anzahl der Stellen im Zähler des Bruchteils. Wir sehen, dass die Anzahl der Nullen im Nenner und die Anzahl der Stellen im Zähler gleich sind. Das gibt uns die Möglichkeit, den Zähler des Bruchteils gleich nach dem Komma zu schreiben:

Beim resultierenden Dezimalbruch 4,50 sind die Anzahl der Nachkommastellen und die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruchs gleich. Der Bruch wird also richtig übersetzt.

Der unechte Bruch wird also, wenn er in einen Dezimalbruch umgewandelt wird, zu 4,50

Wenn beim Lösen von Aufgaben Nullen am Ende des Dezimalbruchs stehen, können diese verworfen werden. Lassen wir die Null in unserer Antwort weg. Dann bekommen wir 4,5

Dies ist eine der interessanten Eigenschaften von Dezimalzahlen. Es liegt daran, dass die Nullen, die am Ende des Bruchs stehen, diesem Bruch kein Gewicht verleihen. Mit anderen Worten, die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 sind gleich. Lassen Sie uns ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen:

4,50 = 4,5

Es stellt sich die Frage: Warum passiert das? Schließlich sehen 4,50 und 4,5 wie unterschiedliche Brüche aus. Das ganze Geheimnis liegt in der grundlegenden Eigenschaft des Bruchs, die wir zuvor untersucht haben. Wir werden versuchen zu beweisen, warum die Dezimalbrüche 4,50 und 4,5 gleich sind, aber nachdem wir das nächste Thema studiert haben, das "Umwandeln eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl" heißt.

Konvertierung von Dezimalzahlen in gemischte Zahlen

Jeder Dezimalbruch kann wieder in eine gemischte Zahl umgewandelt werden. Dazu reicht es aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 6,3 in eine gemischte Zahl umwandeln. 6.3 sind sechs ganze Punkte und drei Zehntel. Wir schreiben zuerst sechs ganze Zahlen auf:

und die nächsten drei Zehntel:

Beispiel 2 Konvertieren Sie die Dezimalzahl 3,002 in eine gemischte Zahl

3,002 sind drei ganze Zahlen und zwei Tausendstel. Schreiben Sie zuerst drei ganze Zahlen auf.

und als nächstes schreiben wir zwei Tausendstel:

Beispiel 3 Konvertieren Sie die Dezimalzahl 4,50 in eine gemischte Zahl

4,50 sind vier Komma und fünfzig Hundertstel. Schreiben Sie vier ganze Zahlen auf

und die nächsten fünfzig Hundertstel:

Erinnern wir uns übrigens an das letzte Beispiel aus dem vorherigen Thema. Wir haben gesagt, dass die Dezimalstellen 4,50 und 4,5 gleich sind. Wir haben auch gesagt, dass Null verworfen werden kann. Versuchen wir zu beweisen, dass dezimal 4,50 und 4,5 gleich sind. Dazu wandeln wir beide Dezimalbrüche in gemischte Zahlen um.

Nach der Umwandlung in eine gemischte Zahl wird die Dezimalzahl 4,50 zu , und die Dezimalzahl 4,5 wird zu

Wir haben zwei gemischte Zahlen und . Wandle diese gemischten Zahlen in unechte Brüche um:

Jetzt haben wir zwei Brüche und . Es ist an der Zeit, sich an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs zu erinnern, die besagt, dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (oder dividiert) werden.

Teilen wir den ersten Bruch durch 10

Erhalten, und das ist der zweite Bruchteil. Also und sind einander gleich und haben denselben Wert:

Versuchen Sie zuerst, 450 durch 100 auf einem Taschenrechner zu dividieren, und dann 45 durch 10. Eine lustige Sache wird funktionieren.

Dezimalbruch in gewöhnlichen Bruch umwandeln

Jeder Dezimalbruch kann wieder in einen gewöhnlichen Bruch umgewandelt werden. Dazu reicht es wiederum aus, Dezimalbrüche lesen zu können. Lassen Sie uns zum Beispiel 0,3 in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln. 0,3 ist null und drei Zehntel. Wir schreiben zuerst null ganze Zahlen:

und neben drei Zehntel 0 . Null wird traditionell nicht aufgeschrieben, daher wird die endgültige Antwort nicht 0 sein, sondern einfach.

Beispiel 2 Wandeln Sie die Dezimalzahl 0,02 in einen gewöhnlichen Bruch um.

0,02 ist null und zwei Hundertstel. Wir schreiben keine Null auf, also schreiben wir gleich zwei Hundertstel auf

Beispiel 3 Wandeln Sie 0,00005 in einen Bruch um

0,00005 ist null und fünf Hunderttausendstel. Null wird nicht aufgeschrieben, also schreiben wir gleich fünfhunderttausendstel auf

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Brüche in der Form 0,8 geschrieben; 0,13; 2,856; 5.2; 0,04 heißt dezimal. Tatsächlich sind Dezimalbrüche eine vereinfachte Darstellung gewöhnlicher Brüche. Diese Notation ist für alle Brüche geeignet, deren Nenner 10, 100, 1000 usw. sind.

Betrachten Sie Beispiele (0,5 wird gelesen als null Komma fünf);

(0,15 wird gelesen als null Komma fünfzehn Hundertstel);

(5.3 wird gelesen als fünf Komma drei).

Beachten Sie, dass bei der Notation eines Dezimalbruchs ein Komma den ganzzahligen Teil der Zahl vom Bruchteil trennt, der ganzzahlige Teil des korrekten Bruchs ist 0. Die Notation des Bruchteils des Dezimalbruchs enthält so viele Ziffern wie dort sind Nullen im Nenner des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Betrachten Sie ein Beispiel, , , .

In einigen Fällen kann es notwendig sein, eine natürliche Zahl als Dezimalbruch zu betrachten, bei dem der Bruchteil gleich Null ist. Es ist üblich, das aufzuschreiben, 5 = 5,0; 245 = 245,0 und so weiter. Beachten Sie, dass in der Dezimalschreibweise einer natürlichen Zahl die Einheit der niedrigstwertigen Ziffer zehnmal kleiner ist als die Einheit der benachbarten höchstwertigen Ziffer. Dezimalbrüche haben die gleiche Eigenschaft. Daher kommt direkt nach dem Komma die zehnte Stelle, dann die hundertste Stelle, dann die tausendste Stelle und so weiter. Unten sind die Namen der Ziffern der Zahl 31,85431, die ersten beiden Spalten sind der ganzzahlige Teil, die restlichen Spalten sind der Bruchteil.

Dieser Bruch wird als einunddreißig Komma fünfundachtzigtausendvierhunderteinunddreißighunderttausendstel gelesen.

Dezimalstellen addieren und subtrahieren

Die erste Möglichkeit besteht darin, Dezimalzahlen in Commons umzuwandeln und sie zu addieren.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, ist diese Methode sehr unpraktisch und es ist besser, die zweite Methode zu verwenden, die korrekter ist, ohne Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. So addieren Sie zwei Dezimalstellen:

• gleicht die Anzahl der Nachkommastellen in den Termen aus;
• schreiben Sie die Begriffe so untereinander, dass jede Ziffer des zweiten Begriffs unter der entsprechenden Ziffer des ersten Begriffs steht;
• addieren Sie die resultierenden Zahlen auf die gleiche Weise wie das Addieren natürlicher Zahlen;
• setzen Sie ein Komma unter die Kommas in den Bedingungen in der resultierenden Menge.

Betrachten Sie Beispiele:

• ausgleichen in der reduzierten und subtrahierten Anzahl der Nachkommastellen;
• schreibe den Subtrahend unter den Minuend, sodass jedes Bit des Subtrahend unter dem entsprechenden Bit des Minuend steht;
• subtrahieren wie natürliche Zahlen subtrahiert werden;
• setzen Sie ein Komma unter die Kommas im Minuend und subtrahend in der resultierenden Differenz.

Betrachten Sie Beispiele:

In den oben diskutierten Beispielen ist zu sehen, dass die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Bit für Bit durchgeführt wurde, also auf die gleiche Weise, wie wir ähnliche Operationen mit natürlichen Zahlen durchgeführt haben. Dies ist der Hauptvorteil der Dezimalschreibweise für Brüche.

Dezimale Multiplikation

Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, muss das Komma in diesem Bruch jeweils nach rechts verschoben werden, um 1, 2, 3 usw., die Zahlen. Wenn also das Komma um 1, 2, 3 usw. nach rechts verschoben wird, erhöht sich der Bruch jeweils um 10, 100, 1000 usw. So multiplizieren Sie zwei Dezimalzahlen:

• multipliziere sie als natürliche Zahlen und ignoriere die Kommas;
• Trennen Sie im resultierenden Produkt so viele Ziffern mit einem Komma rechts, wie in beiden Faktoren zusammen nach den Kommas stehen.

Es gibt Fälle, in denen das Produkt weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen, die erforderliche Anzahl von Nullen wird links vor diesem Produkt hinzugefügt, und dann wird das Komma um die erforderliche Anzahl von Ziffern nach links verschoben.

Betrachten Sie Beispiele: 2 * 4 = 8, dann 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, dann 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Es gibt Fälle, in denen einer der Faktoren gleich 0,1 ist; 0,01; 0,001 usw., ist es bequemer, die folgende Regel zu verwenden.

• Um eine Dezimalzahl mit 0,1 zu multiplizieren; 0,01; 0,001 usw. muss das Komma in diesem Dezimalbruch jeweils um 1, 2, 3 usw. nach links verschoben werden.

Betrachten Sie Beispiele: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Die Multiplikationseigenschaften natürlicher Zahlen gelten auch für Dezimalbrüche.

• ab=ba- Kommutativgesetz der Multiplikation;
• (ab)c = a(bc)- assoziative Eigenschaft der Multiplikation;
• a (b + c) = ab + ac ist das Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition.

Dezimalteilung

Das ist bekannt, wenn wir eine natürliche Zahl dividieren a zu einer natürlichen Zahl b bedeutet, eine solche natürliche Zahl zu finden c, was, wenn multipliziert mit b gibt Nummer a. Diese Regel bleibt wahr, wenn mindestens eine der Zahlen a, b, c ist eine Dezimalzahl.

Betrachten Sie ein Beispiel: Sie möchten 43,52 durch 17 Ecken teilen und das Komma ignorieren. In diesem Fall sollte das Komma im Privat unmittelbar vor der ersten Ziffer nach dem Dezimalpunkt im Dividenden verwendet werden.

Es gibt Fälle, in denen der Dividende kleiner als der Divisor ist, dann ist der ganzzahlige Teil des Quotienten gleich Null. Betrachten Sie ein Beispiel:

Schauen wir uns ein weiteres interessantes Beispiel an.

Der Divisionsprozess wird gestoppt, weil die Zahlen des Dividenden abgelaufen sind und der Rest keine Null erhalten hat. Es ist bekannt, dass sich ein Dezimalbruch nicht ändert, wenn ihm rechts beliebig viele Nullen zugeordnet werden. Dann wird klar, dass die Zahlen der Dividende nicht enden können.

Um einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, ist es notwendig, das Komma in diesem Bruch um 1, 2, 3 usw. Zahlen nach links zu verschieben. Betrachten Sie ein Beispiel: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Wenn der Dividende und der Divisor gleichzeitig um 10, 100, 1000 usw. erhöht werden, ändert sich der Quotient nicht.

Betrachten wir ein Beispiel: 39,44: 1,6 = 24,65 Erhöhen wir den Dividenden und den Divisor um das 10-fache 394,4: 16 = 24,65 Es ist fair anzumerken, dass es im zweiten Beispiel einfacher ist, einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren.

Um eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie:

• die Kommas im Dividenden und im Divisor um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie sie nach dem Komma im Divisor enthalten sind;
• durch eine natürliche Zahl dividieren.

Betrachten Sie ein Beispiel: 23,6: 0,02 Beachten Sie, dass der Divisor zwei Dezimalstellen hat, also multiplizieren wir beide Zahlen mit 100 und erhalten 2360: 2 = 1180. Wir teilen das Ergebnis durch 100 und erhalten die Antwort 11,80 oder 23,6: 0. 02 = 11,8.

Dezimalvergleich

Es gibt zwei Möglichkeiten, Dezimalzahlen zu vergleichen. Methode eins: Sie müssen zwei Dezimalbrüche 4,321 und 4,32 vergleichen, die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen und Stück für Stück mit dem Vergleich beginnen, Zehntel mit Zehntel, Hundertstel mit Hundertstel usw. Als Ergebnis erhalten wir 4,321\u003e 4,320.

Die zweite Möglichkeit zum Vergleichen von Dezimalbrüchen erfolgt durch Multiplikation, multiplizieren Sie das obige Beispiel mit 1000 und vergleichen Sie 4321\u003e 4320. Welche Methode bequemer ist, wählt jeder für sich.

Anweisung

Lerne Dezimalzahlen zu übersetzen Brüche in gewöhnlich. Zählen Sie, wie viele Zeichen durch ein Komma getrennt sind. Eine Ziffer rechts vom Dezimalpunkt bedeutet, dass der Nenner 10 ist, zwei Ziffern sind 100, drei sind 1000 und so weiter. Zum Beispiel dezimal 6,8 als „sechs Komma acht“. Schreiben Sie beim Umrechnen zuerst die Anzahl der ganzen Einheiten - 6. Schreiben Sie in den Nenner 10. Die Zahl 8 wird im Zähler stehen. Es stellt sich heraus, dass 6,8 \u003d 6 8/10. Denken Sie an die Abkürzungsregeln. Wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilbar sind, kann der Bruch durch einen gemeinsamen Teiler gekürzt werden. In diesem Fall ist diese Zahl 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Versuchen Sie, Dezimalstellen hinzuzufügen Brüche. Wenn Sie dies in einer Spalte tun, dann seien Sie vorsichtig. Die Ziffern aller Zahlen müssen streng untereinander stehen - unter dem Komma. Die Regeln für die Addition sind genau die gleichen wie für die Operation mit . Fügen Sie zur gleichen Zahl 6,8 einen weiteren Dezimalbruch hinzu - zum Beispiel 7,3. Schreibe ein Tripel unter eine Acht, ein Komma unter ein Komma und eine Sieben unter eine Sechs. Beginnen Sie mit der Addition ab der letzten Ziffer. 3+8=11, das heißt, 1 aufschreiben, 1 merken. Dann addiere 6 + 7, erhalte 13. Addiere, was dir im Kopf geblieben ist, und schreibe das Ergebnis auf - 14,1.

Die Subtraktion erfolgt auf die gleiche Weise. Schreiben Sie die Ziffern untereinander, ein Komma - unter einem Komma. Konzentrieren Sie sich immer darauf, besonders wenn die Anzahl der Ziffern danach in der reduzierten weniger ist als in der subtrahierten. Subtrahieren Sie von einer bestimmten Zahl, z. B. 2,139. Schreibe die zwei unter die sechs, die eine unter die acht, die restlichen zwei Zahlen unter die folgenden Ziffern, die mit Nullen bezeichnet werden können. Es stellt sich heraus, dass der Minuend nicht 6,8, sondern 6,800 ist. Nach Abschluss dieser Aktion erhalten Sie insgesamt 4.661.

Operationen mit negativen Zahlen werden auf die gleiche Weise durchgeführt wie mit Zahlen. Beim Addieren wird das Minus aus der Klammer genommen, die angegebenen Zahlen stehen in Klammern und ein Plus wird dazwischen gesetzt. Als Ergebnis stellt sich heraus. Das heißt, wenn Sie -6,8 und -7,3 addieren, erhalten Sie das gleiche Ergebnis von 14,1, jedoch mit einem "-" davor. Ist der Subtrahend größer als der Minuend, dann wird auch das Minus aus der Klammer genommen, die kleinere wird von der größeren Zahl subtrahiert. Subtrahieren Sie -7,3 von 6,8. Transformieren Sie den Ausdruck wie folgt. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.

Dezimalzahlen multiplizieren Brüche, vergiss das Komma für eine Weile. Multiplizieren Sie sie so, bevor Sie ganze Zahlen sind. Zählen Sie danach die Anzahl der Stellen rechts nach dem Komma in beiden Faktoren. Trennen Sie die gleiche Anzahl von Zeichen in der Arbeit. Die Multiplikation von 6,8 und 7,3 ergibt 49,64. Das heißt, rechts vom Komma haben Sie 2 Ziffern, während im Multiplikator und im Multiplikator jeweils eine vorhanden war.

Teilen Sie den gegebenen Bruch durch eine ganze Zahl. Diese Aktion wird auf die gleiche Weise wie bei ganzen Zahlen ausgeführt. Die Hauptsache ist, das Komma nicht zu vergessen und 0 am Anfang zu setzen, wenn die Anzahl der ganzzahligen Einheiten nicht durch einen Teiler teilbar ist. Versuchen Sie zum Beispiel, dieselbe 6,8 durch 26 zu teilen. Setzen Sie 0 an den Anfang, weil 6 kleiner als 26 ist. Trennen Sie es mit einem Komma, Zehntel und Hundertstel gehen weiter. Das Ergebnis beträgt etwa 0,26. Tatsächlich wird in diesem Fall ein unendlicher nichtperiodischer Bruch erhalten, der auf den gewünschten Genauigkeitsgrad gerundet werden kann.

Nutzen Sie beim Teilen zweier Dezimalbrüche die Eigenschaft, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Sie den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multiplizieren. Das heißt, transformieren Sie beide Brüche in ganze Zahlen, je nachdem wie viele Nachkommastellen sind. Wenn Sie 6,8 durch 7,3 teilen möchten, reicht es aus, beide Zahlen mit 10 zu multiplizieren. Es stellt sich heraus, dass Sie 68 durch 73 teilen müssen. Wenn eine der Zahlen mehr Nachkommastellen enthält, konvertieren Sie sie zuerst in eine Ganzzahl und dann eine zweite Zahl. Multiplizieren Sie es mit der gleichen Zahl. Das heißt, wenn Sie 6,8 durch 4,136 dividieren, erhöhen Sie den Dividenden und den Divisor nicht um das 10-, sondern um das 1000-fache. Wenn Sie 6800 durch 1436 teilen, erhalten Sie 4,735.